3.2 Двухфакторный дисперсионный анализ

При многофакторном дисперсионном анализе выявляется влияние не только каждого фактора, но и их взаимодействия. Если изучаются два фактора А и В, то источниками вариации будут: фактор А, фактор В, их взаимодействие АВ и остаточное варьирование.

Общая сумма квадратов отклонений равна:

W₀ = W_А +W_В+W_АВ+W_ост

Если опыт проводится методом рендомизированных блоков, то появляется вариация, вызванная повторностями. Тогда разложение общего объема вариации записывают так:

W₀ =W_А +W_В + W_АВ + W_повт+W_ост

Рассмотрим методику проведения двухфакторного дисперсионного анализа с одинаковой численностью выборок на следующем примере.

В таблице 10 приведены результаты опыта по выявлению влияния доз азотных и фосфорных удобрений на урожайность яровой пшеницы. Исследовали влияние двух факторов: доз азотных и фосфорных удобрений. Каждый вариант имел четыре повторности. Расчет средней урожайности по вариантам и повторностям показал, что она имеет значительные колебания.

Таблица 10

Урожайность яровой пшеницы в зависимости от доз азотных и фосфорных удобрений

Дозы азота (вариант А)	Дозы фосфора (вариант В)	Повторности				В среднем по вариантам
		1	2	3	4
N30	Р30	22,3	23,4	27,0	25,6	24,6
	Р60	24,4	25,1	28,2	26,7	26,1
	Р90	25,6	25,9	30,3	28,0	27,5
В среднем по повторностям		24,1	24,8	28,5	26,8	26,1
N60	Р30	24,5	24,8	28,1	26,2	25,9
	Р60	26,6	27,0	29,8	28,7	28,0
	Р90	28,8	28,9	31,5	30,8	30,0
В среднем по повторностям		26,5	26,9	29,8	28,6	28,0
Средняя по опыту		25,3	25,9	29,2	27,7	27,0

Вариация урожайности обусловлена обоими факторами, их взаимодействием, повторностями и случайными причинами. Общая сумма квадратов отклонений равна:

W₀ =W_А +W_В +W_АВ+W_повт +W_ост.

Осуществить разложение общей вариации можно в два этапа:

1)W₀ =W_вар + W_повт + W_ост

2)W_вар = W_А +W_В+ W_АВ,

где W_АВ – сумма квадратов отклонений по вариантам; W_А –сумма квадратов отклонений урожайности под влиянием доз азотных удобрений; W_В – сумма квадратов отклонений урожайности обусловленных дозами фосфорных удобрений.

Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

W₀ = ∑( х₁– х₀)² = (22,3 –27)² +(23,4 – 27)² +(27 –27)² +…+ (30 –27)² = 125,14

Сумма квадратов отклонений по вариантам равна:

W_вар =∑(_вар –₀)²п =(24,6 – 27)²·4 + (26,1 – 27)²·4+…+(30 –27)²·4=72,12.

Сумма квадратов отклонений по повторностям:

W_повт=∑(_повт–₀)²т = (25,3–27)²·3+(25,9-27)²·3+(29,2-27)²·3+(27,7-27)²·3=28,29

Из соотношения вариаций найдем случайную вариацию:

W_ост =W₀-W_вар-W_повт = 125,14 – 72,12 –28,29 =24,73

По первому этапу разложения вариации W₀ =W_вар+W_повт +W_ост проведем оценку существенности различий между вариантами опыта. Для этого рассчитаем дисперсии на одну степень свободы. Число степеней свободы равно:

общее v₀=N – 1 =24 –1 =23;

для вариантов v _вар =m–1=3∙2-1=5;

для повторностей v_повт = n–1=4–1=3;

остаточное v _ост = v₀ v_вар –v_повт=23–5–3=15;

Дисперсия вариантов на одну степень свободы:

Остаточная дисперсия:

,

отсюда:

При уровне значимости 0,05 и степенях свободы для числителя 5 и знаменателя 15 F_0,05 =2,90; F_факт ≥ F_табл. Это свидетельствует о том, что варьирование урожайности по вариантам носит неслучайный характер.

Второй этап разложения сумм квадратов отклонений:

W_вар = W_А + W_В + W_АВ

Для расчета сумм квадратов отклонений W_А и W_В найдем средние по группам каждого фактора. По фактору А созданы две группы, средняя урожайность в первой группе _А1 = 26,1,а во второй – _А2 =28,0. По фактору В (дозы фосфорных удобрений )созданы три группы, средняя урожайность составила соответственно _В1 = 25,3; _В2 =27,0; _В3 =28,7

Сумма квадратов отклонений по фактору А равна:

W_А = ∑ (_А1 -₀ )² ·п_А,,

где п_А – число наблюдений в группах по фактору А.

Подставив в формулу числовые данные, получим:

W_А = (26,1 – 27)²·12 + (28 – 27)²·12 = 21,64.

Сумма квадратов отклонений по фактору В.

W_В = ∑ (_Вi – ₀ )² n_{В ,}

где п_В – число единиц в группах по фактору В.

W_{В .}= (25,3 – 27)²·8 + (27 – 27)²·8 +( 28,7 – 27)²·8 = 39,12

Определим сумму квадратов отклонений по сочетанию факторов:

W_АВ = W_вар– W_А–W_В =72,12 – 21,64 –39,12 =11,36

Вычислим дисперсии на одну степень свободы. Число степеней свободы для дисперсии любого фактора равно числу групп по данному фактору минус единица ; для дисперсии по сочетанию факторов –– произведению числа степеней свободы сочетания факторов:

ν_А =2-1 =1, ν_В =3–1 =2, ν_АВ = 2∙1 = 2

Дисперсии на одну степень свободы:

Для оценки существенности различия средних определим фактические значения F –критерия и сравним их с табличными (приложение 1).

Для фактора А:

При уровне значимости 0,05 и соответствующих степенях свободы F_табл=4,54; F _факт ≥ F _{табл ,}то можно сделать вывод о существенности различий между средними по фактору А (дозы азотных удобрений ). По фактору В F_факт=19,56:1,65=11,87, F_табл=3,68. По сочетанию факторов F_факт= =11,36:1,65=6,88, F_табл=3,68. Следовательно, по фактору В и по сочетанию факторов варьирование урожайности носит неслучайный характер.

Результаты расчетов по двухфакторному дисперсионному анализу представим в таблице 11.

Таблица 11