интегр. и диффер.сигналов
.pdfЛекция № Интегрирование сигналов
Наиболее важное значение для аналоговых вычислителей имеет применение ОУ для реализации операций интегрирования. В общем случае интегратор описывается выражением:
t
U в ых (t) К U в х (t)dt U в ых (0) , где Uв ых (0) Uв ых при t 0
0
Интегратор строится на основе инвертирующего усилителя.
Резистор ОС заменен конденсатором С. Выходное напряжение описывается выражением:
|
Q |
|
1 |
t |
|
|
U в ых |
|
IC (t)dt Q0 |
||||
|
|
|||||
|
C |
|
C 0 |
|
Где Q0 - величина заряда, которая была на конденсаторе к моменту начала интегрирования (t=0)
Учитывая, что I |
|
|
U в х |
, можно записать: |
|||
C |
|
||||||
|
|
|
|
R |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
U в ых (t) |
U в х (t)dt U в ых (0) |
||||||
|
|||||||
|
RC 0 |
|
|
|
|
Постоянный член Uвых(0) определяет начальные условия интегрирования:
Q
Uвых U в ых t C0
Рассмотрим два особых случая
1. Входное напряжение Uвх постоянно, тогда
U в ых U в х t U в х (0)
RC
Выходной сигнал линейно возрастает со временем.
Поэтому схема интегратора оказывается пригодной для формирования пилообразного напряжения.
2. Входное напряжение изменяется по синусоидальному закону, т.е. Uв х Um sin cot , тогда
|
1 |
t |
U m |
|
|
U в ых |
U m sin cot U в ых (0) |
cos t U в ых (0) |
|||
RC |
RC |
||||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напряжения обратно пропорциональна круговой частоте.
Амплитудно-частотная характеристика может быть получена из выражения для комплексного коэффициента передачи
K ( j) |
U в ых ( j) |
|
ZC |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
U в х ( j) |
|
R |
|
|
|
j RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
K ( ) |
U |
в ых |
|
|
1 |
|
|
cp |
|
|
fcp |
|
1 |
, где |
f |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cp |
2RC |
|
|||||||||||
|
|
RC |
|
|
|
|
|
f |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
U в х |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fcp |
|
|
|
|
|
|
При увеличении частоты в 10 раз коэффициент передачи уменьшается в 10 раз. |
||||||||||||||||||||||||||
K (дб) 20 lg |
f |
, т.е. |
АЧХ |
в логарифмическом |
масштабе |
имеет вид прямой с |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
fcp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наклоном 20 декдб .
Оценим стабильность схемы.
Здесь ООС вызывает фазовый сдвиг, т.е. коэффициент передачи цепи ОС является комплексным.
|
U |
ОС |
|
|
|
R |
|
|
|
j RC |
|
|
|
|
|
Uвв 0 |
1 |
|
|
j RC |
|||||
|
U |
вых |
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
j c |
|
|
|
|
|
Для высоких частот 1 и его фазовый сдвиг будет нулевым, т.е. появляются |
условия самовозбуждения.
Поэтому необходима коррекция частотной характеристики. Обычно для схем интеграторов используют ОХ с внутренней коррекцией.
Типичная частотная характеристика, необходимая для реализации операций интегрирования имеет вид:
|
1 |
|
|
|
Для данной АЧХ τ=100 мкс fср |
|
1600 |
Гц . |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
Максимальная величина **левого усилителя Кβ |
|||||||||||||||||||
К (дб) К (дб) |
|
|
1 |
(дб) 56 |
дб , |
откуда Кβ=630. Следовательно, будет |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обеспечена точность интегрирования: |
|
|
1 |
0,16% . |
|||||||||||||||||
n |
K |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Как видно из АЧХ, точность интегрирования уменьшается не только для |
|||||||||||||||||||
высоких, но и для низких частот. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Для реального интегратора на ОУ необходимо учитывать Iв х.оу и Uсм . При |
|||||||||||||||||||
Uв х 0 через С будет течь ток, обусловленный наличием указанных погрешностей: |
|||||||||||||||||||||
I |
c |
UCM |
I |
в х.оу |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Вследствие этого будет уменьшаться выходное напряжение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dU |
в ых |
|
|
Ic |
|
|
1 |
|
U |
CM |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iв х |
|
||||||||
|
|
|
dt |
C |
|
R |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
При заданной постоянной времени τ вклад Iвх будет тем меньше, чем больше емкость С. Рекомендуется выбирать:
Iв х UCM UCM C
R
Пример: Если С-1 мкФ, а τ=1с, то необходимо использовать ОУ, у которого UСМ 1 мВ, а входной ток должен быть:
|
|
|
U |
CM |
C |
|
10 3 10 |
6 |
9 A 1 нА |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
||
B |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для ОУ на биполярных транзисторах времени Iв х нулевого больше, чем Uсм . Поэтому для компенсации погрешности от Iв х к неинвертирующему входу подключают
RK=R.
Реальная схема интегрирования
Любой интегратор, предназначенный для интегрирования в течение длительных периодов времени, необходимо периодически сбрасывать в некоторое заданное начальное состояние (например нулевое), т.е. задавать необходимые начальные условия,
независящие от U в х.
Кроме того, желательно иметь возможность останавливать на некоторое время изменения выходного напряжения, т.е. фиксировать U в ых для считывания значения в
заданный момент времени.
Реальная схема интегрирования имеет вид:
Данная схема позволяет следующие режимы работы:
1.Рабочий режим – интегрирование: SA1 разомкнут SA2 замкнут.
U в ых (t) |
1 |
|
U1dt U в ых (0) ; |
U в ых (0) |
RВ |
U 2 |
||||||||||
RC |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RА |
|||
2. Режим фиксации (хранения) – в течение некоторого времени выходной |
||||||||||||||||
сигнал не меняется. SA1 и SA2 разомкнуты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U хр Uв ых (t) |
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Установка начальных действий (или сброс) – интегратор возвращается в |
||||||||||||||||
исходное состояние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
(t) U |
|
RВ |
U |
(0) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
в ых |
|
|
|
2 RА |
|
|
в ых |
|||||||
В рабочем режиме максимальное время определяется допустимой величиной |
||||||||||||||||
ошибки, обусловленной (Iвх и Uсм) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t раб.max |
|
C U в ых.max |
|
|||||||||||
|
|
U в х |
U см |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Uв ых.max - максимальное допустимое напряжение ошибки.
В режиме хранения выходное сопротивление R отсоединяют от интегратора иUв ых. Uc const. Изменение хранимого значения можно определить:
U в ых (Iв х I y) tхр ,
C
где Iу – ток утечки емкости С.
В режиме сброс конденсатор С должен зарядиться или разрядиться до
напряжения: U в х (0) RВ U 2 .
RА
Для того, чтобы сброс проходил достаточно быстро, резисторы RА и RВ выбирают минимально возможными для используемого ОУ. Время, необходимое для сброса интегратора с относительной погрешностью σ=0,1%.
tсб 7RВ С
Суммирующий интегратор
Количество входов интегратора может быть и больше одного. Схема суммирующего интегратора с выходами имеет вид:
Для идеального ОУ Iв х 0 имеем:
ic i1 i2 ... in
C |
dU в ых |
|
U1 |
|
|
U 2 |
... |
U n |
|
|
|
|
|||||
|
dt R1 |
|
R2 |
|
Rn |
при R1=R2=…=Rn=R получаем:
dU в ых (U1 U 2 ... U n ) RC1
Интегрируя, получаем:
U в ых RC1 (U1 U 2 ... U n )
Интегратор-усилитель
Если последовательно с конденсатором ОС включить сопротивление, то выходное напряжение окажется линейной функцией входного напряжения и интегралом от выходного напряжения. Такая схема объединит интегратор и усилитель. Напряжение на его выходе имеет вид:
U в ых RRoc U1 RC1 U1dt
Разностный интегратор
Разностный интегратор формирует интеграл от разности входных сигналов.
Выходное напряжение: U в ых RC1 (U 2 U1 )dt
|
|
1 |
U |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
1 |
|
||
U |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
pc |
U1 |
|
|
|
|
U в ых pc |
|
R |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
||
pc |
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
|
U 1 Rcp U1 |
U в ых Rcp |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
U 1 |
Rcp U 2 |
U |
|
|
|
Rcp |
|||
|
|
1 |
Откуда U в ых (0) |
1 |
(U 2 U1 ) или U в ых (t) |
1 |
(U 2 U1 )dt |
|
Rcp |
RC |
||||
|
|
|
Двойное интегрирование
Используя Т-образный ФНИ в качестве входной цепи интегратора и Т-образный фильтр верхних частот в цепи обратной связи можно производить двойное интегрирование.
Выходное напряжение интегратора будет иметь вид:
U в ых RC4 2 U1dt
Эту схему можно использовать для решения дифференциальных уравнений виды:
d 2 x ax f (t) dt 2
|
|
2 |
U A |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
1 |
U |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
2 |
|
||
U B |
|
|
|
||
|
R |
U 0
|
|
U |
1 |
|
U |
|
pc |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
R |
|
R |
|
pc |
|
U |
A |
U B |
pC |
||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
R |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
pc |
|
|
|
|
pC |
U |
|
Uв ых |
|||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. U U 0 |
U A |
|
U1 |
||
|
Rcp |
||||
|
|
|
2 |
||
2 |
|
|
|
|
|
U A U A |
|
|
|
|
|
RCp |
|
|
|
||
|
|
|
|
pc |
U в ых |
|
RCp |
U B (2 |
RCp) |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U |
|
|
|
|
2 |
U |
( 2 RCp ) |
4 |
U |
( 2 Rcp ) |
||||
|
вых |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
RCp |
B |
|
|
R2C 2 p2 |
A |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
U1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R |
2C 2 p2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, U в ых (t) |
4 |
|
|
U1dt |
|
|
|
|
|||
2 |
C |
2 |
|||
|
R |
|
|
|
Если выход двойного интегратора соединить с его входом, то получится генератор с фазосдвигающей цепью, имеющий частоту самовозбуждения.
f 2 1 2 RC RC
Неинвертирующий интегратор
Для интегрирования без изменения знака к схеме инвертирующего интегратора можно добавить инвертирующий усилитель.
Неинвертирующий интегратор можно построить и на одном ОУ.
|
2 |
|
U в ых |
1 |
|
|
|
|
|||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
||||
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
U |
|
|
pc |
U в х |
|
U в ых |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
|
R |
|
R |
|||
|
|
|
|
|
U |
|
|
U в ых |
; |
U |
|
U |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RCp |
U в х U в ых |
U в ых |
2 |
|
|
U в ых 1 |
|
|
|
U в х |
|||
|
RCp |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 t
Выходное напряжение U в ых RC 0 U в хdt U в х (0)
В данной схеме, кроме равенства указанных сопротивлений, необходимо, чтобы источник входного сигнала обладал очень низким выходным сопротивлением.
Лекция №
Дифференцирование сигналов
Дифференциатор создает выходное напряжение, пропорциональное скорости изменения выходного напряжения. При дифференцировании усилитель должен
пропускать только переменную составляющую входного напряжения, т.к. dU в х 0 при
dt
Uв х const
Схема инвертирующего дифференциатора имеет вид:
а) Ic |
I oc при |
Iв х.оу 0 |
|
|
|
||||||
б) I |
|
C |
dU в х |
I |
|
|
U в ых |
при U |
|
0 |
|
c |
dt |
oc |
R |
в х |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) U в ых RC dU в х dt
При синусоидальном входном сигнале, т.е. при Uв х U msint
U |
|
RC |
dU в х |
RCU |
|
cos t |
в ых |
|
m |
||||
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
Комплексный коэффициент передачи схемы:
K ( j ) U в ых ( j ) R j RC U в х ( j ) Zc
Амплитудно-частотная характеристика дифференциатора имеет вид:
K ( ) RC |
|
|
|
f |
||||||
cp |
fcp |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
где f |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
cp |
2 |
|
2 RC |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
АЧХ схемы дифференциатора в логарифмическом масштабе представляет собой прямую с наклоном 20 дб/дек. Дифференциатором в некоторой области частот можно называть схему АЧХ, которой имеет наклон 20 дб/дек.
Недостатки данной схемы 1. Наряду с высокочастотными составляющими спектра полезного выходного
сигнала схема усиливает собственные шумы сопротивлений и полупроводниковых элементов.
2. Схема имеет тенденцию к потере устойчивости в той области частот, где частотная характеристика дифференциатора (имеющая подъем 20 дб/дек) пересекается с имеющей спад 20 дб/дек характеристикой скорректированного усилителя.
Это значит, что АЧХ разомкнутого контура ОС имеет в некоторой области своего частотного диапазона спад. 40 дб/дек, а при этих условиях вполне возможно самовозбуждение.
Для устранения отмеченных недостатков принимают меры по его динамической стабилизации. Скорректированный дифференциатор имеет вид:
а) Конденсатор Ск выбирается т.о., чтобы участок характеристики со спадом 20 дб/дек начинается на частоте более высокой, чем максимальная частота полезного дифференцируемого сигнала. При этом уменьшается доля высокочастотных шумов в выходном сигнале. Этот участок начинается на частоте
f2 |
1 |
. |
|
|
|||
2 RCk |
|||
|
|
б) Сопротивление RK ограничивает коэффициент усиление на высоких частотах, уменьшает сдвиг фаз, обеспечивая
динамическую устойчивость, снимает емкостной входной ток схемы. Добавление к схеме резистора RK приводит к появлению на частотной характеристике горизонтального участка и прекращению дифференцирования на частотах, превышающих частоту
f1 1
2 Rk С
АЧХ скорректированного дифференциатора имеет вид:
|
В полосе частот от f0 до |
f1 данная схема |
работает как |
устойчивый |
|||||
дифференциатор, в полосе частот от f2 до |
fср представляет собой интегратор, от f1 до f2 – |
||||||||
как полосовой фильтр. |
|
|
|
|
|
||||
|
Частоту f1 |
необходимо выбирать возможно более низкой при заданной полосе |
|||||||
частот полезного сигнала и точности дифференцирования. |
|
|
|
||||||
|
Зависимость погрешности дифференциатора от частоты f1. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, частота |
|
0,01f1 |
|
0,1f1 |
|
0,33f1 |
|
f1 |
|
Погрешность, |
|
0,1 |
|
1 |
|
5 |
|
50 |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если RK или достаточно велико, то в диапазоне от f1 до fср дифференциатор
будет вести себя как фильтр высоких частот.
Рассмотрим действия дифференциаторов на некоторые типы сигналов.
Пример 1. В дифференциаторе R=10кОм; С=0,1 мкФ. RK и СК обеспечивают динамическую стабилизацию. На вход подается треугольная волна. Каким будет выходной сигнал с f1=1 кГц.
1. Представляем входной сигнал как функция времени. |
|
|
|
Т.к. |
|
Uвх |
является |
симметричным |
|
периодическим |
|
сигналом, |
то |
|
рассмотрим |
полупериод Uвх. |
|
|
|
U |
|
|
U max |
t |
2 |
t 4 103 t, B |
|
в х |
t |
0,5 10 3 |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|