МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Пусть xij – межотраслевые потоки продукции, где i и j – со-

ответственно номера отраслей, производящих и потребляющих; X i –

валовой выпуск продукции i -й отрасли; Yi – конечная продукция i -й отрасли, i =1, n , j =1, n .

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса (МОБ) составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

		A = (aij )				,			(13)
	где			n×n
	aij =	xij	, i =		,	j =		.	(14)
				1, n			1, n
		X j

Коэффициент прямых затрат aij показывает, какое количество

продукции i -й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j -й отрасли. Коэффициент

прямых затрат является довольно стабильной величиной во времени. Из формулы (14) следует, что межотраслевые потоки продукции

можно определить по формуле

xij = aij X j , i =		, j =				.	(15)
	1, n			1, n
Систему уравнений баланса можно записать в виде
n
X i = ∑aij X j +Yi , i =			1, n		,		(16)
j=1
или в матричной форме
X = AX +Y ,							(17)

где X – вектор-столбец валовой продукции и Y – вектор-столбец конечной продукции.

Система уравнений (16) или (17) называется экономикоматематической моделью межотраслевого баланса (моделью «затраты – выпуск», моделью Леонтьева). С помощью балансовой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• задавая в модели величины валовой продукции каждой отрас-
ли (X i ), определить объем конечной продукции каждой отрасли (Yi )
Y = (E − A)X ;	(18)

53

• задавая величины конечной продукции всех отраслей (Yi ), определить величины валовой продукции каждой отрасли (X i )

X = (E − A)−1Y ;

(19)

• для ряда отраслей – задавая величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом случае удобнее пользоваться системой уравнений (16).

В формулах (18) и (19) E – единичная матрица размерности n ×n , а (E − A)−1 – матрица, обратная матрице (E − A). Обозначив обратную матрицу через B , модель (19) можно записать в виде

X = BY .	(20)
Матрица B = (bij )n×n есть матрица коэффициентов полных за-
трат. Коэффициенты полных затрат	bij показывают, сколько всего

нужно произвести продукции i -й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j -й отрасли. Полученные

результаты можно представить в виде балансовой таблицы.

Потребляющие

1

...

n

Продукция

отрасли

Производящие

Конечная, Y

Валовая,

отрасли

X

1

Плановые объемы

Y1

X1

межотраслевых

...

...

...

поставок:

xij

n

Yn

X n

Z

Z1

...

Zn

n

n

∑Z j = ∑Yi

j=1

i=1

X

X1

...

X n

∑X i

i

Условно чистая продукция:

n

(21)

Z j = X j −∑xij , j =

1, n

.

i=1

n

n

∑Z j =

∑Yi –

балансовое соотношение данной модели.

j=1

i=1

54

Коэффициенты полных затрат можно применять тогда, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

n
∆X i = ∑bij ∆Y j , i =	1, n	,	(22)
j=1

где ∆X i , и ∆Y j – изменения (приросты) величин валовой и конечной

продукции соответственно.

На практике обычно известен вектор спроса Y . Задача межотраслевого баланса заключается в определении вектора выпуска X так, чтобы удовлетворить спрос. По смыслу задачи все X i ≥ 0 .

Модель (17) является продуктивной, если положительное решение системы (17) существует для любого неотрицательного вектора Y . По экономическому смыслу задачи все aij ≥ 0 , причем все aii <1.

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат A является продуктивной, то из условия продуктивности существует матри-

ца B = (E − A)−1, которая является суммой сходящегося матричного

ряда:	(23)
B = (E − A)−1 = E + A + A2 +K .

Затраты A1 = A A называются косвенными затратами первого

порядка, второго – A2 = A A1 , третьего – A3 = A A2 . Тогда можно вычислить полные материальные затраты по приближенной формуле

~		1	+ A	2	+ A	3	~	(24)
B	= (E + A) + (A						) = (bij )n×n .
Относительные		погрешности					вычислений составят	(в %):

ij − ~ij 100% . b

b

bij

Задача. Народное хозяйство представлено тремя отраслями: 1) тяжелая промышленность; 2) легкая промышленность; 3) сельское хозяйство. За отчетный год получены данные о межотраслевых поставках xij и векторе объемов конечного потребления Y0 . Необходимо

рассчитать:

1) матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A = (aij ) , матрицу «затраты – выпуск» (E − A) и вектор конечного по-

требления Y для заданного вектора валовых выпусков X . Результаты

55

представить в виде балансовой таблицы; 2) матрицу коэффициентов полных материальных затрат

B = (bij ) и валовые объемы выпуска X пл для заданного вектора конечного потребления Yпл . Определить плановые объемы межотраслевых поставок (xij )пл и пояснить, как валовые объемы выпуска про-

дукции (X пл)i ,i =1, n распределились между отраслями. Результаты представить в виде балансовой таблицы;

3)приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление изменится на ∆Yi процентов по сравнению с Yпл ;

4)матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A1 , вто-

рого		A2 и		третьего		A3 порядков,			сравнить			сумму затрат
( E + A + A1 + A2 + A3 ) с полными затратами										B , найти относительные
погрешности. Данные приведены в табл. 11.
													Таблица 11
	№ от-		Межотраслевые потоки X					Y0		X		Yпл	∆Y0 , %
	расли		1		2		3
	1		80		15		25	80		300		150	+10
	2	10		60		5		225	400			300	-10
	3	10		30		30		30	400			50	+50

Решение.
1)	По данным задачи находим вектор объемов валовых выпус-
	80 +15 + 25 +80									200
ков X 0		+ 60 +5 + 225								300
	= 10							=				.
		+30 +30			+30					100
	10
Находим матрицу коэффициентов прямых затрат по формуле (14):
				80	15					25
				200	300			100							0,4	0,05	0,25
		A =		10	60					5
													=		0,05	0,2	0,05	.
				200	300			100
															0,05	0,1	0,3
				10	30					30
					300
			200					100

Матрица «затраты – выпуск» примет вид

56

	1	0	0			0,4	0,05	0,25			0,6	−0,05	−0,25
	0	1	0			0,05	0,2	0,05			−0,05	0,8	−0,05
(E − A) =					−					=				.
	0	0	1			0,05	0,1	0,3			−0,05	−0,1	0,7

Новый вектор конечного потребления найдем по данному вектору валовых выпусков X (формула (18)), используем функцию МУМНОЖ:

	0,6	− 0,05	− 0,25			300			60
	− 0,05	0,8	− 0,05			400			285
Y = (E − A)X =					×			=		.
	− 0,05	− 0,1	0,7			400			225

Чтобы построить таблицу МОБ на расчетный период, нужно определить межотраслевые потоки. Для этого воспользуемся форму-

лой (15):

x11 = 0,4 300 =120 ; x12 = 0,05 400 = 20; x13 = 0,25 400 =100 ; x21 = 0,05 300 =15; x22 = 0,2 400 = 80 ; x23 = 0,05 400 = 20 ; x31 = 0,05 300 =15; x32 = 0,1 400 = 40 ; x33 = 0,3 400 =120 .

Валовая добавленная стоимость (условно чистая продукция) находится по формуле (21).

Межотраслевой баланс на расчетный период представлен в табл. 12.

					Таблица 12
Потребляющие	1	2	3	Продукция
отрасли
Производящие				Конечная, Y	Валовая, X
отрасли
1	120	20	100	60	300
2	15	80	20	285	400
3	15	40	120	225	400
Z	150	260	160	570
X	300	400	400		1100

Все расчеты проводятся на компьютере. Даный межотраслевой баланс находится в ячейках А19:F24 (см. рис. 20).

57

Рис. 20

2) Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат B путем обращения матрицы (E − A) , функция МОБР:

					1,735		0,187			0,633
		B = (E −	A)−1		0,118		1,273			0,133
				=									.
					0,14		0,196			1,492
Объем производства валовой продукции X пл												при заданном объ-
еме конечной продукции Yпл				в плановом периоде можно определить,
используя формулу (19):						348,183					348
X	пл	= (E − A)−1Y	= BY		=	406,409			≈		406	.
		пл		пл
						154,357					154

Чтобы построить таблицу МОБ на планируемый период, нужно определить межотраслевые потоки. Плановые объемы межотраслевых потоков найдем по формуле (15).

Межотраслевой баланс на плановый период представлен в табл. 13.

58

								Таблица 13
Потребляющие			1	2		3	Продукция
отрасли
Производящие							Конечная, Y	Валовая, X
отрасли
1			139	20		39	150	348
2			17	81		8	300	406
3			17	41		46	50	154
Z			174	264		62	500
X			348	406		154		909
3) Так как по условию задачи Y1							должно увеличиться на 10%,
Y2 – уменьшиться на 10%, а Y3					– увеличиться на 50%, то компоненты
нового вектора конечного потребления будут равны
			Y1 + ∆Y1 =150 + 0,1 150 =165 ,
			Y2 + ∆Y2 = 300 −0,1 300 = 270 ,
	15		Y3 + ∆Y3 =50 + 0,5 50 = 75,
	−30
где ∆Y =		.
	25

Прирост валовых объемов выпуска, соответствующий новому

вектору конечного потребления, найдем по формуле
										36,23
		∆X = (E − A)−1						∆Y =		−33,137
									B∆Y =			.
										33,57
	4)	Косвенные затраты первого порядка равны A1 = A A, второ-
го –	A2 = A A1 ,		третьего –					A3 = A A2 .		Найдем сумму затрат
~	(E +	1	+ A	2	+ A	3		~	и сравним с полными затратами:
B =		A) + (A					) = (bij )n×n
								0,175	0,056	0,178
			A1	= A				0,033	0,048	0,038
						A =					,
								0,04	0,053	0,108

59

								0,082			0,038	0,01
		A2	= A A1					0,017			0,015	0,022
						=								,
								0,024			0,023	0,045
									0,04		0,022	0,052
		A3	= A A2						0,009		0,006	0,012
						=									.
									0,013		0,01
												0,021
	Тогда матрица полных								материальных затрат по формуле (24)
										1,7	0,16	0,58
равна	~	1	+ A	2	+	A	3			0,11	1,27	0,12
	B	= E + A + A						=					.
										0,13	0,19	1,47

Относительные погрешности составят (в %)
	b	~			2,24	12,53	8,47
		− b
	ij	ij	×100%	=	7,46	0,44	9,06	.
		bij
					9,72	4,76	1,32

60