Groda_Prikladnaya_mekhanika

центра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что невозможно;

2) если для данной системы сил R≠0, а МО=0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей, равной R и приложенной в центре О.

•Условие равновесия произвольной системы сил

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия

R = 0, MO = 0

где О — любой центр.

Сформулированные выше условия являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда R≠0), или к паре сил (когда МО≠0) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно эти условия являются и достаточными, потому что при R=0 система сил может приводиться только к паре с моментом МО, а так как МО=0, то имеет место равновесие.

•Пример решения задачи

Задача с вагонной полкой.

11

Лекция 5

Силы трения. Равновесие с учетом трения

•Сила трения покоя. Законы трения покоя

Физическая природа сил трения.

Сила трения покоя. Законы силы трения покоя.

1.При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого возникает сила трения принимающая любые значения до некоторого предельного значения Fпр и направленная в сторону противоположную движению

2.Fпр=f0N, где f0 - статический коэффициент трения. Он зависит от материала и качества обработки поверхности.

3.Значение силы трения не зависит от размеров соприкасающихся тел. (Вопрос аудитории: зачем точат коньки)

При равновесии Fтр≤f0N , т.е. сила трения как правило меньше своего предельного значения, а равновесие при Fтр≤Fпр называется предельным равновесием.

Характерные значения коэффициентов трения: дерево по дереву 0.4 – 0.7, метал по металу 0.15 – 0.25; сталь по льду 0.027.

•Угол трения. Реакция шероховатой поверхности

Реакция шероховатой поверхности в отличии от гладкой состоит из 2-х частей: нормальной реакции N и силы трения Fтр. Наибольший угол между полной реакцией и нормалью называется углом трения. Этот угол может меняться от нуля до некоторого предельного значения φ0 определяемого соотношением tgφ0=Fпр/N=f0.

R

N

Pcosα

P

φ

Fтр

α

Psinα

Если на тело (весом тела пренебрегаем) действует сила под углом к нормали, то тело сдвинется если Psinα>Fпр=f0N=f0Pcosα=tgφ0Pcosα. Отсюда следует, что для движения тела необходимо что бы α>φ0, при меньших углах α тело не сдвинется. На этом факте основано явление заклинивания и самозатормаживания тел.

•Равновесие при наличии трения

Изучение равновесия приналичии в системе трения сводится как травило к расмотрению предельного равновесия. При этом реакция шероховатой поверхности изображается двумя своими состовляющими, а к уравнениям статики добавляется соотношения Fпр=f0N. Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях силы трения, то сначала рассматривается случай предельного равновесия, после чего статический коэффициент трения уменьшается до нуля. Если же ставится задача определить силу трения не равную предельной, то эта сила считается неизвестной реакцией и ее значения определяется из уравнений статики.

12

Пример решения задачи на равновесие с учетом трения.

•Сила трения скольжения

При движении одного тела по поверхности другого сила трения определяется как F=fN, где f - динамический коэффициент трения. В общем случае f0=f и определяется опытным путем. При росте скорости f сначала убывает, а потом сохраняет практически постоянное значения, как и f0 он зависит от материала и степени обработки поверхности.

•Сила трения качения

Рассмотрим качение цилиндра по гладкой поверхности

N Q Q

P N

F P F

Q<Fпр.

Силы F и Q образуют пару, вызывающую качение цилиндра при любой силе Q. Это противоречит опыту.

В реальности цилиндр и поверхность деформируются и имеют не точку контакта, а площадку контакта АВ. Под действием силы Q давление у края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается смещенной в сторону действия силы Q. С увеличением силы Q это смещение растет до некоторой предельной величины δ.

Т.о. в предельном положении на каток действуют две папы сил F и Qпр с моментом QпрR, и уравновешивающая пара сил N и Р с моментом Nδ. Качение начнется когда первый момент станет больше второго. Отсюда находим

Q R = Nδ	Q = N	δ
пр	пр	R

Величина δ называется коэффициентом трения качения. Измеряется в метрах (сантиметрах). Обычно отношение δ/R значительно меньше f0, поэтому в технике для снижения силы трения всегда стремятся заменить скольжение качением установкой катков, колес, шариковых подшипников.

Характерные значения коэффициента трения качения (в см) дерево по дереву 0.05-0.08 мягкая сталь по стали (колесо по рельсу) 0.005

закаленная сталь по стали (шариковый подшипник) 0.001

13

Лекция 6

Кинематика точки

• Кинематика - геометрия движения

Кинематика – раздел механики в котором изучается движение без учета причин это движение вызвавших. Место кинематики среди иных разделов механики.

Понятие системы отсчета. Система отсчета = тело отсчета + система координат + время.

Пространство и время кинематики. Абсолютность времени и однородность пространства. Границы применимости классической механики.

Основная задача кинематики: зная закон движения установить методы определения кинематических характеристик этого движения.

Закон движения – зависимость, определяющая положение тела в пространстве в любой момент времени.

Траектория – линия вдоль которой движется точка в пространстве. Различие между траекторией и законом движения.

•Способы задания движения точки

1.Векторный способ задания. Положение точки задается радиус-вектором r. Его годограф определяет траекторию движения. Следует понимать, что от времени зависят координаты радиус-вектора. Такой способ описания хорош при выводе общих соотношений кинематики.

2.Координатный способ задания. Задан закон изменения со временем каждой

из координат. Например x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Вместо декартовой системы координат может использоваться любая другая.

Связь между векторным и координатным способами задания движения оп-

ределяется соотношением

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

3.Естественный способ задания. Необходимо знать траекторию, на которой выбрать точку и определить положительное и отрицательное удаление от нее измеряемое вдоль траектории. Это удаление и есть естественная координата s. Закон движения имеет форму s=f(t).

• Вектор скорости точки

Понятие средней скорости как отношения вектора перемещения ко времени за которое оно произошло.

Предельный переход от средней скорости к мгновенной.

υ(t) = drdt(t)

Направление вектора скорости: касательная есть предельное представление секущей, являющейся вектором перемещения. Подчеркнуть однозначность взаимного положения траектории и вектора скорости.

• Вектор ускорения точки

Понятие ускорения точки, как скорости изменения скорости.

14

Понятие среднего ускорения и предельный переход к мгновенному ускорению.

a(t) = dυ(t) = d 2r(t) dt dt2

Две причины наличия ускорения при движении точки: изменение величины скорости и изменение ее направления.

Подчеркнуть невозможность столь однозначного определения направления вектора ускорения по сравнению с вектором скорости.

• Скорость и ускорение точки при координатном способе за-

дания движения

Как известно, r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k , причем единичные орты являются

векторами постояными. Поэтому для вектора скорости получаем

υ(t) = x&(t)i + y&(t)j + z&(t)k

С другой стороны для вектора скорости, как и для любого вектора можем записать

υ(t) = υx (t)i + υy (t)j + υz (t)k .

Сопоставив соотношения получаем

υx (t) = x(t),	υy (t) = y(t),	υz (t) = z(t)
&	&	&

Модуль скорости и направляющее косинусы определяются как

	υ= υ2x + υ2y + υ2z , cos α =	υx ,	cosβ =	υy	,	cos γ =	υz
				υ
		υ					υ

cos2 α+cos2 β+cos2 γ =1

Полностью аналогичные рассуждения могут быть проделаны и для вектора ускорения

ax (t) = x(t),	ay (t) = y(t), az (t) = z(t)
&&	&&				&&
a = ax2 + a2y	+ az2 , cos α =	a	x	,	cosβ =	ay	,	cos γ =	a	z
						a
		a							a

•Оси естественного трехгранника

При описании движения точки естественным образом значения векторов а и υ определяются проекциями не на оси системы отсчета Оxyz, а на подвижные оси Мτnb связанные с самой точкой М и движущиеся вместе с нею. Эта тройка осей называется естественным трехгранником и строится следующим образом

1.Ось Мτ направлена по касательной к траектории в сторону положительного отсчета криволинейной координаты s.

2.Ось Мn – по главной нормаль к траектории в сторону вогнутости траектории (главная нормаль – прямая перпендикулярная к касательной и лежащая в соприкасающейся плоскости).

3.Ось Мb называется бинормалью и может быть определенная векто-

ром b = τ×n , где τ и n – единичные вектора орты на осях Мτ и

Мn.

15

υср =

Нетрудно видеть, что построенная таким образом система координат является прямоугольной декартовой, однако в отличии от неподвижных осей Оxyz эта система отсчета движется вместе с точкой при ее движении вдоль траектории.

Рассмотри проекции векторов скорости и ускорения на оси естественного трехгранника.

Ранее было установлено, что скорость точки направлена по касательной к

траектории. Это позволяет утверждать что

υn = υb = 0, υτ = ±υ,

Следовательно υτ или совпадает с модулем скорости или отличается от него только знаком. В дальнийшем условимся обозначать υτ опуская индекс τ

как υ и назовем его алгебраическим значением скорости.

Определим алгебраическое значение скорости. За время ∆t точка пройдем по траектории путь ∆s. Тогда средняя скорость движения точки

s

t

Соответственно мгновенная скорость есть предел средней при t →0

υ= lim υ		=	lim	s	=	ds	&
	ср			t		dt	= s
t→0			t→0

Т.о. алгебраическое значение скорости точки в данный момент време-

ни равно первой производной от криволинейной координаты этой точки по времени.

•Касательное и нормальное ускорения точки

Ранее было установлено, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Это позволяет утверждать, что в любой момент времени ab = 0 . Оп-

ределим две оставшиеся проекции an и aτ - нормальное и тангенциальное (касательное) ускорения .

a	=	(dυ)τ	,	a	=	(dυ)n
τ		dt		n		dt

Проведя соответствующие вычисления получим

a	= dυ	,	a	=	υ2
τ	dt		n		ρ

где ρ – радиус кривизны траектории в точке М.

Радиус кривизны кривой в некоторой точке это радиус окружности дуга которой совпадает с кривой в окрестности данной точки.

Т.о. окончательно для нормального и тангенциального ускорений получаем следующие соотношения

Полное ускорение опредяляется геометрической суммой векторов aτ и an .

Поскольку оси Мτ и Мn ортогональны для модуля полного ускорения можно записать следующее выражение

a = (aτ)2 + (an )2 .

16

Для выяснения механической природы нормальной и тангенциальной компонент вектора ускорения рассмотрим прямолинейное движение и равномерное криволинейное движение.

При прямолинейном движении направление скорости не изменяется и отличное от нуля ускорение может быть обеспечено только изменением модуля скорости. В то же время движение по прямой можно считать движением по дуге окружности бесконечно большого радиуса, а значит ρ→∞, an = 0 и a = aτ.

Это позволяет сделать вывод, что тангенциальное (касательное) ускорение

характеризует изменение скорости по величине.

При равномерном движении υ = const , aτ = 0 и a = an . Ускорение в этом

случае появляется только за счет изменения скорости по направлению. Значит,

нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

•Частные случаи движения точки

Пользуясь полученными результатами рассмотрим частные случаи движения точки

1. Равномерное прямолинейное движение

Т.к. движение равномерно, то υ = const и aτ = 0 , а т.к. оно прямолинейно,

то an = 0 и следовательно a =0 . Это единственное движение при котором

ускорение точки всегда равно 0. 2. Прямолинейное движение

Поскольку движение прямолинейно то an = 0 и a = aτ.

3. Равномерное криволинейное движение

Т.к. движение равномерно то υ = const , aτ = 0 и a = an .

ds		s	t
	= υ, ds = υdt,	∫ ds = υ∫dt, s = s0 + υt
dt		s0	0

4. Равнопеременное криволинейное движение

Равнопеременным называется такое движение при котором aτ = const . Т.к. оно криволинейно, то an ≠ 0 и полное ускорение состоит из нормальной и тан-

генциальной компонент. aτ = ddtυ υ= υ0 + aτt

dsdt = υ0 + aτt s = s0 + υ0t + aτ2t2

5. Гармонические колебания

Гармоническим колебанием называется такое движение при котором рас-

стояние от точки М до начала координат меняется по закону s = Acos(kt +ϕ) или s = Asin(kt +ϕ) ,

где А, k и t – постоянные величины. А называется амплитудой и характеризует максимальное отклонение точки М от начала координат, k – циклическая частота колебаний: число колебаний в единицу времени умноженное на 2π; kt +ϕ – фаза колебаний и φ – начальная фаза.

17

Лекция 7

Простейшие движения твердого тела

•Задачи кинематики твердого тела. Виды его движения

Абсолютно твердым телом (в дальнейшем, твердым телом) называется такая механическая система при движение которой расстояние между любыми двумя точками в процессе движения остается постоянным. совокупность Пусть кривая АВ – траектория движения точки М при ее движении в пространстве.

Задачи кинематики твердого тела

1.Задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2.Определение движения кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Поскольку движение твердого тела гораздо разнообразнее по сравнения с движением материальной точки изучение кинематики его движения мы начнем

срассмотрения двух простейших типов его движения (простейших движений) –

поступательного движения и вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

• Поступательное движение твердого тела.
Поступательным называется такое движение твердого тела при котором
любая прямая проведенная в нем остается при движении параллельной своему
начальному положению.	А
Поступательное движение следует от-		В
личать от прямолинейного! При поступа-
тельном движении траектории отдельных
точек могут быть и кривыми линиями. При-
мером не прямолинейного, но поступатель-	О	О1
ного движения может служить движение
спарника.
Теорема о поступательном движении. При поступательном движении
твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и имеют в каж-
дый момент времени одинаковые (по модулю и направлению) скорости и уско-
рения.
Доказательство. Есть две точки твер-
дого тела А и В, их положение задается ра-		В
диус-векторами rA и rB, соответственно. То-		гда
можно записать, что rВ=rА+АВ. При этом
при движении вектор АВ остается по-		rB
стоянным поскольку его модуль не изменя-
ется т.к. тело является абсолютно твердым,		а
направление постоянно т.к. движение яв-		А
		rA
ляется поступательным. Следовательно О
траектория точки В может быть получена из
траектории точки А смещением на вектор АВ.

18

Для нахождения скорости продифференцируем это соотношение с учетом того, что АВ=const, и получим υА=υВ, аналогично этому вторая производная даст аА=аВ. Т.к. точки были выбраны произвольно, то это справедливо для любой точки твердого тела.

Следствие теоремы: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, при этом вектора скорости и ускорения можно изображать приложенными так же в любой точке тела.

Понятие скорости и ускорения движения твердого имеет смысл только при поступательном движении. В любом другом случае можно говорить только о скорости и ускорении движения точки твердого тела.

• Вращательное движение ТТ вокруг неподвижной оси. Угло-

вая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется такое движение твердого тела при котором какие-нибудь две его точки (или неизменно с ним связанные) остаются неподвижными. Прямая, проходящая через две эти точки называется осью вра-

щения.

Для описания вращения твердого тела рассмотрим две полуплоскости. Одну неподвижную, а вторую жестко связанную с телом. При вращении тела угол между этими полуплоскостями φ, называемый углом поворота твердого тела, будет изменяться. Зависимость угла поворота от времени φ=φ(t) позволяет определять положение твердого тела в произвольный момент времени и является законом вра-

щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Угол повороты измеряется в радианах!

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая ско-

рость ω и угловое ускорение ε. Модуль угловой скорости определяется первой производной от угла поворота φ

ω= ddtϕ = ϕ& ,

аее направление правилом правого винта. Угловая скорость всегда направле-

на по оси вращения.

Смысл угловой скорости – на сколько радиан тело повернется за 1 секунду. Единицей ее измерения является рад/c.

Иногда угловая скорость задается в числе оборотов в минуту n. Пересчет в обычные единицы измерения осуществляется следующим образом

ω= 260πn = π30n

Аналогичным образом может быть определено и угловое ускорение

19

ε = dω = d 2ω = ω& = ϕ&& dt dt2

Смысл углового ускорения – на сколько радиан в секунду изменится угловая скорость тела за 1 секунду. Единицей ее измерения является рад/c2.

Как и угловая скорость, угловое ускорение направлено по оси вращения. При этом

ε= ddtω

Т.е. направление угловой скорости и ускорения совпадают, если тело вращается ускорено, и вектора направлены в противоположные стороны, если тело замедляется.

• Равномерное и равноускоренное движения ТТ.

Аналогия между кинетическими характеристиками поступательного и вращательного движений

Поступательное движение, происходящие при неизменной скорости, называется равномерным. Аналогично этому вращение при постоянной угловой скорости – равномерное вращение.

Рассмотрим в качестве примере одномерное поступательное движение твердого тела. В этом случае его положение определяется одной координатой х, а значит закон движения имеет вид х=f(t). Согласно определению

υ= dxdt ,

это обычное д.у. первого порядка решим его при учете, что скорость υ постоянна и получим, что

x = x0 + υt ,

где постоянная интегрирования х0 имеет смысл начального положения тела. Аналогичным образом рассмотрев определение угловой скорости как д.у.

и решив его в случае равномерного движения получим

ω= ddtϕ ϕ= ϕ0 +ωt ,

где постоянная интегрирования φ0 имеет смысл начального угла поворота тела. Движения происходящие при постоянных значениях ускорения либо углового ускорения называются равноускоренным поступательным либо равноускоренным вращательным движением соответственно. Аналогично рассмотренному выше, рассматривая определения ускорения и углового ускорения как д.у.

второго порядка проводя их интегрирование имеем

20