Groda_Prikladnaya_mekhanika

тельно, решение уравнения, описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид

x =C1e−(b+r)t +C2e−(b−r)t

Так как данная функция со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению.

3. В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни характеристического уравнения будут при этом тоже действительными, но кратными ( n1,2 = −b ) и общее решение уравнения примет вид

x = e−bt (C1 +tC2 )

Движение точки в данном случае тоже не будет колебательным я она со временем стремится асимптотически к равновесному положению х=0.

•Вынужденные колебания при наличии сопротивления

Рассмотрим движение точки, на которую действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, пропорциональная скорости, и возмущающая гармоническая сила Q. Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид

mx&&= −cx −μx& +Q0 sin pt

k2 =		c	, 2b =			μ	,	Q0	= P
		m				m		m	0
				2
&&	&				x = P0 sin pt
x	+ 2bx + k

Данное уравнение называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Как и в случае отсутствия сопротивления мы имеем дело с неоднородным уравнением, а значит

x = x1 + x2

где x1 – общее решение однородного уравнения

&&x1 + 2bx&1 + k2x1 = 0

которое представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при вязком сопротивлении и было подробно рассмотрено ранее.

Частное решение будем искать в виде

x2	= Bsin (pt −β), x2 = Bpcos(pt −β),	x2 = −Bp	2	sin (pt −β).
	&	&&

Подставляя предложенный вид и соответствующее производные в исходное неоднородное уравнение получаем

B(−p2 + k2 )sin ψ + 2bpBcosψ = P0 (cosβsin ψ +sinβcosψ) , где pt–β=ψ и pt=ψ+β.

Чтобы это равенство выполнялось при любом ψ, т. е. в любой момент времени, коэффициенты при sinψ и cosψ в левой и правой частях должны быть порознь равны друг другу; следовательно

41

B(k2 − p2 ) = P cosβ,		2bpB = P sinβ.
	0	0
Откуда получаем
B =	P0		2bp
		, tanβ =		.
	(k2 − p2 )2 + 4b2 p2		k2 − p2

Т.о. в случае слабого вязкого сопротивления закон вынужденных колебаний имеет вид

x = Ae−bt sin (k1t +α)+ Bsin (pt −β)

где А и α — постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным.

Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных и вынужденных. При этом собственные колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени tу называемого временем установления, ими практически можно пренебречь и точка будет совершать колебания по закону

x = Bsin (pt −β)

Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина β характеризует сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Введем обозначения:

z = p / k, h =b / k, λ	0	= P / k2	=Q / c
		0	0

где z — отношение частот; h — величина, характеризующая сопротивление; λ0 — величина статического отклонения точки под действием силы Q0. Тогда можем записать

B =	λ0	,	tan β=	2hz
	(1 − z2 )2 + 4h2z2			1 − z2

Из представленных формул видно, что В и β зависят от двух безразмерных параметров z и h. Для большей наглядности представим эти зависимости графически введя понятие

коэффициента динамичности

η = B / λ0

показывающего, во сколько раз амплитуда В

больше λ0.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Когда сопротивление очень мало, а величина z не близка к единице, можно приближенно считать h≈0 и можно получить что

B =		λ0	, β ≈ 0(z <1), β ≈ π(z >1)
		1 −h2

42

2.Если отношение частот z очень мало (р<<k), то, полагая прибли-

женно z≈0, получим В≈λ0 – колебания в этой случае происходят с амплитудой равной статическому отклонению, и сдвигом фаз β≈0

3.Если отношение частот z очень велико (р>>k), величина В становится малой. Этот случай представляет особый интерес для проблем виброзащиты различных сооружений, приборов и др.

4.Во всех практически интересных случаях величина h много меньше единицы. Тогда если величина z близка к единице, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при этом имеет место, называется резонансом.

При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно практически вычислять по следующим приближенным формулам

Bð =	λ0	,	βð =	π
	2h			2

•Общие свойства вынужденных колебаний

Из полученных выше результатов вытекает, что вынужденные колебания обладают следующими важными свойствами, отличающими их от собственных колебаний точки:

1) амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зави-

сит;

2)вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают;

3)частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний);

4)даже при малой возмущающей силе (Q0 мало) можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс);

5)даже при больших значениях возмущающей силы вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р будет много больше k.

Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют большую роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента. Во многих инженерных сооружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами р и k так, чтобы амплитуды вынужденных колебаний были практически равны нулю

Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резонанс оказывается очень полезным и используется для отделения сигналов одной радиостанции от сигналов всех остальных (настройка приемника).

На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например вибрографов — приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др,) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной коры, и т. п.

43

Лекция 12

Динамика механических систем

•Понятие механической системы

Понятие механической системы. Деление сил на внешние и внутренние. Условность этого деления на примере Солнечной системы.

Свойства внутренних сил

1.Главный вектор всех внутренних сил равен нулю;

2.Главный момент системы относительно любого центра или оси равен нулю.

•Задачи динамики системы и общие теоремы динамики систем

Общая задача динамики системы – определение движения каждой из точек системы. В такой постановке она чрезмерно сложна и поддается решению лишь в исключительных случаях. Однако на практике ее решение как правило и не требуется, например, для описания движения кривошипно-ползунного механизма достаточно задать зависимость угла поворота кривошипа от времени. Для решения таких сокращенных задач в инженерной практике применяются специальные методы основанные на т.н. общих теоремах динамики.

Существуют 4-и общие теоремы динамики

1.Теорема о движении центра масс;

2.Теорема о количестве движения (теорема об изменении импульса);

3.Теорема о изменении момента количества движения (момента импульса);

4.Теорема о изменении кинетической энергии системы;

•Массы системы и центра масс

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел образующих систему.

В понятии массы системы никоим образом не учитывается распределение масс. Оказывается, что для учета распределения масс достаточно задать координаты центра масс и осевые моменты инерции.

Геометрическая точка С положение которой определяется формулами
x =		∑mk xk		, y =	∑mk yk	, z		=	∑mk zk
		k			k				k
		∑mk			∑mk				∑mk
C				C			C
либо		k			k				k
	∑mk rk
r =		k
		∑mk
C

k

называется центром масс или центром инерции механической системы.

•Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

44

Масса – мера инертности системы, но при вращательном движении одной массы мало. Рассмотрим пример с фигуристом сводящем руки при вращении вокруг оси.

Мерой инертности тела при вращательном движении является осевой момент инерции.

Моментом инерции системы относительно данной оси Оz называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этой оси:

Jz = ∑mk hk2

k

Для определения осевых моментов инерции можно расстояние точек от осей

выражать через координаты xk, yk, zk этих точек. Тогда момент инерции относи-
тельно координатных осей будут определяться как
Jx = ∑mk ( yk2 + zk2 ), J y = ∑mk ( xk2 + zk2 ), Jz = ∑mk ( yk2 + xk2 )
k	k	k

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина ρz

Jz = M ρ2z

Смысл этого понятия – расстояние от оси до точки в которой надо сосредоточить массу всего тела, что бы момент инерции этой точки был равен моменту инерции тела.

В случае сплошного тела при определении момента инерции его надо развивать на элементарные ячейки. В этом случае сумма превратится в интеграл

Jz = ∫ h2dm = ∫ ρh2dV

( V ) ( V )

Проведем вычисление осевых моментов инерции основных геометрических тел.

• Однородный круглый цилиндр

	Jz = ∫ ρr2dh2πrdr = 2πρH∫dh∫R r3dr = πρH		R4	=	MR2
			2		2
	( V )	0 0

•Однородный тонкий стержень относительно конца

J = Ml3 2

•Сплошная прямоугольная пластина со сторонами АВ=а и ВД=b

	J AB	=	Mb2	, JBD	=	Ma2
			3			3

• Прямой сплошной однородный круглый конус

J= 0.3MR2

•Сплошной шар

J= 0.4MR2

45

•Теорема Гюйгенса

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции тела относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Доказательство: рассмотрим две системы координат не штрихованная - произвольная, штрихованная – параллельна первой и связана с центром масс

xk = xk′ + d , yk = yk′, zk = zk′

Тогда
JOz = ∑mk ( xk2 + yk2 ) = ∑mk ( xk′2 + yk′2 ) + d 2		∑mk −2d ∑mk xk′
k	k	k	k

Последнее слагаемое равно нулю, т.к. вторая система координат связана с центром масс, поэтому получаем

JOz = JOz′ + d 2 M

46

Лекция 13

Теорема об изменении кинетической энергии

•Кинетическая энергия материальной точки и механической сис-

темы

Кинетической энергией мат. точки называется скалярная величина равная по-

ловине произведения массы точки на квадрат скорости ее движения

K = m2υ2

Единицей измерения энергии является джоуль

1Äæ =1êã* ì 2 / c2 .

Данное соотношение естественным образом может быть обобщено и на систему материальных точек: кинетическая энергия системы – сумма кинетических энергий точек составляющих эту систему.

	K =	1	∑mk υk2
		2
			k

Рассмотри в качестве механической системы твердое тело.

Поступательное движение

Все точки движутся с одинаковыми скоростями равными скорости центра масс тела, поэтому

		1		2		υ2	M υ2
	K =		∑mk	υk	=	C ∑mk =	C
		2					2
			k			2 k

Вращательное движение

Скорость любой точки может быть определена через угловую скорость тела

	K =	1	∑mk υk2 =	1	∑mk ω2hk2 =	ω2	∑mk hk2 =	ω2 J
		2		2		2		2
			k		k		k

Плоскопараллельное движение

Если в качестве полюса выбрать центр масс (С=Р), то выражение для кинетической энергии принимает вид

K =	M υ2		J	Cz	ω2
	C	+				,
	2			2

где υC и JCz скорость центра масс и осевой момент инерции относительно ось про-

ходящей через центр масс.

В качестве полюса также может быть рассмотрен и мгновенный центр скоро-

стей (СV=P). Тогда υCV = 0 и для кинетической энергии получаем

K = JCV zω2 .

2

47

При этом необходимо помнить, что в последнем случае ось вращения проходит через МЦС, а значит для осевого момента инерции может быть использована теорема Гюйгенса

JC z = JCz		+ Mr2
V			CCV
Подставим это в выражение для кинетической энергии
	2		= (	J		+ Mr	2	)	2		2		Mr	2	2		2	2
	JCV zω								ω						ω
K =					Cz	CCV				=	JCzω	+	CCV			=	JCzω	+	M υC	.
	2					2					2			2			2
																		2

Т.о. очевидно, что оба выражения являются эквивалентными.

• Работа силы. Мощность

Работа – характеристика действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении.

Элементарной работой силы F приложенной в точке М называется скалярная величина

dA = Fτds ,

где ds – модуль элементарного перемещения точки М.

Если учесть, что ds=|dr|, а Fτ=Fcosα, то последнее соотношение может быть записано как

δA = Fτds = F cos α dr = Fdr cos α = Fdr ,

Т.о. элементарная работа равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения. Из этого определения сразу следует, что работа равна нулю если линия действия силы и перемещение тела ортогональны. Пример такой силы – сила Лоренца, действующая на электрон в магнитном поле.

Согласно правилам раскрытия скалярного произведения для элементарной работы может быть записано следующее выражение

δA = Fxdx + Fy dy + Fz dz ,

Все эти соотношения применимы лишь для элементарной работы, т.е. работы на бесконечно малом перемещении. Работа же на любом конечном перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы

M1	M1
A( M0M1 ) = ∫ Fτds = ∫ (Fx dx + Fy dy + Fz dz) ,
M0	M0

Если сила постоянна по величине и направлению, а точка к которой приложена сила движется прямолинейно, то в этом случае

Fτ = F cos α = const

и

A( M0M1 ) = Fs1 cos α,

где s1 – конечное перемещение.

Мощность – работа совершаемая силой в единицу времени («скорость работы»)

48

N= dAdt = Fdtdr = F ddtr = Fυ= Fυcos α

Всистеме СИ работа измеряется 1 джоулях (1 Дж=1 кг м2/c2), а мощность в ват-

тах (1 Вт=1 Дж/c).

• Примеры вычисления работы

Работа силы тяжести.

Есть две точки М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). Ось z направим вверх. Тогда для силы тяжести имеем Px=Py=0, Pz=-P.

M2		z2
A( M1M2 ) = ∫	(Pxdx + Py dy + Pz dz) = ∫		Pz dz = −P(z2 − z1 ) = P(z1 − z2 ) ,
M1		z1

Т.о. работа силы тяжести равна плюс/минус весу тела умноженному на вертикальное перемещение тела. Знак плюс – если тело падает, минус – если подымается. Как видно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а определяется только конечным и начальным положениями тела. Силы обладающее таким свойст-

вом называются потенциальными.

Работа силы упругости.

Рассмотрим свободные одномерные колебания. При выборе начала координат в положении статического равновесия для силы упругости может быть записано следующее выражение

Fx = −cx, Fy = Fz = 0

и тогда

	M	x		c			c
	A( M1M2 ) = ∫2	(Fxdx + Fy dy + Fz dz) = −c∫2	xdx =		(x12	− x22 ) =		(λ12	−λ22 ) ,
	M1	x1	2			2

Можно показать, что эта формула допускает обобщение на случай не прямолинейного движения, т.е. сила упругости также потенциальна.

Работа силы трения скольжения.

Fтр = − fN

и

M	M		если сила трения
A( M1M2 ) = ∫2	Fтрds = − ∫2	fNds =		= −Fтрs
M1	M1		постоянна

т.о. работа зависит от пройденного пути, т.е. от траектории, а значит сила трения непотенциальна.

Работа силы трения качения.

Если происходит качения без проскальзывания, то силы трения качения приложена в точке соприкосновения тела и плоскости, т.е. в точке МЦС. А т.к. скорость этой точки равна 0, то элементарное перемещение также 0 и работа равна нулю.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу.

dA = Fτds = Fτhdϕ = Mdϕ,

В случае постоянного момента имеем

49

A= M ϕ,

амощность соответственно равна

N= M ω.

• Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим производную от кинетической энергии точки

dK

=

d mυ2

=

m dυυ

=

m

2υ

dυ

= mυa = υ(ma) =

dt

2 dt

dt 2

2

dt

= υ∑Fk = ∑υFk = ∑Nk (Fk )

k

k

k

Полученное соотношение и выражает теорему об изменении кинетической

энергии в дифференциальной форме: производная от кинетической энергии по времени равна сумме мощностей сил действующих на материальную точку.

Рассмотрим полученное соотношение как дифференциальное уравнение, разделим в нем переменные и проинтегрируем

∫dK = ∫∑Nk (Fk )dt,	K − K0 = ∑∫Nk (Fk )dt = ∑Ak (Fk )
k	k	k

Очевидно, что произвольная постоянная интегрирования в полученном соотношении имеет смысл начальной кинетической энергии. Само это соотношение вы-

ражает теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме: из-

менение кинетической энергии равно сумме работ сил действующих на материальную точку.

• Теорема об изменении кинетической энергии механической

системы

Как было отмечено выше кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий отдельных точек механической системы. Это позволяет записать следующее

		K = ∑Ki ,		dK	= ∑	dKi	= ∑Nik (Fik )
				dt		dt
			i		i		i,k
	Учитывая что в механической системе силы могут быть разделены на внешние
	и внутренние получаем
		dK	= ∑Nk(e) (Fk(e) ) +∑Nk(i) (Fk(i) )
		dt
			k			k

Производная от кинетической энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил действующих на механическую систему.

Аналогичным образом может быть проведено и обобщение на случай механи-

ческой системы и интегральной формулировки теоремы
K − K0 = ∑Ak(e) (Fk(e) ) +∑Ak(i) (Fk(i) )
k	k

Изменение кинетической энергии равно сумме работ всех внешних и внутренних сил действующих на механическую систему.

50