Groda_Prikladnaya_mekhanika

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытных фактов и наблюдений. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г. Сформулировать эти законы можно следующим образом.

Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи – пребывать, неизменно в движении. Важно отметить, что развитие динамики как науки стало возможным лишь после того, как Галилеем был открыт этот закон (1638 г.) и тем самым опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. В связи с этим в механике вводят понятие о системе отсчета, в которой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и называют инерциальной системой отсчета.

Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изме-

няется скорость точки при действии на нее какой–нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством ma = F

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость

ma = F

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отно-

шению к инерциальной системе отсчета.

Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т.е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динами-

ки, принимает в этом случае вид

ma = ∑Fk k

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) ус-

танавливает характер механического взаимодействия между материальны-

31

ми телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Данный закон играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

•Задачи динамики

Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:

•первая задача динамики: зная закон движения точки, опре-

делить действующую на нее силу

•вторая или "основная" задача динамики: зная действующие

на точку силы, определить закон движения точки.

Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверхности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

•Основные виды сил

При решении задач динамики мы будем в основном рассматривать следующие постоянные или переменные силы.

Сила тяжести. Это постоянная сила Р, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности. Модуль силы тяжести равен весу тела.

Опытом установлено, что под действием силы Р любое тело при свободном падении на Землю (с небольшой высоты и в безвоздушном пространстве) имеет одно и то же ускорение g, называемое ускорением свободного падения. Тогда из второго закона Ньютона следует

P = mg

Сила трения. Так будем кратко называть силу трения скольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством

F = fN

где f – кффициент трения, который будем считать постоянным; N – нормальная реакция.

Сила тяготения. Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга, и выражается равенством

32

F =G m1m2 r2

где G – гравитационная постоянная (в СИ G=6.673x10-11 м3/кг с2).

Сила упругости. Эта сила тоже зависит от расстояния. Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. В

частности, для силы упругости пружины получается значение

F = cλ

где λ – удлинение (или сжатие) пружины; с – коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

Сила вязкого трения. Такая сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде (или при нали-

чии жидкой смазки) и может быть выражена равенством

R =μυ

где υ – скорость тела; μ – коэффициент сопротивления.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления. Эта сила тоже зависит от скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде, как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством

R = 0.5cxρSυ2

где ρ – плотность среды; S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя); сх – безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно ориентировано при движении.

• Дифференциальные уравнения движения

материальной точки

В основе решения задач динамики точки лежит использование второго закона динамики. Этот закон векторный, а значит нам надо перейти от векторной формы записи к скалярной, для чего в свою очередь необходимо конкретизировать вид используемой системы координат.

Уравнения движения в декартовых координатах. Рассмотрим мате-

риальную точку, движущуюся под действием сил F1, F2, …, Fn по отношению к инерциальной системе отсчета Охуz. Проектируя обе части равенства ma = ∑Fk оси х, у, z и учитывая, что ax = d 2x / dt2 и т. д., получим:

k
m d 2x = ∑F				,	m d 2 y = ∑F ,				m d 2z	= ∑F
dt2		kx				dt2	k	ky	dt2	kz
		k								k
или	∑Fkx,		my =			∑Fky ,		mz = ∑Fkz
mx =
&&					&&			&&
		k				k			k

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени, от положения точки и от

33

скорости, то в общем случае правая часть каждого из уравнений может быть функцией этих переменных, т. е. t, x, у, z, υх, υу, υz одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства ma = ∑Fk

k

на оси Мτnb, т. е. на касательную Мτ к траектории точки, главную нормаль Мn и бинормаль Mb. Тогда, учитывая, что

a = dυ		,	a =	υ2	,	a = 0
τ	dt		n	ρ		b

получим

m dυ = ∑F		,	m	υ2 = ∑F		, 0 = ∑F
dt	kτ			ρ	kn	kb
	k				k	k

Полученные уравнения, представляют собой дифференциальные

уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

•Решение основной задачи динамики при прямолинейном

движении точки

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться одним скалярным дифференциальным уравнением вида

m	d 2x	= ∑Fkx	&&	= ∑Fkx
	dt2		mx
		k		k

Данное уравнение называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

m dυ = ∑F		dx = υ
dt	kx	dt
	k

Т.о. решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t). Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение второго порядка. При этом очевидно, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка будет иметь вид

x = x(t,C1,C2 ) ,

где С1 и С2 – произвольные постоянные интегрирования.

Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных С1 и С2. Для этого используются началь-

ные условия.

Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определен-

34

ного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент – начальной скоростью. Чтобы однозначно решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени.

В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в

виде

при t = 0, x = x0, υ = υ0

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных С1 и С2 и найти частное решение дифференциального уравнения, задающее закон движения точки, в виде

x = x(t, x0, υ0 ) .

Вцелом решение задач динамики точки путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения, сводится к следующим операциям.

1.Составление дифференциального уравнения движения. Для его составления в случае прямолинейного движения надо:

а) выбрать начало отсчета (как правило, совмещая его с начальным положением точки) и провести координатную ось, направляя ее вдоль траектории и, как правило, в сторону движения; если под действием приложенных сил точка может находиться в каком–нибудь, положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении статического равновесия;

б) изобразить движущуюся точку в произвольном положении (но так, чтобы было x>0 и υ>0; последнее существенно, когда среди сил есть силы, зависящие от скорости) и показать все действующие на точку силы;

в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения; при этом надо обязательно все переменные силы выразить через те величины t, x или υ), от которых эти силы зависят.

2.Интегрирование дифференциального уравнения движения.

3.Определение постоянных интегрирования.

4.Нахождение искомых в задаче величин и исследование полученных результатов.

Вкачестве иллюстрации намеченной схемы решения задачи рассмотрим конкретные задачи, в которых сила F, действующая на материальную точку массы m

1.является постоянной (F0, начальные условия x0, υ0);

2.зависит от времени (F=F0exp(–t/τ), начальные условия x0, υ0);

3.зависит от скорости (F=-μυ2, начальные условия x0=0, υ0≠0);

4.зависит от расстояния (F=kx3, начальные условия x0=0, υ0=0).

35

Лекция 11

Колебания материальной точки

•Введение

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической при роде, основные законы этих колебаний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.

•Свободные колебания

Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восста-

навливающей силы F, направленной к неподвиж-

ному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы F на ось Ох будет

Fx = −cx

Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F=0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером, такой силы является сила упругости пружины.

Составляя дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х, получим:

mx&&= −cx

Деля обе части равенства на m и вводя обозначение k2 = mc

приведем уравнение к виду

&&x + k2x = 0

Полученное линейное однородное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления.

Решение этого уравнения второго порядка ищут в виде х=Сеnt. Что приводит к следующему характеристическому уравнению для определения n.

n2 + k2 = 0

Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (n=±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения имеет вид

x =C1 cos kt +C2 sin kt

36

где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Если вместо постоянных С1 и С2 ввести постоянные А и α, такие, что С1=A sinα и С2=A cosα

x = Asin (kt +α) (*)

Это другой вид решения уравнения свободных колебаний, в котором постоянными интегрирования являются А и α. Им удобнее пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении

υx = x& = Ak cos(kt +α)

Колебания, совершаемые точкой по закону (*), называются гармони-

ческими колебаниями.

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса А из положения В0, определяемого углом DOB0=α. Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный момент времени t угол φ=DOB=α+kt и легко видеть, что проекция М точки В на диаметр, перпендикулярный DE, движется по закону x = Asin (kt +α), где x=ОM, т е. со-

вершает гармонические колебания.

Величина А, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний. Величина φ=DOB=α+kt называется фазой колебаний. Фаза φ в отличие от координаты х определяет не только положение точки в данный момент времени, но и направление ее последующего движения; например, из положения М при фазе, равной φ, точка движется вправо, а при фазе, равной (π-φ) – влево. Фазы, отличающиеся на 2π считаются одинаковыми.

Величина α определяет фазу начала, колебаний (начальная фаза). Например, при α=0 колебания происходят по закону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при φ=π/2 – по закону косинуса (начинаются из положения х=А сo скоростью υ0=0). Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, называется кру-

говой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или τ), в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2π. Следовательно, должно быть kT=2π, откуда

период

T = 2π/ k

Величина ν, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:

ν =1/T = k / 2π

37

Отсюда видно, что величина k отличается от ν только постоянным множителем 2π. В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть и величину k.

Найдем теперь значения постоянных интегрирования А, α, С1 и С2. Считая, что при t=0 х=х0 и υх=υ0, получим

x0 = Asin (α)

υ0 = Ak cos(α)

Следовательно	A =	x2	+ υ02 ,		tan α = k	x0
		0	k2			υ0
При другом виде записи решения получаем
x0 = C1
υ0 = C2k,	C2 = υ0 / k
Сопоставляя эти постоянные интегрирования получаем
A = C2 +C2 ,		tan α =		C1
1	2			C2

Свойства свободных колебаний. В заключение отметим следующие важные свойства свободных колебаний:

1)амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных (или краевых) условий;

2)частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.

•Влияние постоянной силы на свободные колебания точки

Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F, направленной к центру О (численно F=cOM), действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р. В этом случае положением равновесия точки М, где си-

ла Р уравновешивается силой F, будет точка О1 отстоящая от О на расстоянии OО1=λст которое определяется равенством

cλñò = P λñò = P / c

Величину λст назовем статическим отклонением.

Примем О1 за начало координат и направим ось О1х в сторону действия силы Р. Тогда Fx = −c(x + λñò ) и Px = P . В результате, составляя урав-

нение движения получаем		2	x = 0
mx = −c(λñò	+ x) + P x + k
&&	&&

Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. Отсюда заключаем, что постоянная сила

Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения λст.

38

Выражая период колебаний через λст получим

T = 2π mλñò

P

Таким образом, период колебаний пропорционален корню квадратному из статического отклонения λст.

•Свободные колебания при вязком сопротивлении

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения, т. е. силой, пропорциональной первой степени скорости: R=-μυ (знак минус указы-

вает, что сила R направлена противоположно υ). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R. Тогда дифференциальное уравнение движения будет

mx = −cx −μx
&&				&
Деля обе части уравнения на m, получим
&&	&		2	x	= 0
x + 2bx + k
где обозначено
k2 =	c	, 2b =				μ
						m
	m

Легко проверить, что величины k и b и имеют одинаковые размерности (1/время); это позволяет, сравнивать их с друг с другом.

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой диф-

ференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении,

пропорциональном скорости. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

n2 + 2bn + k2 = 0 ,

а его корни

n = −b ± b2 − k2 = 0

1. Рассмотрим случай, когда k>b, т. е. когда сопротивление по срав-

нению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение

k1 = k2 −b2

получим, что n = −b ±ik1, т. е. корни характеристического уравнения явля-

ются комплексными.

Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь следующий вид

x = e−bt (C1 cos k1t +C2 sin k1t )

или

x = Ae−bt sin (k1t +α)

Входящие в общее решение величины А, α, С1 и С2 являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

39

Колебания, происходящие по полученному закону, называются зату-

хающими, так как благодаря наличию множителя e−bt величина х=ОМ с течением времени убывает, стремясь к нулю.

Промежуток времени Т1, равный периоду sin (k1t +α), т. е.

величину

T = 2π =

2π

1

k1

k2 −b2

периодом

принято

называть

затухающих

колебаний.

За

период

точка

совершает

одно

полное

колебание.

Выражение

для периода колебаний можно еще представить в виде

2

2π

2π

T

1 b

T =

=

=

≈T 1

+

1

k2 −b2 k 1 −b2

k2

1 −b2 k2

2 k

2

Из полученного соотношения видно, что Т1>Т, т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Однако когда сопротивление мало (b<<k), то величиной b2/k2 по сравнению с единицей можно пренебречь и считать. Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным T1. Следовательно, если первое максимальное отклонение вправо x1 происходит в момент t1, то второе отклонение x2 наступит в момент t2= t1+T1 и т. д. Тогда получаем:

x2 = Ae−bt2 sin (k1t2 +α)= Ae−bt1−bT1 sin (k1t1 + k1T1 +α)= Ae−bt1e−bT1 sin (k1t1 + 2π+α)= x1e−bT1

Аналогично для любого отклонения xn+i будет xn+1 = xne−bT1 . Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону

геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии e−bT1 называется декрементом рассматриваемых колебаний, а модуль его логарифма, т.

е. величина bT1 - логарифмическим декрементом.

Из всех полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепенное их затухание вследствие убывания размахов колебаний по закону геометрической прогрессии.

2. Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение

b2 −k2 = r2 , найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения равны n = −b ± r , т. е. оба действительны и отрицательны.. Следова-

40