16.1 Теорема Лагранжа.

Построим теперь изображение не точки, а светящегося малого отрезка А₁В₁, перпендикулярного продолжению оси OS (рис.227). Построение изображения будем производить параксиальным пучком света. В случае параксиальных лучей тангенсы углов u₁ и u₂, определяющие максимальное раскрытие (апертуру) соответственно падающих на преломляющую поверхность и сопряженных им изображающих пучков, можно заменить значениями самих углов.

Рис. 227.Построение малого объекта с помощью тонкой линзы и параксиальных пучков.

Обозначим показатели преломления сред соответственно слева и справа от преломляющей поверхности через n₁ и n₂, длину отрезка – через y₁, длину изображения – через y₂, расстояния от А₁В₁ и А₂В₂ до преломляющей поверхности -- соответственно через a₁ и a₂, углы падения и преломления – через i и r.

Из Δ А₁В₁S и Δ А₂В₂S соответственно имеем:

tg i=y₁/a₁; tg r = y₂/a₂. (102)

Ввиду малости длин y₁ и y₂ тангенсы углов падения и преломления можно заменить синусами соответствующих углов. Принимая во внимание также закон преломления света, получим:

tg i / tg r = sin i /sin r = (y₁/a₁) (a₂/ y₂) = n₂/n₁ (103)

С другой стороны, исходя из треугольников A₁PS и A₂PS, а также из условия параксиальности, имеем:

tg u₁ = PS/A₁S = PS/a₁~ u₁; tg u₂ = PS/A₂S = PS / a₂ ~ u₂ (104)

Отсюда:

a₁/a₂=u₂/u₁ (105)

Учитывая (111) и ( 109), получим:

y₁n₁u₁ = y₂n₂u₂ (106)

Это соотношение носит название теоремы Лагранжа-Гельмгольца.

Если апертура пучка так велика, что параксиальность нарушается, тогда вместо теоремы Лагранжа-Гельмгольца пользуются условием синусов Аббе:

y₁ n₁ sin u₁ = y₂ n₂ sin u₂ (107)

Выводы из теоремы Лагранжа-Гельмгольца. Проанализировав теорему Лагранжа-Гельмгольца, можно получить из нее следующие выводы:

1. Поскольку отношение a₂/a₁ в пределах апертуры параксиальных лучей остается постоянным при всех значениях углов u₁ и u₂, то, как следует из теоремы Лагранжа-Гельмгольца, т.е.:

y₂ /y₁ = (n₁/n₂)(u₁/u₂) = (n₁a₂) (n₁a₁) = const (108)

т.е. увеличение (отношение величины изображения к величине предмета) малого предмета, расположенного около оси, сохраняется неизменным для всех лучей параксиального пучка. Это говорит о том, что изображение рассмотренного предмета передается параксиальным пучком без изменения.

2. Заданный световой пучок с помощью оптических систем* можно преобразовать в другой пучок только в рамках условия Лагранжа-Гельмгольца. Отсюда следует, что никакая оптическая система не может увеличить яркость светового пучка. Исходя из этого, теорему Лагранжа-Гельмгольца часто называют одним из видов принципа сохранения энергии.

* См.: Слюсарев Г.Г. «О возможном и невозможном в оптике». М., 1957, пар.7, с.51-53; его же «Геометрическая оптика, 1946, пар.4, гл.VI.

16.2. Оптические системы на основе полупроводниковых лазеров.

Одной из первых оптических систем на основе полупроводниковых лазеров является оптический модуль полупроводникового лазера, состыкованного с одномодовым или многомодовым волокном. При всей своей внешней простоте это сложная система, которая должна обеспечить стабилизацию рабочей температуры юстированных оптических элементов, что достигается с помощью элемента пелтье и датчика температуры. Герметичность модуля обеспечивается чаще всего лазерной сваркой. Обратная связь с помощью фотодиода обратной связи. При необходимости модуль снабжается высокочастотным вводом.

Рис. 228. Внешний вид оптического модуля полупроводникового лазера.

Рис.229.Схематическое изображение оптического модуля полупроводникового лазера – оптического усилителя состыкованного с волоконной дифракционной решеткой.

Рис.230. Схематическое изображение оптического модуля полупроводникового оптического усилителя состыкованного с набором одномодовых волокон собранных на выходе в волоконно оптический кабель.

После возникновения мощных одиночных полупроводниковых лазеров были разработаны мощные полупроводниковые модули сумматоры, позволяющие собрать в одном многомодовом волокне излучение нескольких полупроводниковых лазеров. Для этого были придуманы множество схем сумматоров оптического излучения.

Рис. 231. Мощный оптический модуль с сумматором оптического излучения четырех полупроводниковых лазеров, каждый из которых введен в отдельное кварцевое многомодовое волокно.