ЭЛЕКТРОТЕХНИКА ДОМАШНИЕ И КУРСОВЫЕ ЗАДАНИЯ

по законам Кирхгофа. Построения выполняют на миллиметровке, используя масштабы, соответствующие ГОСТ. Желательно токи и напряжения выделять разными цветами.

Рис. 1.3

4. Проверка баланса активных и реактивных мощностей.

Проверка баланса мощностей выполняется с помощью уравнения

*	5	2
&			,
E I ист = å Zk Ik

k =1

*

где I ист– сопряженный комплекс тока в ветви, в которую включен источник, E& – комплекс ЭДС источника, Zk , Ik – комплексное сопротивление и действующее значение тока в ветви k .

Для рассмотренного варианта:				*	*	=6,798e j28,31o A .
				I ист =I 1
Определяем комплекс полной мощности источника:
&		ист =Pист + jQист =127e	j25	×6,798e		j28,32o	=
S ист =EI
=863,3e j53,31o =515,8+ j692,3ВА

10

Определяем комплекс полной мощности приемников цепи:

5

S пр = å Zk I k2 = Pпр + jQпр = j40 × 6,7982 + (- j30) × 6,2092 +

k=1

+ 40 × 2,7692 + 50 ×1,5102 + 60 ×1,2592 = 515,8 + j692,0 (ВА),

Pпр = 515,8 Вт, Qпр = 692 ВАр.

Проводим оценку выполнения баланса:

dP=

Pист -Pпр

×100%=

515,8-515,8

×100%=0% ;

Pист

515,8

dQ=

Qист -Qпр

×100%=

692,3-692,0

×100%=0,04% .

Qист

692,3

Полученные расхождения находятся в пределах заданной погрешности.

5. Определение показаний приборов.

Амперметр показывает действующее значение тока I2 = IA = 6,209 А, вольтметр – действующее значение напряжения

U4 = Uv = 75,51 В.

Показание ваттметра определяется произведением действующих значений напряжения и тока на соответствующих обмотках

прибора на косинус угла сдвига фаз между ними:

P

=U

I

) =186,3×2,769×cos 0o = 515,9 Вт.

2

3

cos(U

2

, I

3

w

6. Расчет тока I&2 методом эквивалентного генератора.

Этот метод предпочтителен при определе-

нии тока только в одной из ветвей сложной

электрической цепи. При этом остальная

часть цепи заменяется эквивалентным актив-

ным двухполюсником, называемым эквива-

Рис.1.4

лентным генератором (рис.1.4).

&

и

Параметрами эквивалентного генератора являются ЭДС Eэг

внутреннее сопротивление Zэг.

В процессе расчета определяем ЭДС эквивалентного генератора E&эг =U& хх , где U& хх – напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab (в рассматриваемом случае Z2), и внутреннее сопротивление экви-

11

валентного генератора Zэг , равное эквивалентному сопротивле-

нию цепи по отношению к зажимам ab. Ток в ветви рассчитываем по формуле

I&2 =E&эг /(Zэг +Z2 ) .

6.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора (рис.1.5, а).

Рис.1.5

Ток источника в режиме холостого хода (ветвь с элементом Z2 разомкнута) равен:

&

127e

j25o

127e

j25o

o

I&1 =

E

=

=

=1,623e− j5,74

А,

j40 + 67,27

o

Z1 + Z345

78,26e j30,74

где Z345 = Z3 + Z45 = 40 + 27,27 = 67,27 Ом .

ЭДС эквивалентного генератора

&

&

=Z345

&

− j5,74o

=109,2e

− j5,74o

В .

Eэг =U ab

×I1 =67,27×1,623e

xx

6.2. Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (рис.1.5, б).

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относи-

тельно точек a и b

Zab =Zэг =

Z1Z345

=

j40×67,27

=34,38e j59,26o =17,57+ j29,55 Ом.

j40+67,27

Z1 +Z345

Искомый ток (см. рис 1.4)

&

&

109,2

− j5,74o

109,2

− j5,74o

− j4,27o

Eэг

А.

I2

=

=

=

o

=6,212e

Zэг +Z2 17,57+ j29,55- j30

17,58e− j1,47

Результаты расчетов, выполненных различными методами, практически совпадают.

В заключении следует привести краткие выводы по выполненному расчету.

12

Задание 2

РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПРОЦЕССА

ВЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

СДВУМЯ ИСТОЧНИКАМИ ЭДС

Постановка задачи

В цепи, представленной на рис 1.1 (см. задание 1), действуют два (из пяти возможных) источника синусоидальной ЭДС:

e1(t) = 141sin ωt, B , e2 (t) = 179sin(ωt + ψ) B . Модуль сопротивле-

ний элементов цепи z1=10 Ом, z2=30 Ом, z3=40 Ом, z4=50 Ом, z5=60 Ом при частоте f = 50 Гц. Начальная фаза ЭДС ψ и характер

сопротивлений заданы в табл. 1.1, нумерация сопротивлений – в табл. 1.2 (см. задание 1).

Номер варианта задается преподавателем в виде четырех чисел, например: 25 -7 - 2 - 3. Первое число указывает номер строки в табл. 1.1 (характер сопротивления), второе – номер строки в табл. 1.2 (положение сопротивлений в цепи), третье и четвертое – номера сопротивлений, последовательно с которыми включены источ-

ники ЭДС	e1 и e2 .
Для	указанного	в качестве примера варианта
Z3 = jX L = j40 Ом ,		Z2 = jX L = j30 Ом ,	Z5 = R = 60 Ом ,

Z4 = − jX C = − j50 Ом , Z1 = R = 10 Ом , ψ = 15o . Источник ЭДС e1 включен последовательно с сопротивлением Z2, источник e2 – последовательно с сопротивлением Z3.

Содерж ание задания

1.Рассчитать все токи и напряжения следующими методами в комплексной форме:

∙ по законам Кирхгофа; ∙ методом контурных токов;

∙ методом узловых потенциалов.

Результаты расчета комплексов токов в ветвях и напряжений на всех участках цепи методом узловых потенциалов свести в таблицу. Сравнить результаты, полученные разными методами.

2.Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

3.Проверить баланс мощностей.

13

4.Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра.

5.Определить ток в одной из ветвей цепи, не содержащей источника ЭДС, методом эквивалентного генератора (ЭДС эквивалентного генератора найти методом наложения). Сравнить полученное значение тока со значением, найденным по законам Кирхгофа.

Методически е указания

Рассмотрим последовательность выполнения задания на примере варианта 30 -13 -1 -3.

Исходная схема, соответствующая указанному варианту, приведена на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Комплексные сопротивления элементов имеют значения Z1= = j10 Oм, Z2 = -j30 Oм, Z3 = 40 Ом, Z4 = 50 Ом, Z5 = 60 Ом, комплек-

сы действующих значений ЭДС E&1 =100В , E&2 =127e j25o В.

1. Расчет цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме.

Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Цепь содержит пять ветвей и три узла. Составляем систему уравнений для комплексов действующих значений токов и напряжений:

I&1 −I&2 −I&3 =0,

I&3 −I&4 −I&5 =0,

Z1I&1 +Z2 I&2 =E&1, (2.1)

−Z2 I&2 +Z3 I&3 +Z4 I&4 =E&2 , −Z4 I&4 +Z5 I&5 =0.

Подставляем параметры элементов и записываем систему урав-

14

нений (2.1) в матричной форме [A]´[I ]= [F], где квадратная мат-

рица	[A]	– обобщенная матрица коэффициентов, [I ]								– вектор-
столбец токов ветвей,				[F ] – вектор-столбец правой части (вектор
входных воздействий).
é 1		-1 -1		0	0ù	é I&1	ù	é	0ù
ê	0	0	1		ú	ê &	ú	ê	ú
ê				-1 -1ú		êI2	ú	ê	0ú
ê j10		- j30	0	0	0ú	× êI&3	ú	= ê	100ú .	(2.2)
ê	0	j30	40	50	ú	ê	ú	ê	ú
ê					0ú	êI&4	ú	ê115	+ j53,7ú
ê	0	0	0	- 50	ú	ê &	ú	ê	ú
ë					60û	ëI5	û	ë	0û

Решаем систему уравнений (2.2) с помощью любой прикладной математической программы и находим комплексы действующих значений токов в ветвях цепи:

æ5,885+4,885i ö

ç1,962+4,962i ÷ I =ç3,924-0,077i÷ .

ç2,14-0,042i ÷ çè1,783-0,035i ÷ø

Комплексные значения напряжений на элементах цепи определяем, используя закон Ома в комплексной форме.

2. Расчет цепи методом контурных токов.

Выбираем направления контурных токов совпадающими с обходом контуров на схеме рис 2.1. Запишем систему уравнений для трехконтурной цепи в общем виде:

Z11I&k1 +Z12 I&k 2 +Z13×I&k 3 =E&

Z21I&K1 +Z22 I&K 2 +Z23 I&k 3 =E&

Z31I&K1 +Z32 I&K 2 +Z33 I&k 3 =E&

k1,

k 2 , (2.3)

k 3.

Для рассчитываемой цепи Z11 = Z1 + Z2 = j10 - j30 = - j20 Ом,

Z12 = Z21 = -Z2 = j30 Ом, Z13 = Z31 = 0 ,
Z22 = Z2 + Z3 + Z4 = - j30 + 40 + 50 = 90 - j30 Ом,
Z23	= Z32 = -Z4 = -50 Ом, Z33 = Z4 + z5 = 50 + 60 =110 Ом,
&	&	&	&	j25o	=115,1	&	= 0 .
Ek1	= E1	=100 В, Ek 2	= E2 =127e			+ j53,7 В, Ek3

Система уравнений (2.3) после подстановки числовых значений принимает вид

15

é- j20		j30	0	ù	éI&K1	ù	é	100	ù
ê	j30	90 - j30		ú	ê &	ú	ê		ú	(2.4)
ê			-50ú		× êIK 2	ú	= ê115	+ j53,7ú .
ê	0	- 50	110	ú	ê &	ú	ê	0	ú
ë				û	ëI K3	û	ë		û

Матричное уравнение (2.4) решаем с помощью прикладной математической программы относительно комплексов контурных токов:

æ5,885+4,885i ö I =ç3,924-0,077i÷ .

çè1,783-0,035i ÷ø

На основании комплексов контурных токов вычисляем токи во

всех ветвях: I&1=I&k1 =5,885+ j4,885 А, I&2 =I&k1-I&k 2 =1,96+j4,96А I&3 =I&k 2 =3,927- j0,077 А, I&4 =I&k 2 -I&k3 =2,14- j0,042 А, I&5=I&k3= 1,783–

–j0,035А.

Комплексные значения напряжений на элементах цепи определяем по закону Ома в комплексной форме.

Сравниваем результаты, полученные в пп. 1 и 2.

3. Расчет цепи методом узловых потенциалов.

Схема на рис. 2.1 имеет три узла. Принимая потенциал узла 3

равным нулю: j3 =0 , записываем исходную систему уравнений:

&

&

&

&

(2.5)

Y11j1 -Y12j2 =I11,

&

-Y21j1 +Y22j2 =I22 .

&

&

Узловые проводимости рассчитываемой цепи:

Y

=

1

+

1

+

1

=

1

+

1

+

1

=0,0250- j0,0667=

- j30

11

Z1

Z2

Z3

j10

40

=7,12×10−2 e− j69,5o См,

Y

=Y

=

1

=

1

=2,50×10−2 См,

40

12

21

Z

3

Y

=

1

+

1

+

1

=

1

+

1

+

1

=6,17×10-2 См;

Z3

Z4

50

60

22

Z5

40

задающие узловые токи:

&

&

&

100 127e

j25o

− j104o

E1

E2

I =

-

=

-

=11,7e

A,

Z

Z

11

3

j10

40

1

j25o

&

127e

I&22

=

E2

=

=3,175e j25o A.

Z3

40

16

После подстановки числовых значений система (2.5) принимает вид

7,12e− j69,5o ×j&1-2,50×j& 2 =11,7×102 e− j1040 , -2,50×j&1+6,17×j& 2 =3,175×102 e j250o .

Решаем ее с помощью определителей. Определитель системы и алгебраические дополнения равны:

Y

-Y

7,12e

− j69,5o

-2,50

=42,1e

− j77,4o

D=det

=det

,

11

12

-Y

Y

-2,50

6,17

21

22

11 = (-1)(1+1) ×Y22 = 6,17

12 =

21 = (-1)(1+2) ×(-Y12) = 2,50,

22 = (-1)(2+2) ×Y11 = 7,12e− j69,5o .

Искомые потенциалы определяем по формулам

D11

&

D12

&

6,17

− j104o

j1 =

D

I11

+

D

I22

=

×1170

× e

+

42,1e− j77,4o

&

2,5

o

o

+

× 317,5 × e j25

=160e− j21,3

=149 - j58,1B,

42,1e− j77,4o

D21

&

D22

&

2,5

− j104o

j2 =

I11

+

I22 =

×1170

× e

+

&

D

D

42,1e− j77,4o

+

7,12e− j69,5o

× 317,5 × e j25o

=107e− j1,07o =107 - j2,00 B.

42,1e− j77,4o

Находим комплексы напряжений на элементах цепи:

U&1=E&1-(j&1-j& 3 )=100-149+ j58,1=-49,0+ j58,1= =76,0e j130o B,

&	=j1	-j3 =149- j58,1=160e					− j21,3o		B,
U 2
	&	&
	&	&
	U3 =E2 -(j2 -j1)=115+ j53,7-(107- j2,00-149+ j58,1)=
				&	&
	=157- j2,40=157e− j0,875o B,
&	&			-j3 =107- j2,00=107e				− j1,07o		B .
U 4	=U5 =j2
		&		&
	Искомые токи в ветвях:
		&			j130o
	I&1 =	U1	=76,0e			=7,60e j40,1o		=5,81+ j4,90 A ,
		Z1		10e j90o

17

&

160e

− j21,3o

I&2 =

U2

=

=5,33e j68,7o =1,94+ j4,97 A ,

o

Z2

30e− j90

&

=157− j2,40=3,93− j0,060=3,93e− j0,8750 A,

I&3 =

U3

Z3

40

&

&

107− j2,00

− j1,07o

U4

I4

=

=

=2,14− j0,040=2,14e

A,

Z4

50

&

=107− j2,00=1,78− j0,033=1,78e− j1,06o A.

I&5 =

U5

Z5

60

Результаты вычислений оформляем в виде таблицы.

Расчетная

Комплексные значения

Мгновенные значения

Алгебраиче-

Показательная

величина

ская форма

форма

I&1

А

5,81+ j4,90

7,6e j40,1o

i1(t)=10,7sin(ωt+40,1o )

…

…

…

…

…

I&5

А

1,78− j0,033

1,78e− j1,06o

i5(t)=2,52sin(ωt−1,06o )

&

В

−49,0+ j58,1

o

u1(t)=107sin(ωt+130

o

)

U1

76,0e j130

…

...

…

…

…

&

107− j2,00

107e− j1,06o

u5 (t)=151sin(ωt−1,06o )

U5

В

Результаты, полученные методом узловых потенциалов, сравниваем с результатами, полученными в пп.1.1 и 1.2.

2. Построение векторной диаграммы токов и напряжений.

Для построения векторной диаграммы (рис 2.2) используем алгебраическую форму представления комплексов действующих значений токов и напряжений.

Диаграмму выполняем на миллиметровке в масштабах, соот-

ветствующих ГОСТ: 0,2; 0,5; I; 2; 5; 10; 20 ... (A/см, В/см). Диа-

граммы токов и напряжений выделяем разными цветами. Векторные диаграммы токов и напряжений должны удовлетво-

рять уравнениям (2.1), составленным по законам Кирхгофа.

3. Проверка баланса мощностей.

Комплекс полной мощности, вырабатываемой источниками це-

пи, S	=	q=2	&
		å EqIq .
− ист		q=1

18

Подставляя числовые значения, полученные методом узловых потенциалов, имеем

S	2	&	*	&	*	&	*	- j4,90) +
	= å Eq Iq			= E1I1 + E2 I3 =100 × (5,81
− ист	q=1
+127e j25o		× 3,93e j0,875o				=1030 - j271 ВА.
Pист	= Re(S		) = 1030 Вт,				Qист = Im(S	) = -271ВАр.
		− ист					− ист

Комплекс полной мощности, потребляемой приемниками цепи:

k =5

I 2

= Z I 2

+ Z

I 2

+Z

I 2

+ Z

I 2

+ Z

I 2

=

S = å Z

k

2

3

4

5

− пр

k =1

k

1 1

2

3

4

5

= j10×7,682 - j30×5,332 + 40×3,932 +50×2,142 + 60×1,782 =1040- j275 ВА,

Pпр =1040 Вт,						Qпр = -275 ВАр.
Проводим оценку баланса:
dP =			Pист - Pпр			100% = 1040 -1030	100% = 0,9%;
			Pист
				1030

19