ЭЛЕКТРОТЕХНИКА ДОМАШНИЕ И КУРСОВЫЕ ЗАДАНИЯ

2		6
åEk	× Ik	= åI p2	× Rp .
k =1		p=1

Левая часть равенства представляет собой полную мощность, отдаваемую источниками энергии, правая – суммарную мощность, потребляемую приемниками.

Если направления тока и ЭДС в источнике не совпадают, мощность источника считается отрицательной (источник не отдает, а потребляет энергию). Следует также иметь в виду, что отрицательные значения токов, полученные при расчете цепи, означают, что физически токи направлены в противоположном выбранному на схеме направлении.

Проверим выполнение баланса мощностей для рассчитанной цепи, используя значения токов, полученных в п.1 (значения токов, полученных разными методами, должны быть практически одинаковыми):

Pист = E1 × I1 + E5 × I5 =10 × 0,128 + 50 × 0,59 = 30,78 Вт;

Pпр = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 = 0,16+2,22+6,4

+0,66+17,4+3,93 =30,77 Вт.

Погрешность проведенных расчетов составила:

	Pист - Pпр		×100% =	30,78 - 30,77	×100% = 0,03% ,
	Pист			30,78

что говорит об их высокой точности.

Задание 4

РАСЧЕТ РЕАКТИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

Постановка задачи

Генератор E& с внутренним сопротивлением Zi подключен к

активной нагрузке Rн через согласующий четырехполюсник С и пассивный фильтр Ф (рис.4.1). Генератор вырабатывает периодическую несинусоидальную ЭДС:

∞

e(t) = å 2En sin(nw1t + yn ), w1 =103 c−1.

n=0

Фильтр предназначен для пропускания в нагрузку гармоник не-

30

синусоидального напряжения в полосе частот от низкой

ωн = nнω1 до высокой ωв = nвω1 .

Согласующий четырехполюсник должен обеспечить передачу в нагрузку максимальной мощности на частоте согласования

ωc = ncω1 .

Рис. 4.1

Фильтр и согласующий четырехполюсник состоят из реактивных элементов. Типы фильтров приведены на рис. 4.2.

Рис. 4.2

31

Рис. 4.2 (окончание)

Вариант рассчитываемого фильтра, границы полосы пропускания, номер гармоники на частоте согласования, а также сопротивление нагрузки Rн и параметры элементов внутреннего сопротив-

ления генератора Ri , Li или Ci указаны в табл. 4.1.

32

								Таблица 4.1
	№		Полоса про-					Номер гармо-
		Тип фильтра	пускания		Rн, Ом	Ri, Ом	Li или Ci	ники частоты
	вари-
	анта	(рис 4.2)						согласования
			nн	nв
								nc
	1	1	3	6	700	300	0,015 Гн	5
	2	2	5	10	300	600	80 мкФ	8
	3	3	6	9	1000	500	0,010 Гн	7
	4	4	3	10	200	500	60 мкФ	6
	5	5	2	4	450	400	30 мкФ	3
	6	6	3	8	350	700	0,002 Гн	5
	7	7	5	7	250	100	0,005 Гн	6
	8	8	4	6	150	200	25 мкФ	5
	9	9	0	8	500	150	0,009 Гн	6
	10	10	0	10	750	350	100 мкФ	8
	11	11	0	6	850	100	75 мкФ	4
	12	12	0	9	650	500	0,12 Гн	5
	13	13	4	∞	200	600	0,020 Гн	6
	14	14	8	∞	300	500	65 мкФ	11
	15	15	6	∞	350	100	0,018 Гн	10
	16	16	5	∞	150	800	55 мкФ	9
	17	1	10	13	250	200	120 мкФ	11
	18	2	5	8	200	100	0,008 Гн	6
	19	3	2	4	400	500	110 мкФ	3
	20	4	3	5	300	150	0,030 Гн	4
	21	5	5	12	500	100	0,007 Гн	10
	22	6	8	12	100	200	0,020 Гн	9
	23	7	4	9	350	700	30 мкФ	5
	24	8	6	12	200	100	35 мкФ	8
	25	9	0	5	700	100	75 мкФ	4
	26	10	0	11	300	300	0,04 Гн	3
	27	11	0	7	600	500	0,015 Гн	3
	28	12	0	8	900	400	80 мкФ	2
	29	13	5	∞	800	100	85 мкФ	10
	30	14	6	∞	300	500	0,014 Гн	9
	31	15	3	∞	700	300	100 мкФ	5
	32	16	10	∞	1000	100	0,010 Гн	15

33

Содерж ание задания

1. Определить параметры элементов симметричного реактивного фильтра, нагруженного на повторное сопротивление. На частоте согласования повторное сопротивление принять равным Rн. Для режущих фильтров частота резонанса последовательного или параллельного контура должна располагаться в полосе затухания и совпадать с частотой гармоники в спектре напряжения генератора, ближайшей к границе полосы пропускания.

2.Для рассчитанного фильтра получить и построить графики зависимости модулей передаточной функции по напряжению и повторного сопротивления от частоты.

3.Получить частотные передаточные функции по напряжению

итоку фильтра, нагруженного на активное сопротивление Rн.

4.По передаточным функциям рассчитать и построить ампли- тудно-частотные и фазочастотные характеристики. Определить границы полосы пропускания по напряжению и току. Сравнить полученные полосы пропускания друг с другом и с заданной полосой пропускания.

5.Рассчитать параметры Г-образного согласующего четырехполюсника, обеспечивающего передачу максимальной мощности в активную нагрузку Rн на частоте согласования.

6.Заменить каскадно включенные фильтр и согласующий четырехполюсник эквивалентным четырехполюсником и найти для него на частоте согласования модуль коэффициента передачи по напряжению. Провести сравнение величины коэффициента со значениями, полученными в пп.2 и 3, объяснить расхождения.

П р и м е ч а н и е . При выполнении математических расчетов и построении графиков рекомендуется использовать прикладные математические пакеты MathCad и MatLab с последующим оформлением результатов.

Методические указания

Рассмотрим особенности выполнения задания на примере расчета фильтра варианта 32. Схема фильтра №16 (рис.4.2) представлена на рис.4.3.

В соответствии с табл. 4.1. исходными параметрами для расчета являются следующие:

34

ωн = nн·ω1 = 104 с-1, ωв = nв·ω1 = ∞, ωс = nс·ω1 = 1,5∙104 с-1, Rн =1 кОм, Ri = 100 Ом, Li = 0,01 Гн.

Рассчитываемый фильтр является режущим фильтром верхних частот. Качественный анализ его работы (рис.4.3) подтверждает этот факт.

На низких частотах сигнал подавляется за счет шунтирующего действия индуктивностей L1; на резонансной частоте параллельно-

	го контура w = wp =		1		сигнал не попадает на выход фильт-
			L0C0

ра из-за нулевой проводимости контура; при w ® ∞, отношение U2/U1 ® 1. Таким образом, резонансная частота должна располагаться в полосе затухания.

1. Определение параметров элементов фильтра.

Параметры элементов рассчитываются из условий на границах полосы пропускания и на частоте согласования. Границы полосы пропускания симметричного реактивного фильтра, нагруженного на повторное сопротивление, определяются из соотношения: Aф = ±1.

Повторное сопротивление на частоте согласования

Z П (ωc ) = BФ CФ = Rн. . А-параметры П-образного симметричного четырехполюсника находятся из следующих равенств:

Aф = Dф =1 + Z0Y1 =1 -

L0

,

L (w2 / w2

-1)

1

р

Bф

= Z0

= -

jwL0

,

(4.1)

w2

/ wр2

-

1

C

= 2Y + Y 2 Z

=

j

[-2 +

L0

],

L (w2

/ w2

-1)

ф

1

1

0

wL1

1

р

где Z0 – реактивное сопротивление продольной ветви фильтра,

Y =	1	– реактивная проводимость поперечных ветвей.
1	jwL1

Условие Аф=1 определяет верхнюю частоту полосы пропускания wв = ¥. Условие Аф= –1 приводит к равенству

L

æ w

2

ö

L

n2

1

ç

н

-1÷

=

1

[

н

-1] = 0,5 ,

(4.2)

L

L

0

ç

2

÷

(nн -

1)

2

è wp

ø

0

35

где wp = (nн -1)w1 определяется условием задания (п.1) для ре-

жущего фильтра верхних частот (для режущего фильтра нижних частот wp = (nв +1)w1 ).

Повторное сопротивление с учетом (4.1) на частоте согласования равно:

Bф

w

L

zп (wc ) =

=

c

1

=

Cф

L1

2

2

(

wc

-1) -1

L0

wp2

(4.3)

ncw1L1

=

=103 Oм.

L

n2

2

1

(

c

-1) -1

(nн -

1)2

L0

Уравнения (4.2), (4.3) и равенство wp =

1

= 9 ×103 c−1 об-

L0C0

разуют систему уравнений относительно параметров L1 , L0 ,C0 :

L1 = 2,13L0 ,

63,2 × L21 = L1 L0 - 0,281,

L0C0 =12,3 ×10−9.

Решение этой системы приводит к следующему результату:

L1 = 0,171 Гн, L0 = 0,0803 Гн, C0 = 0,153 мкФ.

Если фильтр является полосовым, то система трех уравнений получается из двух условий на границах полосы пропускания и

равенства Z(wc ) = Rн .

2. Построение графиков зависимости передаточной функции по напряжению и повторного сопротивления от частоты.

Модуль частотной передаточной функции по напряжению фильтра, нагруженного на повторное сопротивление, в полосе пропускания равен единице, а в полосе затухания 0<w <wн находится по формуле

	&		U 2		1
KU (w) =	U 2	=		=			.
	&		U1
	U1				Aф + Aф2 -1

36

	Постоянная Аф	определяется из (4.1): Aф =1-		0,47	.
			w2	/(81×106) -1

График зависимости KU (ω) представлен на рис.4.4.

Рис. 4.4

На частоте резонанса ωр параллельного контура KU = 0 в полосе

пропускания соответствующие гармоники ЭДС проходят через фильтр без подавления, в полосе затухания подавление является неполным.

Частотную характеристику модуля повторного сопротивления Zп(ω) строим по формуле (4.3) заменой ωc на ω. В полосе пропускания сопротивление является вещественной величиной (активное сопротивление), в полосе затухания – мнимой, возрастающей с увеличением частоты (индуктивное сопротивление). На частоте согласования ωс = 1,5∙104 с-1 повторное сопротивление Zп =1 кОм.

3. Получение частотных передаточных функций по напряжению и току для фильтра, нагруженного на активное сопротивление.

Выражения для передаточных функций фильтра можно получить из уравнений четырехполюсника с учетом равенства

I&2 = U&2 Rн :

&

2

&

1

&

U

U 2

KU ( jω) =

&

=

&

&

=

Aф + Bф

,

U1

AфU

2 + Bф I2

Rн

I&2

I&2

1

&

KI ( jω) =

&

=

&

+

&

2

=

Cф Rн + Aф

,

I1

CфU 2

Aф I

37

Используя выражения для постоянных четырехполюсника (4.1.) и численные значения параметров L1, L0 ,C0 , найдем

&		jϕU (ω)						8,1×107 - w2
KU ( jw) = KU (w)e				=					,
							×108 - w2 + jw×6,5×103
				1,2
&	jϕI (ω)							jw×(8,1×107 - w2 )
KI ( jw) = KI (w)e			=		w×(1,19			×108 - w2 ) + j ×1,17 ×104 (w2		-108 )	,

где KU (w), KI (w) – амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), являющиеся модулями передаточных функций; jU (w),jI (w) – фа-

зочастотные характеристики (ФЧХ), представляющие собой зависимости аргументов передаточных функций от частоты.

Частотные характеристики передаточных функций имеют вид

KU (w) =

8,1×107 - w2

,

[(1,2×108 - w2 )2 + 42,25×106 ×w2 ]0,5

6,5 ×10

3

w

ì o

,при w < 9 ×10

3

,

jU (w) = -arctg

+

ï0

í

1,2 ×108 - w2

×103 ,

ï180o ,при w > 9

î

KI (w) =

8,1×107 w- w3

,

[w2 (1,19×108 - w2 )2 +1,37 ×108 ×(w2 -108 )2 ]0,5

1,17×10

4

×(w

2

-10

8

)

ì

o

, при w <

9×10

3

и

w >1,1×10

4

ï90

jI (w) = -arctg

+ í

w×(1,19

×108 -w2 )

ï-90o , при 104 < w <1,1×104.

î

На рис.4.5 приведены амплитудно-частотные, а на рис. 4.6 – фазочастотные характеристики по напряжению и току.

Отметим изменение полосы пропускания фильтра, нагруженного на активное сопротивление, по сравнению с заданной (сравниваются АЧХ по напряжению пп. 2 и 3). Полосы пропускания по напряжению и току не совпадают (см. рис. 4.5).

38

Рис. 4.5

Рис. 4.6

4. Определение параметров согласующего четырехполюсни-

ка.

Согласование нагрузки с генератором выполняется для передачи максимальной активной мощности в нагрузку. Оно реализуется с помощью согласующего реактивного четырехполюсника C (см. рис. 4.1) при условии равенства входного сопротивления согласующего четырехполюсника Zвх = R + jX сопряженному ком-

*

плексу внутреннего сопротивления генератора Z i = Ri − jXi ,

т. е. R = Ri , X = − Xi = −ωcLi .

39