С другой стороны, вероятность отказа ротк менее чувствительна к измене- нию величины т. Поэтому если содержание подсобного помещения связано с относительно большими издержками, то рационально использовать небольшие значения т, например т = 1. Вместе с тем полное отсутствие подсобного по- мещения (т = 0) также невыгодно, так как при этом заметно подпрыгивает ве- роятность отказа.

3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Все системы массового обслуживания, рассмотренные в предыдущем разделе, являются в определенном смысле классическими. Вместе с тем суще- ствует большое количество разновидностей СМО, отражающих те или иные за- кономерности и особенности работы реальных объектов исследования. Для них в рамках марковских ограничений также получены аналитические решения (по крайней мере, для установившихся режимов). Охарактеризуем основные по- добные модели, используемые для описания широкого круга производственно- экономических и организационно-технических систем.

3.1. Упорядоченные системы

До сих пор предполагалось, что все обслуживающие приборы равноправ- ны в том смысле, что очередное требование может обслуживать любой из сво- бодных приборов. Однако легко себе представить такую систему массового об- служивания, в которой все приборы пронумерованы, причем очередное требо- вание может обслуживать данный свободный прибор только при условии, если все приборы с меньшим номером уже заняты обслуживанием. В этом случае для вероятности pk того, что k приборов будут заняты одновременно обслужи-

ванием, имеем

	p		=	αk / k!		, k = 1,2,...,	(3.1)
		k		k
				åαi / i!

i=0

где α = λ / μ , λ — среднее число требований, поступающих в единицу времени, 1/ μ — среднее время обслуживания одного требования.

Пример. Пусть в некоторый гараж поступает в течение семичасового ра- бочего дня в среднем девять заявок на перевозки грузов, причем среднее время перевозок (включая время возвращения в гараж) составляет 0,7 ч. Предполага- ется, что все автомашины пронумерованы, а обслуживание очередной заявки по перевозке груза осуществляет свободная автомашина с наименьшим номером. Результаты вычислений по формуле (3.1) следующие ( λ = 9, μ = 10 , α = 0,9 ):

k	1	2	3	4	5
pk	0,474	0,176	0,050	0,011	0,002

Отсюда следует, что в среднем только 0,2% рабочего времени загружены одновременно пять автомашин. Это указывает на то, что гаражу можно обой-

42

тись меньшим, чем 5, количеством автомашин. Если в гараже имеется всего три автомашины, то вероятность того, что очередному требованию придется встать в очередь, равна 0,05. Так как эта вероятность достаточно мала, то, по- видимому, гаражу достаточно иметь три автомашины. Таким образом, формула (3.1) позволила определить не только степень загруженности каждой автома- шины, но и оптимальное количество автомашин, которое нужно иметь данному гаражу.

Существуют различные обобщения рассматриваемой упорядоченной сис- темы массового обслуживания. Например, иногда упорядочивают не отдельные приборы, а группы приборов, так что очередное требование начинает обслужи- ваться каким-либо свободным прибором k-й группы, если только все приборы всех предыдущих групп заняты.

Пусть rk — число приборов в k-й группе, a Ak — событие, состоящее в

том, что требование получает отказ на приборах k-й группы. Тогда вероятность того, что очередное требование застанет все приборы первой группы занятыми, можно определить по формуле Эрланга:

	P(A ) =	αr1 / r1			.				(3.2)
	1	r1
		åαi / i!
		i=0
	Для вероятности того, что это требование застанет также занятыми все
	приборы второй группы, имеем		α r1 +r2
	P(A A ) =		(r1 + r2 )!						(3.3)
			r1 +r2		i
	1 2
			å	a
			i=0 i!

Получив отказ в приборах первой и второй групп, требование поступает на обслуживание в приборы третьей группы. Вероятность того, что и здесь оно получит отказ, т. е. застанет все приборы занятыми, можно определить по фор-

муле

αr1 +r2 +r3

P(A A A ) =								.
				(r1 + r2 + r3 )!
1	2	3		r1	+r2 +r3	αi
					å	i!
					i=0
Продолжая этот процесс,	можно найти вероятность P( A1 A2 ...Ak ) того,

что требование прошло необслуженным последовательно сквозь приборы пер- вой, второй,..., k-й групп. Это позволяет по формуле

	P(Ak	| A1 A2	...Ak −1 ) =	P(A1 A2		...Ak )		(3.4)
				P(A1 A2	...Ak −1 )

определить условную вероятность отказа на приборах k-й группы при условии, что получен отказ на приборах всех предыдущих k-1 групп. Заметим, что вели- чина 1 − P(Ak | A1 A2 ...Ak −1 ) равна вероятности того, что приборы k-й группы об-

43

служат требование при условии, что был получен отказ на приборах всех пре- дыдущих k - 1 групп.

Пример. На заводе имеются два красильных цеха: основной и дополни- тельный. В основном цехе функционируют четыре красильные установки, а в дополнительном — две. Производительность всех этих шести установок одна и та же и в среднем равна 5 изд./ч. Из многих цехов завода в случайные моменты времени в основной красильный цех поступают на окраску изделия с интенсив- ностью 10 изд./ч. Если в момент поступления на окраску очередного изделия все четыре красильные установки основного цеха оказываются занятыми, то это изделие поступает в дополнительный цех. Если при этом обе красильные установки дополнительного цеха также оказываются занятыми, то изделие ос-

тается неокрашенным.
Здесь λ = 10, μ = 5, r1	= 4, r2 = 2 , α = 2. Поэтому по формулам (3.2) и
(3.3) получаем P(A1 )= 0,095;	P(A1 A2 )= 0,012. Это означает, что 9,5% всех по-

ступающих на окраску в основной цех изделий не будут в этом цехе окрашены, а 1,2% изделий вообще не будут окрашены. Используя эти данные, согласно формуле (3.4) имеем P(A2 | A1 )= 0,012 / 0,095 = 0,127 ; иначе говоря, если изде-

лие не было окрашено в основном цехе, то с вероятностью 0,127 оно не будет окрашено также и в дополнительном красильном цехе.

3.2. Системы с поступлением групповых заявок

До сих пор предполагалось, что требования поступают в систему массо- вого обслуживания по одному, т. е. входящий поток требований — ординар- ный. Рассмотрим теперь системы, в которых требования поступают группами, причем число требований в каждой группе либо постоянно, либо случайно.

Предположим, что:

1)поток групп требований является пуассоновским с интенсивностью λ групп в единицу времени;

2)время обслуживания каждого требования в каждой группе подчинено показательному закону с математическим ожиданием 1 / μ единиц времени;

3)число требований X в каждой группе случайное и имеет распределение

вероятностей

∞

P(X = s)= as , as ³ 0; åas = 1;

s=1

4)каждое требование в поступившей в систему группе начинает обслу- живаться с одной и той же вероятностью;

5)число обслуживающих приборов равно n и все они однотипны;

6)рассматриваемая система массового обслуживания принадлежит к типу систем с отказами; это означает, что очередное требование покидает систему необслуженнным, если в момент его поступления все приборы заняты.

Для такой системы массового обслуживания справедливы рекуррентные соотношения:

44

ì p = ap

;

ï

1

0

ï

k + a

a

k

ï

åai

í pk+1

=

pk -

pk−i ,1£ k £ n - 2;

(3.5)

k +1

k

ï

a

∞

+1 i=1

ï

=

n

ï pn

n

å pn−i åas ,

î

i=1

s=i

где α = λ / μ , pn — вероятность того, что в системе при установившемся режи- ме находится на обслуживании k требований (или, что то же, занято k прибо-

n

ров). При этом условие нормировки имеет вид å pk = 1. Основной интеграль-

k =0

ной характеристикой для систем с отказами является вероятность pотк того, что требование получит отказ в обслуживании. Для рассматриваемого случая име-

ем

			n
			åkpk
p		=1 -	k =1	.	(3.6)
	отк		∞
			aåkak
			k =1

Пример. Над некоторой зенитной батареей, состоящей из трех однотип- ных орудий, в случайные моменты времени пролетают группы самолетов про- тивника с интенсивностью 10 групп/ч. Каждая труппа состоит из одного, двух или трех самолетов соответственно с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5. Среднее вре- мя, необходимое для обстрела одного самолета одним орудием, равно 3 мин. Оценим эффективность этой батареи.

Здесь

λ = 10,

μ = 20 ,

α = 0,5,

n = 3, a1

= 0,2, a2

= 0,3, a3

= 0,5 ,

as = 0 ,

s > 3. Из формул (3.5) находим:

1 + 0,5

0,5

p1 = 0,5 p0 ;

p

=

p -

0,2 p

= 0,75 p

- 0,05 p

= 0,325 p

;

2

1+ 1

1

1 +1

0

1

0

0

p

=

0,5

[p

(0,2 + 0,3 + 0,5)+ p (0,3 + 0,5)

+ p

0,5]= 0,204 p

.

3

2

0

0

3

1

p0

= 0,494 ,

Отсюда,

используя

условие

нормировки,

получаем:

p1 = 0,247,

p2

= 0,160 , p3

= 0,101 и, следовательно, по формуле (3.6)

pотк

=1 -

0,247 + 2 × 0,160 + 3× 0,101

= 0,24 = 24%.

0,5(0,2 + 2 × 0,3 + 3× 0,5)

Это означает, что в среднем 76% самолетов противника будут обстрели- ваться («обслуживаться») рассматриваемой гипотетической батареей.

Разумеется, требования могут поступать группами также и в системах массового обслуживания с ожиданием (как чистых, так и смешанных). Такая ситуация может возникнуть, например, при разгрузке судов, прибывающих в порт не по одному, а караванами и, естественно, ожидающих начала их раз- грузки в случае занятости всех причалов.

45

Рассмотрим, например, смешанную систему массового обслуживания с ожиданием, у которой имеется ограничение на время пребывания требований в очереди, причем это время подчиняется показательному закону с параметром n. Предположим далее, что число требований в каждой группе постоянно и равно s, а в остальном эта система с ожиданием совпадает с рассмотренной уже сис- темой с отказами и групповым поступлением требований. Тогда вместо формул

(3.5) имеем:

ì

p1 = ap0 ;

ï

pk +1

=

k + a

pk , 1£ k £ s;

ï

ï

k + a

k + a

a

ï

pk +1

=

pk -

pk−s , s £ k

£ n -1;

ï

(3.7)

k + 1

k

+

1

í

a

ï

n + a

ï

pn+1 =

pn -

pn−s

;

n + b

n + b

ï

n + a + (k - n)b

a

ï p

k+1

=

p

k

-

p

k −s

, k ³ n +1,

ï

n + (k - n +1)b

n + (k - n +1)b

î

где α = λ / μ , β = ν / μ ; p0 — вероятность того, что все n приборов свободны; pk (1 £ k £ n) — вероятность того, что заняты k приборов; pk (k ³ n +1) — веро- ятность того, что все n приборов заняты и k - n требований стоят в очереди.

∞

При этом условие нормировки здесь уже имеет вид å pk =1, а вероятность от-

k =0

каза в обслуживании можно определить по формуле pотк =1 - Msa4 ,

где

n	æ	n	ö
M 4 = åkpk	+ nç1	- å pk ÷
k =1	è	k =0	ø

(3.8)

(3.9)

есть среднее число приборов, занятых обслуживанием.

Пример. Пусть в библиотеку за книгами заходит в среднем 15 человек в час, причем каждый читатель берет две книги. В библиотеке имеются три со- трудника, каждый из которых осуществляет выдачу одной книги в среднем в течение 2 мин. Если в момент прихода читателя в библиотеку все трое сотруд- ников оказываются занятыми выдачей книг, то он становится в очередь, причем среднее время его пребывания в очереди не должно превышать 5 мин.

Здесь l = 15 , μ = 30 , n = 12 , n = 3, s = 2 , a = 0,5, β = 0,4 . Вероятности pk состояний, вычисленные по формулам (3.7), следующие (для k ³ 8 вероят-

ности pk		не выписаны, так как они меньше 0,001):
k		0		1	2	3		4		5		6	7
pk		0,468		0,234	0,176	0,068		0,035		0,013		0,005	0,001
Отсюда,			пользуясь		формулами (3.8)			и (3.9),		находим: M 4			= 0,952 ;
pотк = 0,048. Таким образом, в среднем 4,8%								посетителей покинут библиотеку,
не получив в ней книги. Коэффициент загруженности x4 = M 4												/ n здесь равен

46