10.2. Описание q -схем с использованием марковских случайных процессов (сп)

Процесс, протекающий в физической среде, называется марковским или процессом без последействия, если для каждого момента времени вероятность любого состояния в будущем зависит только от состояния системы в настоящем и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Для этого процесса характерно, что на вход поступает простейший поток и обслуживание в такой системе имеет экспоненциальный закон распределения.

Пример:

Пусть в момент времени t₀ некоторая точка находится в состоянии x₀ ( имеет координату x₀).

Подбрасываем монету:

- если выпал орел, то точку передвигаем вправо на 1 единицу;

- если выпала решка, то точку передвигаем влево на 1 единицу.

Строится граф состояний:

x_-2 x_-1 x₀ x₁ x₂

Пример: пусть необходимо описать 2-х канальную СМО с отказами.

1. Состояния, в которых может находиться СМО:

x₀ - когда все каналы свободны,

x₁ - первый канал занят, второй - свободен,

x₂ - второй канал занят, первый - свободен,

x₃ - оба канала заняты.

2. Нарисуем граф состояний:

x₀ x₁

x₂ x₃

3. Матрица переходов:

P₀₀ P₀₁ P₀₂ P₀₃ 0 0,5 0,5 0

P = P₁₀ P₁₁ P₁₂ P₁₃ = 0,5 0 0 0,5

P₂₀ P₂₁ P₂₂ P₂₃ 0,5 0 0 0,5

P₃₀ P₃₁ P₃₂ P₃₃ 0 0,5 0,5 0

10.3. Уравнение Эрланга и формула Эрланга

Рассмотрим на примере n-канальные СМО с отказами.

1. x₀ - все каналы свободны,

x₁ - первый канал занят,

x₂ - первый и второй каналы заняты,

.

.

x_n - все каналы заняты

2.

   

x₁ x₂ x₃ x_n

 2 3 n 

3. Входной поток простейший с интенсивностью  и интервалы между поступлениями заявок в систему распределены по:

f() = e^-

4. Обслуживание показательное:

f(^обсл) = e^{-обсл}

_n

5.  P_k(t) = 1

^k=1

6. В начальный момент времени t₀ система находится в состоянии x₀.Необходимо определить основные показатели эффективности системы:

- вероятность того, что заняты ровно k -каналов;

- среднее число занятых каналов;

- вероятность обслуживания заявки;

- среднее время занятости и т.д.

10.4. Правила составления ду

Для определения вероятности нахождения в состоянии k считаем, что положительный знак имеют слагаемые, которые определяются как произведение интенсивности потоков, входящих в k-ое состояние, на вероятность состояний, из которых выходит этот поток, и отрицательный знак -

произведение интенсивностей потоков, выходящих из рассматриваемого k- го состояния.

dP₀(t)

= -P₀(t) + P₁(t)

dt

dP₁(t)

= -( + )P₁(t) + P₀(t) + 2 P₂(t) (10.11)

dt

.

.

.

dP_n(t)

= - nP_n(t) -P_n-1(t)

dt

_n

 P_k(t) = 1

^k=0

(10.11) называется уравнением Эрланга.

При t мы переходим к стационарному режиму работы системы, при котором вероятности не являются функциями времени, и в этом случае

dP_k(t)

lim 0 , P_k(t) = const

^t dt

систему (10.11) мы можем представить в виде алгебраических уравнений:

-P₀ + P₁ = 0

-( + )P₁+ P₀ + P₂ = 0 (10.12)

.

.

• nP_n -P_n-1 = 0

Решая (18.2), получаем следующие показатели:

1) вероятность того, что занято ровно k каналов

P(k,) ^ke^-/k!

P_k = = _n (10.13)

R(n,) (^ke^-/k! )

k=0

 = /

2) среднее число занятых каналов - k:

R (n-1, )

k =  (10.14)

R (n, )

Математический аппарат марковских СП возможно использовать только в следующих случаях:

1) входной поток простейший ( обладает свойствами стационарности, отсутствием последействия, ординарности ). Входной поток имеет экспоненциальный закон распределения с интенсивностью ;

2) обслуживание только экспоненциальное;

3) (10.13), (10.14) и т.д. оценивают только стационарный режим функционирования системы. Переходные процессы оценить невозможно.