6.2. Изображающие пространственные вектора

и преобразование координат

Как следует из предыдущего, для математического описания ЭМС необходимо знать о пространственных (изображающих) векторах и. Выбором угловой скорости_k(частота вращения системы координат) привязывает всю систему к тому или иному обобщенному вектору.

Как известно, для гармонически изменяющихся величин (в том числе U,Iи т.д.) применяется символический (комплексный) метод. Суть его всем хорошо известна. Представление исследуемых величин на комплексной плоскости системой вращающихся, но взаимно неподвижных векторов. Например, мгновенные значенияUпредставляются в виде:

графическом аналитическом

и их проекции на действительную ось представляют мгновенные значения напряжений фаз часто необходимо описать гармонически с помощью пространственных вращающихся векторов в физической плоскости, связанной с вращающейся частью.

Представим систему: неподвижная трехфазная обмотка и вращающийся со скоростью двухполюсный индуктор сФ_т–constи системой координатd-q.d– ось полюсов, продольная ось,q– геометрическая нейтраль, поперечная ось. Осьdсдвинута относительно фазы А на угол=t.

При вращенииФ_тсоздает в фазах обмотки потоки (потокосцепления)

;

,

а так как , то отстает от потока наи

;

;

и будет направлена по оси q.

ЭДС создает, который в данном случае отстает от ЭДС на пространственный угол. Получится цепочка

Напряжение опережает Iна угол, зависящий отrихобмотки.

Вектора и т.д., проекции которых на оси якорных обмоток определяют мгновенные гармонические значения, называют изображающими векторами.

Очевидно, что их расположение на физической плоскости повторяет расположение соответствующих комплексов на обычной векторной диаграмме в комплексной плоскости и в то же время каждый изображающий вектор имеет проекции на оси d-qи может представляться с их помощью, т.е..

При совмещении физической плоскости с комплексной обычно ось d принимают действительной, аq– мнимой и тогдаи т.д. Это позволяет переходить от одной системы координат к другой.

Представим две системы координатА-В-Сиd-q.- угол сдвига системыd-qот системыА-В-С. Для вектора токаI_m, сдвинутого от оси фазыАна угол, можно записать

;

;

;

;

.

Поскольку cos() можно представить выражением

аsin()

,

то, если =t, получим переводные соотношения для токовi_dиi_qчерез токиi_A,i_B,i_C:

;

или

и, соответственно, обратный переход сопровождается необходимостью проекций i_A,i_B,i_Cна осиА,В,С. В результате получим

;

;

.

Естественно, аналогичные формулы верны при преобразовании МДС, ЭДС, напряжений, потоков и т.д.

Подобные преобразования часто позволяют существенно упростить математические модели за счет замены систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на системы с постоянными коэффициентами.

В общем случае можно предположить, что есть две ортогональные системы d-qи-, вращающиеся относительно друг друга. Еслиd-qповернута относительно-на уголпротив часовой стрелки, то зависимости между проекциями, например, тока, выглядят:

Так же связаны проекции других величин. Ясно, что преобразование на основе изображающих векторов справедливо при симметричных системах, т.е. если сумма мгновенных значений i_A+i_B+i_Cвсегда равна нулю, что верно для обмоток, соединенных в звезду. В общем случае при значении i_A+i_B+i_C0 анализ усложняется применением метода симметричных составляющих, где появляется нулевая составляющая.