Матан1-2(диффуры)
.doc
Обыкновенное дифференциальное уравнение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимое уравнение неизвестной функции и её производную.
,
где
– порядок старшей производной, называется
порядком дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.
Общее решение – это решение, зависящее от произвольных констант или совокупности всех частных решений.
Частное решение – это уравнение при фиксированном значении произвольных констант.
Общий интеграл дифференциального уравнения:
– дифференциальное уравнение в
дифференциалах.
или
– общий интеграл.
Задача Коши.
Начальные условия:
и
Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.
Дифференциальные уравнения 1 – го порядка.
– уравнение разрешенное относительно
производной.
Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевского).
Пусть
непрерывна в открытой области Д и
.
Открытая область – это область без своей границы.
– существует и непрерывна в Д, гладкая
по
.
Пусть
Тогда имеется решение
такое, что
,
и это решение единственное.
Идея доказательства:
УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).
-
УРП, если
.
- разделение
переменных
-
общее решение данного дифференциального.
Пример:
Однородное уравнение 1-ого порядка.
-
называется однородным если функция
,
является однородной функцией, нулевого
измерения.
- однородная
функция n-ого
измерения если
(0-е
измерение)
(2-ого
порядка)
(неоднородная)
Введем новую функцию:
Уравнение
примет вид:
-
уравнение с разделяющимися переменными
Пример:
Линейные уравнение 1-ого порядка.
Уравнение
называется линейным, если его можно
записать в следующем виде:
,
где
и
- произвольные функции от
.
-
линейное
уравнение без правой част.
Два метода решения линейных уравнений:
-
Метод Бернулли
-
Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
-
Метод Бернулли:
Выберем
так, чтобы
.
-
Метод Лагранжа:
-
уравнение без правой части.
(2)
-
удовлетворяет уравнению (2).
Пример:
1)
2)
Уравнение Бернулли.
,
-линейное
уравнение 1-ого порядка
относительно
z
Пример:
Уравнение в полных дифференциалах.
Пусть
,
-
необходимое
и достаточное условие, того что 0 -
является полным дифференциалом некоторой
функции.
Пример:
Общее решение(общий интеграл).
Дифференциальные уравнения высших порядков.
(3)
-уравнение разрешенное относительно
сторонней производной.
Т. О единственности.
Если
- непрерывна и
-существуют
и непрерывны в области
,
то
решение
уравнения (3) удовлетворяющие начальным
условия:
.
.
.
n)
,
существует
и единственно.
Уравнения допускающие понижение порядков.
-
Отсутствует
и
.
-
Отсутствует
.
Пример:
3)
Отсутствует
x.
Пример:
-
уравнение
с разделяющимися переменными.
Линейное дифференциальное уравнения высших порядков.
(**)
(*)
- однородный
случай.
(*)
Свойство решений уравнения (*).
-
Линейное комбинация решений, тоже решение.
Пусть
и
- решения уравнения (*), тогда
-
их линейная комбинация, тоже решение
уравнения (*).
Доказательство:
---------
------
Каждая
скобка равна 0, потому что
и
,
решения уравнения (*).
и
- называются линейно зависимыми, если
,
где
-
константа.
и
линейно не зависимые, если отношение
этих функций
.
-
определитель Вронского (вронскиан).
Если функция линейно зависима, то определитель Вронского равен 0.
Если
и
линейно зависимы, то определитель
Вронского равен 0.
-
Если определитель Вронского для двух решений уравнения (*),
не равен 0 в какой-либо точке, то он неравен нулю везде.
и
- решения.
-
для все
.
Доказательство:
Умножим
на
и
соответственно и произведем вычитание
уравнений.
-
Формула определителя Вронского.
-
Формула Лиувиля.
3)Если решения уравнения (*) линейно независимы, то определитель Вронского в этих решениях не равен 0.
Т.
О структуре общего решения линейного,
дифференциального уравнения (*).
Если
и
- линейно независимые решения (*), то
общее решение уравнения
,
где
и
-
произвольные постоянные.
Доказательство:
-
Из свойства 1) – y – решение (*).
-
Докажем, что для любого начального условия можно найти
и
,
так чтобы y
удовлетворяла этому начальному условию.
Пусть
-
произвольное начальное условие.
,
по свойству 3)
Следовательно,
система имеет единственное решение
.
Рассмотрим уравнение (**).
Теорема. О структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (**).
Пусть
и
- линейно независимые решения
соответствующего уравнения (*), тогда
,
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения (*), а
- какое-либо частное решение уравнение
(**).
-(**)
-(*)
-
Докажем, что это решение
-
Докажем, что это общее решение.
Пусть
-
произвольное начальное условие.
Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка
с постоянными коэффициентами.
(****),
и
- константы – неоднородное или с правой
частью.
(***)
- однородное или без правой части.
-
общее решение уравнения (****), где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения (***),.где
и
-
произвольные постоянные, а
и
- линейно независимые решения (***).
-
какое-либо частное решение уравнение
(****).
Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.
Будем
искать
и
в виде
.
Подставим
в уравнение (***).
-
характеристическое уравнение для
уравнения (***).
Случай
1)
и
- действительные различные корни.
Случай
2)
,
где
- корень уравнения кратности 2.
Подставим
в уравнение (***).
,
так как
- это корень.
Случай
3)
,
где
-мнимая единица
.
Подставим в уравнение (***).
-
линейно независимые, следовательно:
Пример:
Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.
-
ищется в таком же виде, в котором задана
правая часть.
а)
,где
А
- неопределенный коэффициент.
Пример:
б)
Общий
случай
-
характеристическое уравнение.
а)
Если
не корень характеристического уравнения:
б)
Если
корень характеристического уравнения
кратности
