I. Введение в анализ.

1. Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Тео­рема о единственности предела.

Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

  Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу. x_n  a; x_n  b; a  b. Тогда по определению существует такое число  >0, что Запишем выражение: А т.к. - любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой при x a или в точке a, если для любого положительного числа  найдется такое положительное (), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|< будет выполнено неравенство |f(x)|> .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x. Приведем его в символической записи:

lim_xf(x) = >0 ()>0  x:|x|> |f(x)|>.

Предложение 1. (x) бесконечно малая функция при x a  1/(x) — бесконечно большая при x  a

Пример. y = x² – бесконечно малая функция при x  0 , а y = 1/x² – бесконечно большая при x  0.

3. Теорема о связи функции с её пределом в точке

Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A=- б.м. при ,

f(x)-B=- б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.