Министерство науки и образования РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра ПП и МЭ

Лабораторная работа №1

Модели диффузионных процессов для планарной технологии

Факультет: РЭФ Группа: РМС7-11 Студент: Нечаева М.В. Преподаватель: Черкаев А. С. Отметка о защите:_______

г. Новосибирск, 2013

1. Вывод обыкновенного уравнения диффузии в случаях:

а) в случае одномерного приближения

Имеется полупроводниковая пластина бесконечной длины. Выделим определенную область (x; x+△x) и рассмотрим в определенный момент времени (t;t+△t). Для того чтобы рассчитать скорость изменения концентрации, нужно взять интеграл по всему объему, он равен разности потоков через боковые стенки.

Источник диффузии

W(x)

W(x+∆x)

0

x+∆x

x

x

при △x→0 получаем однородное уравнение диффузии

Изменение концентрации вещества со временем в объеме

=

Уменьшению диффузионного потока в том же направлении

Где W – поток внедряемой примеси внутри вещества

,

D=

– тепловой потенциал

Z =

б) случае трехмерного приближения

Выделим элемент dS.

dS

Для определения потока примеси плотностью W через элементарный объем берем двойной интеграл.

Устремляем элементарный объем к нулю:

= - Dc

2. Запись диффузионной модели в виде ящика

D

z

E

µ

T,t

Модель

С(x,t)

Входные параметры:

D=(µkT)⁄q – коэффициент диффузии

µ - подвижность,

k – постоянная Больцмана,

q – элементарный заряд,

T – температура,

t – время.

Выходные параметры:

С(х) – распределение дифундирующего вещества

3. Построение в EXCEL графиков Аррениуса для коэффициентов диффузии бора, фосфора, мышьяка и сурьмы в кремниевой пластине и определение коэффициента диффузии этих примесей по графику для Т=1000°С

4. Анализ диффузионной модели:

а) Проверка идентичности размерностей различных слагаемых в уравнении диффузии:

б) Анализ математического типа уравнения в диффузионной модели:

Типы уравнений: эллиптические, гиперболические, параболические.

- уравнение в частных производных

Дискриминант Д = B²-4AC

Если Д=0 – параболический тип уравнения

Д>0 – гиперболический

Д<0 – эллиптический

А=D; B=0; C=0

B²-4AC=0-0=0 => параболическое уравнение.

в) Описание краевых задач, имеющих аналитическое решение:

— Для точечного диффузионного источника (модель диффузии с постоянной дозой); качественный вид решения для трех временных моментов:

t

t₀

0

x

t₁

t₂

Уравнение диффузии (первый закон Фика):

Область моделирования:

Начальные условия:

t=0

Граничные условия:

1. x=0

2. x→∞

C(∞;t)=0

Количество внедренной примеси Q(t) – доза- за время загонки t задается интегралом:

Решением этой краевой задачи является уравнение Гаусса:

— Для диффузионной загонки примеси с постоянной поверхностной концентрацией; качественный вид решения для трех временных моментов:

С

Уравнение диффузии (первый закон Фика):

Область моделирования:

Граничные условия:

1. при x→0

2. при x→∞

Начальные условия:

t=0

Решением этой краевой задачи будет дополняющая функция ошибок erfc(x)

C_s

t₂

t₁

0

x

t=0

-График спец. функций erf(z) и erfc(z) с описанием их математических свойств:

В математике функция ошибок (функция Лапласа) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая  определяется через функцию ошибок:

.

Свойства:

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

для

при

-Расчет дозы легирования и поверхностной концентрации для случаев:

а) распределения примеси по Гауссу;

б) распределения примеси по erfc(z);

а) Для случая распределения примеси по Гауссу

Распределение примеси по Гауссу имеет вид:

Найдем внедренную дозу , проинтегрировав концентрацию примеси по всей области моделирования:

Этот интеграл является табличным интегралом

Поверхностная концентрация находится из условия:

Отсюда видно, что поверхностная концентрация примеси уменьшается со временем, что и характерно для диффузии примеси из точечного источника.

б) Для распределения по

Распределение примеси по erfc имеет вид:

Вся доза поступает непосредственно через границу вещества в точке , её можно найти проинтегрировав по всему промежутку времени поток внедряемой примеси через эту границу.

Найдем выражение для потока:

При бесконечном источнике, внедренная доза является функцией времени.

г)Задача с неоднородными начальными условиями

Под неоднородными условия подразумевается то, что изначально пластина не является чистой.

Начальные условия:

С^’ (x,0)=0

Граничные условия:

С^’(0,t)=C_s – C₀ ( пластина легирована на поверхности)

С^’=(C_s – C₀)*erfc

Частный случай: Cs = 0 (пластина легирована однородно), в таком случае задача сводиться к задаче с однородными условиями.

С

0

x

C_s

t=0

t₁

t₂

Примесь отходит от границы

5. Учет влияния электрического поля на процесс диффузии примеси:

а) Гидродинамическая аналогия. Диффузионный и конвективный механизмы распространения вещества. Уравнение переноса. Качественный вид решения.

Рассмотрим реку, которая движется со скоростью v=const. С₀-источник загрязнения.

Граничные условия:

Постоянный источник загрязнения:

x=0

C(0,t)=C₀

Загрязнение в начальный момент:

t=0

C(x,0)=0

Река без примеси:

x→∞

C(∞,t)=0

(1)

Конвекция обусловлена движением реки

1. V- скорость реки, С(x;t) – концентрация вещества, VC_x – конвекционный поток

2. Поток обусловленный диффузией D* C_xx

Из этих двух условий напишем уравнение переноса:

x;t)=1/2 D*C_xx – V*C_x

Уравнение (1) имеет решение

С

С_s

t₁

t₂

x

б) Запись диффузионной модели в приближении эффективного коэффициента диффузии с полным математическим обоснованием двумя способами:

Если

, где

.

Предположим, что концентрация электронов и дырок связаны статистикой Больцмана

1. перемножим p*n

p*n= n_i²

2. Предположим , что поле E=const

C_д– концентрация донорной примеси

p+c=n – условие электрической нейтральности

-2n_i* sh(=-C

sh(

; ;

Подставляем в уравнение и выражаем

Подставляя в выражение выше поток:

в) Построение графика зависимости собственной концентрации от температуры в диапазоне от 800С до 1200С в форме Аррениуса. Построение графика зависимости коэффициента ускорения диффузии от переменной С/ni. Выводы

Изграфика видно, что,

если C<ni (т.е. концентрация мала), то добавка мала и ей можно пренебречь.

если С>ni , то добавка увеличивается в 2 раза.