Системы счисления.

Непозиционные системы счисления. Римская система счисления.

1 – I; 5 – V; 10 – X; 50 – L; 100 – C; 500 – D; 1000 – M.

Правило получения значения числа в современной Римской системе: если меньшая цифра стоит перед большей, то ее надо вычитать из общего значения числа, в противном случае прибавлять к общему значению числа.

Позиционная система счисления. Цифровая и многочленная формы представления числа.

d-ичные системы счисления, основание d, а цифры от 0 до d-1.

Записать число в d-ичной системе счисления означает: представить это число либо в цифровой:

A_{d =} (a_na_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1a_-2…a_-k)_d

Либо в многочленной:

A_d = a_ndⁿ + a_n-1d^n-1 + a_n-2d^n-2 + … a₁d¹ + a₀ + a_-1d^-1 + a_-2d^-2 + … a_-kd^-k.

Формах.

Взаимосвязь систем счисления. Алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей из одной системы счисления в другую. Алгоритм перевода чисел из d – ичной в dⁿ –ую систему и из dⁿ –ичной в d-ую систему.

I. Алгоритм перевода целого числа Aq из q-ичной системы счисления в число Bd d-ичной системы.

1) Присвоить результату цифру старшего разряда.

2) Если цифры закончились – stop.

3) Умножить текущее значение результата на «старое» основание q по правилам d-арифметики.

4) Прибавить цифру следующего разряда и перейти на шаг 2.

II Алгоритм перевода целого числа Ad из d-ичной системы счисления в число Bq q-ичной системы.

1) Разделить «с остатком» по правилам d-ичной арифметики число Ad на число q, записанное в d-ичной системе.

2) Если результат ≥ q, то повторить пункт 1.

3) Цифрами искомого числа Bq являются остатки от деления, выписанные так, чтобы последний остаток являлся цифрой старшего разряда.

III Алгоритм перевода правильных дробей из q-ичной системы счисления в d -ичную.

1) Цифру младшего разряда числа 0,Aq разделить на «старое» основание q по правилам d-арифметики.

2) Если цифры закончились – stop.

3) Прибавить следующую цифру исходной дроби.

4) Текущее значение результата разделить на «старое» основание q по правилам d-арифметики и перейти на шаг 2).

IV Алгоритм перевода правильных дробей из d-ичной системы счисления в q-ичную.

1) Умножить по правилам d-арифметики исходную дробь 0,Ad на «новое» ос-нование q, записанное в d-ичной системе.

2) Целую часть полученного произведения считать цифрой старшего разряда искомой дроби.

3) Если дробная часть равна 0 или достигнута требуемая точность, то stop. Иначе, дробную часть полученного произведения умножить по правилам d- арифметики на «новое» основание q, записанное в d-ичной системе и перейти на шаг 2).

Двоичная система счисления. Арифметика двоичных чисел: произведение как сложение со сдвигом, вычитание с использованием двоичного дополнения.

Таблица сложения Таблица умножения

Х	0	1
0	0	0
1	0	1

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Десятичным дополнением n-разрядного числа A₁₀ называется разность 10ⁿ – A₁₀ . Например, десятичное дополнение числа 7 – 3, числа 342 – 658.

Идея использования десятичного дополнения при вычитании основана на следующих рассуждениях. Пусть необходимо найти разность 10A− 10B. Возможны случаи:

а) A₁₀> B₁₀

В этом случае рассмотрим тождество

A₁₀ -B₁₀ =A₁₀ + (10ⁿ – B₁₀)- 10ⁿ,

откуда следует правило нахождения разности:

– найти десятичное дополнение к вычитаемому;

– сложить найденное дополнение и уменьшаемое;

– зачеркнуть единицу старшего разряда и вместо нее поставить знак «+»

б) A₁₀< B₁₀.

В этом случае используем тождество

A₁₀ – A₁₀ = - (10ⁿ – A₁₀ – (10ⁿ – B₁₀)), или, если через C₁₀ обозначить сумму A₁₀ + (10ⁿ - B₁₀), получим

A₁₀ - B₁₀ = -(10ⁿ – C₁₀).

Отсюда следует что искомая разность есть десятичное дополнение к числу C₁₀ взятое со знаком «-».

Алгоритм вычитания целых десятичных чисел

Шаг 1. Уравнять число разрядов в числах A₁₀ и B₁₀ , приписав впереди требуемое число нулей.

Шаг2. Найти десятичное дополнение вычитаемого C₁₀=(10ⁿ – B₁₀)

Шаг3. Найти сумму A₁₀ + C₁₀= D₁₀.

Шаг 4. Если появилась единица в дополнительном старшем разряде числа D₁₀, то заменить ее знаком «+».В противном случае найти десятичное дополнение числа D₁₀ и поставить перед ним знак «–».

Шаг 5. Полученное число считать искомой разностью A₁₀− B₁₀.

Алгоритм отыскания двоичного дополнения числа B₂

Шаг 1. Все единицы числа B₂ заменить на нули, а все нули – на единицы.

Шаг 2. К полученному числу по правилам двоичной арифметики прибавить 1. Чтобы получить алгоритм вычитания двоичных чисел, достаточно в приведенном выше алгоритме заменить слово «десятичный» словом «двоичный», а индекс «10» заменить индексом «2».