Методичка. Теория вероятностей. ФЛА II курс

Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Сборник задач и методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов II курса ФЛА.

Новосибирск

2008

1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Составили: Е.Н. Белоусова, ст. преп.

Д.В. Моховнев, канд. физ.-мат. наук А.А. Поздеев, канд. физ.-мат. наук

Рецензент: Е.Г. Подружин, д-р техн. наук, проф.

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов

2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с графиком самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей» студенты обязаны выполнить индивидуальное практическое задание. Настоящая работа состоит из двух частей: «Случайные события» и «Случайные величины», которые, в свою очередь, образованы из разделов. В каждом из разделов приведено 25 вариантов задач. Студент обязан решить одну задачу из каждого раздела. Номера задач назначаются преподавателем.

Указания по оформлению заданий

1.Текстовая часть заданий выполняется на листах писчей (белой или клетчатой) бумаги формата А4 (210×297 мм). Листы нумеруются и сшиваются в тетрадь с обложкой из плотной бумаги.

2.Текст пишется четко и аккуратно. Слева оставляются поля 2 см для сшивания, справа, сверху и снизу – 0,5 см.

3.Приводятся условия задач и, если необходимо, поясняющие рисунки.

4.Текстовая часть должна представлять последовательное изложение теоретических положений и решений предложенных задач. Все используемые обозначения должны совпадать с лекционными обозначениями или быть объяснены. Не допускается приведение формул и вычислений без текстового комментария.

3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ЧАСТЬ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

Раздел I: Комбинаторика.

При изучении процедур случайного выбора, задач о размещении и упорядочении, азартных игр мы имеем дело с конечным пространством элементарных событий Ω . Всем точкам этих пространств приписывают равные вероятности. Чтобы найти вероятность некоторого события A мы должны разделить число элементарных событий, составляющих A (благоприятные случаи) на общее число элементарных событий (возможные случаи). Подсчет числа случаев облегчается использованием нескольких стандартных правил.

Для выявления общих закономерностей при подсчете числа случаев рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить на полке в определенном

порядке 3 книги A, B, C?									Решение:	Для подсчета числа способов удобно построить
	I	II						III
		B						C
	A	C						B	граф (дерево). При построении дерева необходимо
									учитывать порядок расположения книг.
	B	A						C	Таким образом, три книги на полке можно
								A	расставить шестью способами (A-B-C, A-C-B, B-A-C, B-C-A, C-
		C
							B		A-B, C-B-A) или как говорят число перестановок из 3 книг
		A
	C								равно 6.
		B					A

Чтобы «увидеть» правило подсчета числа перестановок решим эту задачу другим способом. Требуется заполнить три места на полке: 1 2 3

На первое место можно поместить или книгу A или книгу B или книгу C, то есть первое место может быть занято тремя способами. Второе место может быть заполнено двумя способами для каждого случая заполнения первого места. Третье место может быть заполнено только одним способом. Тогда общее число перестановок находится перемножением числа способов заполнения первого, второго и третьего мест: 3×2×1=6.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов, отличающихся только порядком их расположения.

Формула для числа перестановок

Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Необходимо найти число отличных друг от друга перестановок элементов этого множества. Перестановки будем создавать с помощью приема, изложенного в предыдущей задаче.

Имеется n ячеек, которые нужно заполнить n элементами множества.

№ 1 2 3 … n

Первую ячейку можно заполнить одним из n элементов. Это можно сделать n способами. Вторая заполняется одним из оставшихся n-1 элементов. Это можно

4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

сделать n-1 способами для каждого случая заполнения первой ячейки. Аналогично третья ячейка заполняется n-2 способами для каждого случая заполнения первой и второй ячеек. И так далее. И наконец последняя, n-ая ячейка заполняется только одним способом. Тогда число различных случаев заполнения ячеек определяется перемножением числа способов заполнения каждой ячейки: n´(n-1)´(n-2)´… ´1=n!

Таким образом, число перестановок из n элементов определяется по формуле:

Pn = n!

Теперь рассмотрим такие перестановки, в которых участвуют не все элементы, а только часть из них.

Пример 2. Сколькими способами из семи книг можно отобрать три и расставить их на три места на книжной полке?

Решение: На первое место можно поставить любую из семи книг семью способами. На второе место можно поставить любую из оставшихся шести книг шестью способами. На третье место можно поставить одну из пяти книг пятью способами. Тогда общее

число	´	трёх книг из семи равно			произведению числа способов
расстановки книг: 7		6 5=210					7!
		´6´5 = 7´6´5´4´3´2´1 = 7! =
Запишем произведение7по-другому:
		4´3´ 2´1		4!			(7 -3)!
Число размещений из 7 объектов по 3 равно: A			3	7!				.
			7 =
				(7 - 3)!

размещений

´

Размещением из n элементов по m при 1£m£n называется всякая комбинация, объединяющая в определенном порядке m каких-нибудь элементов из множества данных n элементов. Две такие комбинации считаются различными, если они отличаются либо своим составом, либо порядком следования входящих в него элементов, либо и тем и другим.

Можно показать, что число размещений из n по m равно	A	m	=	n!		.
		n
				(n - m )!

Пример 3: Сколько пятибуквенных слов можно составить из букв слова «учебник»? Под словом понимается просто набор букв, не имеющий смысла.

Решение: В слове «учебник» 7 букв. Для получения пятибуквенного слова нужно из этих семи букв выбрать пять, и расположить их в определенном порядке. Такая комбинация букв называется размещением. Тогда число слов равно числу

размещений из семи по пять: A 5 = 7! = 7! = 7 ×6 ×5× 4×3 = 2520

7

(7 - 5)! 2!

Пример 4: Сколько различных слов, содержащих все буквы, можно составить из слова «корнет»? Сколько среди них таких, в которых буквы «к» и «о» стоят рядом?

Решение: Решим первую часть задачи. Поскольку при построении слов мы используем все буквы, меняя их местами, то полученные слова являются перестановками из шести букв слова «корнет». Число таких слов равно числу перестановок из шести элементов: Р6=6!=720.

Рассмотрим вторую часть задачи. Если буквы «к» и «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Таких слов будет Р5=5!=120. Однако можно считать одной буквой и буквосочетание «ок». Таких слов тоже будет 120. Таким образом число слов в которых буквы «к» и «о» стоят рядом 2×120=240.

5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Два основных принципа комбинаторики.

m

Представим себе, чтоnиз города

A

в город

B

можно добраться либо одним из

авиарейсов, либо одним из

поездов,

либо одним из

k

теплоходов. Очевидно, что из

A

в

B

можно попасть

m n

+

k

способами. Этот пример иллюстрирует следующее общее

+

положение:

Предположим, что та или иная задача

Комбинаторный принцип сложения.

k

решается

любым из

методов,

причем

первый

метод можно

применить

n

1

способами,

второй метод –

n

2

способами,

…,

k

-ый метод –

nk

способами. Тогда

рассматриваемая задача решается

n

+

n

+…+

nk

способами.

m

1

2

Вообразим, далее,

что

из

n

пункта

A

в пункт

C

можно добраться

A

B

C

только через пункт

B

,

причем

A

и

B

связаны

m

путями, а

B

и

C n

путями.

Тогда, очевидно,

A

и

C

связаны

m×n

различными путями. При этом два

A

C

считаются разными,

пути из ABв

если они различаются хотя бы на одном из

участков

или

BC

.

Рассмотренный пример допускает следующее обобщение.

Комбинаторный

принцип

умножения.

Предположим, что та или иная

k

задача решается за

последовательных этапов:

n

1

способами на первом этапе,

n

2

способами

на втором этапе,…,

nk

способами на -ом

этапе. Пусть

далее, число

k

способов решения задачи на каждом следующем этапе не зависит от того, какими именно возможными способами она решалась на всех предыдущих этапах. Два решения считаются разными, если они получены по-разному хотя бы на одном из этапов. В этих условиях задачу можно решить n1×n2×…×nk способами.

Пример 5: Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются; б) повторяющиеся цифры допускаются; в) числа нечетные и цифры не повторяются?

Решение: а) Задача решается в три этапа: заполнение первого, второго и третьего разряда числа цифрами.

Первый разряд заполняется одной из пяти цифр, то есть пятью способами: n1=5. Второй разряд заполняется одной из четырех оставшихся цифр: n2=4.

Третий разряд заполняется одной из трех оставшихся цифр: n3=3

Тогда n1×n2×n3=5×4×3=60 – трехзначных чисел, с неповторяющимися цифрами.

Этот ответ можно было получить используя готовую формулу числа размещений из

пяти элементов по три: A 3 = 5! = 5! = 5×4 ×3 = 60

5

(5 - 3)! 2!

б) В этом случае каждый разряд заполняется пятью цифрами: n1=n2=n3=5. Следовательно n1×n2×n3=5×5×5=125 – трехзначных чисел, с повторяющимися цифрами.

в) Чтобы число было нечетным, необходимо, чтобы последняя цифра была нечетной. Будем составлять число с конца – справа налево:

3 2 1

В нашем случае три нечетных цифры «1», «3», «5». Тогда n1=3 – первую позицию можно заполнить тремя способами. Вторую позицию можно заполнить четырьмя оставшимися цифрами n1=4, а третью – тремя оставшимися n3=3. Тогда n1×n2×n3=3×4×3=36 – трехзначных нечетных чисел с неповторяющимися цифрами.

6

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Сочетания

Пример 6: Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех A, B, C и D, если порядок выбора не важен?

Решение: Если бы нас интересовало не только какие три книги из четырех были выбраны, но и порядок выбора, то число способов выбора было бы равно числу

3

размещений из четырех по три: A 4 = 24 . Если порядок не важен, то существует только четыре возможных выбора: BCD; ACD; ABD; ABC. Каждый выбор назовем сочетанием из четырех по три. Число сочетаний из четырех по три равно C 43 = 4 .

Дадим общее определение сочетанию.

Сочетанием из n элементов по m при 1£m£n называется всякая комбинация, объединяющая m каких-нибудь элементов из множества данных n элементов. Две такие комбинации считаются различными, если какой-нибудь из данных n элементов входит в одну из них, но не входит в другую.

Говорят также, что сочетания отличаются друг от друга своим составом. В перестановках и размещениях порядок элементов учитывается, а в сочетаниях не учитывается.

Найдем связь между числом сочетаний из n по m C nm и числом размещений из

n по m Anm .

Пусть из n элементов мы выбрали m. Если нас не интересует порядок выбора, то это можно сделать C nm способами. Если порядок выбора нас интересует, то элементы в каждом сочетании можно разместить Pm способами. То есть вначале

выбрали элементы, а затем их упорядочили и таким образом получили размещение. В соответствии с комбинаторным принципом умножения эти две последовательные

операции можно сделать C nm Pm						mспособами. Таким образом Anm =C nm Pm .
Следовательно число сочетаний		равноn				:
		C	m	=	An		=	n!
					Pm			m!(n - m )!

Пример 7: Имеем колоду в 52 карты. Сколькими способами можно сдать 13 карт, если порядок сдачи не интересен.

Решение: Число способов равно числу сочетаний из 52 по 13:

C	13		52!		11
	52	=			» 6.35×10
			13!×(52 -13)!

Задачи к разделу I:

1.В меню санатория 11 наименований блюд, из которых можно выбирать на свой вкус по 3 блюда каждый день. Сколько дней человеку понадобится пробыть в санатории, чтобы ни одно из сочетаний блюд не повторилось?

2.Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

3.Сколькими способами можно упорядочить множество {1; 2;…;2n} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

7

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в сосуд?

5.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

а) Сколько всего получится таких чисел?

б) Сколько среди них будет начинаться с цифры 5?

6.Каждый из 9 человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий?

7.Сколько диагоналей имеет выпуклый 15-угольник; выпуклый n-угольник?

8.Из отряда солдат в 50 человек назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Сколько среди них таких, что в число караульных попадет рядовой Иванов?

9.На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?

10.В шахматном кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

11.Сколькими способами группу из 12 юношей и 8 девушек можно разбить на две группы по 10 человек так, чтобы в каждой из образовавшихся групп оказалось по 4 девушки?

12.Имеется 6 видов бокалов и рюмок, которые ставятся на стол на званом ужине: бокал для шампанского, лафитная рюмка, рюмка для рейнвейна, мадерная рюмка, фужер, водочная рюмка. Все бокалы и рюмки устанавливают в один ряд. Сколько способов их постановки существует? (правилами этикета пренебречь).

13.Сколькими способами можно упорядочить множество {1; 2;…;n} так, чтобы числа 1; 2; 3 стояли рядом и в порядке возрастания?

14.Жил-был странный правитель. Решил он своих подданных различать не по именам, а по зубам. Себе все 32 зуба оставил, как и были, белыми. Ближайшим подданным повелел один зуб на разных позициях окрасить в черный цвет, чтобы их отличать. Далее шли вассалы с двумя черными зубами на разных позициях, и так далее. В самых низших слоях были люди с одним белым зубом на разных местах, и был один только с черными. Сколько было подданных у правителя?

15.Из вершины прямого угла внутри него проведено 5 лучей. Сколько острых углов образовалось при этом? (Углы образуются не только между смежными углами, но и между любой парой лучей, включая стороны прямого угла).

16.В коробке 5 леденцов разного цвета: красного, оранжевого, желтого, зеленого, розового. Какова вероятность вытащить леденцы именно в таком порядке, если после каждого вынимания их возвращают обратно в коробку.

17.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

а) Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41? б) Сколько получится четных и сколько нечетных чисел?

18.Сколько трёхзначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры (ноль на первом месте стоять не может):

а) 1; 2; 3; 4; 5;

б) 0; 1; 2; 3; 4; 5?

19.На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать:

а) правление кооператива в составе 5 человек

8

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) председателя правления, его заместителя и бухгалтера?

20.Правление коммерческого банка выбирает из 8 кандидатов трёх человек на различные должности (все 8 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека (на различные должности) можно составить из 8 кандидатов?

21.Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

22.Группа студентов из 30 человек решила обменяться фотокарточками. Сколько фотокарточек понадобится для этого?

23.Автоматическая система состоит из пяти параллельно соединенных узлов. По тем или иным причинам за время Т каждый из этих узлов, независимо от остальных узлов, может выйти из строя. Сколько существует различных вариантов состояния системы к

моменту времени Т? Сколько среди них таких, для которых хотя бы один узел оказывается не вышедшим из строя?

24.Сколькими способами можно 20 шахматистов разбить на две группы по 10 человек так, чтобы двое наиболее сильных шахматистов оказались:

а) в разных группах; б) в одной группе?

25.Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей? (Подсказка: Любые k различных цифр можно расположить в порядке возрастания или в порядке убывания единственным образом).

Раздел II: Операции над случайными событиями

Суммой (объединением) двух событий A и B называют событие, в результате которого произойдет хотя бы одно из событий A или B. Эту операцию обозначают

A+B или AÈB.

Пример 1: Бросается игральный кубик. События A={выпадение 1, 2 или 3 очков}; B={выпадение чётного числа очков}. Тогда A+B={выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков}.

Если события изображать множеством точек на плоскости, то результат сложения

двух событий выглядит следующим образом: B A

A+B

Произведением (пересечением) двух событий A и B называют событие, в результате которого произойдут оба события A и B. Эту операцию обозначают AB или AÇB.

9

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 2: Рассмотрим пример 1. AB={выпадение 2 очков}

A B

AB

Разностью двух событий A и B называют событие, в результате которого событие A произойдет, а событие B не произойдет. Эту операцию обозначают A-B или A/B.

Пример 3: Рассмотрим пример 1. A-B={выпадение 1 или 3 очков}, B-A={выпадение 4 или 6 очков}.

A B A B

						A-B				B-A
		Противоположным					событием по	отношению к событию A,			называют
			A
событие					, состоящее в не появлении A.
		Пример				4: Рассмотрим пример 1.				={выпадение 4, 5 или	6 очков},
									A
	B	={выпадение нечетного числа очков}.

A

A

Пример 5: На плоскости произвольным образом рисуется точка. События A={точка попала в круг A}, B={точка попала в круг B}. Какой смысл имеют события

A , B , A+B, AB, AB ?

Решение:

A ={точка не попала в круг A}

B ={точка не попала в круг B}

A+B={точка попала хотя бы в один из кругов} A B AB={точка попала в пересечение кругов}

AB ={точка не попала в пересечение кругов}

10

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com