621.39

А.224

Автоматизация конструирования рэа.

Новосибирск

1984

Министерство высшего и среднего специального образования

РСФСР

Новосибирский электротехнический институт

621.39

А.224

АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ РЭА

Контрольные задания, курсовая работа для студентов

IV курса радиотехнического факультета (специальность

0705) Заочного отделения.

Новосибирск

1984

УКД; 621.396.6.001.2(07)

Контрольные задания составлены с целью закрепления знаний по изучаемой дисциплине и содержат необходимые методические указания.

Курсовая работа служит для практического овладения навыками использования алгоритмических методов, для решения определённого класса задач конструирования РЭА.

Составил канд.техн.наук доц. Г.Н. Девятков

Рецензенты: канд.техн.наук доц. А.П. Горбачёв

канд.техн.наук доц. М.Я. Котляр

Работа подготовлена кафедрой

Конструирования и производства радиоаппаратуры.

© Новосибирский электротех-

нический институт, 1984 г.

Контрольные задания

Задание 1. Моделирование теплового поля

однородного стержня.

Постановка задачи. Рассмотрим однородный стержень длиной L, один конец которого соединен с идеальным теплопроводом (рис.1). В момент времени к свободному концу стержня прикладывается «тепловая ступенька». Считаем что мощность источника тепла достаточна для поддержания постоянной температуры на свободном конце стержня, а отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении. Требуется формализовать задачу, получив уравнения теплопроводности непосредственно в конечных разностях, и решить ее методом явных или неявных разностных схем, определив температурный профиль по длине стержня в заданный момент времени .

Исходные данные. Необходимые для решения задачи исходные данные выбираются по табл.1 в соответствии с двумя последними цифрами студенческого шифра.

Таблица 1

Исходные данные для вариантов контрольного задания.

Наименование исходных данных	Цифры студенческого шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	По последней цифре шифра
Метод решения задачи	Метод явных разностных схем					Метод неявных разностных схем
,с	3,9	5	6,2	7,4	8,8	24	30	37	44,5	53
Длина стержня L•10¯²,м	8	9	10	11	12	8	9	10	11	12
Значения температур,	По предпоследней цифре шифра
,°С	100	80	65	40	55	70	90	130	115	150
,°С	20	0	-5	-20	-30	10	15	30	20	40

Примечание. -температура окружающей среды, материал стержня алюминий (коэффициент теплоёмкости С=2,4 МДж/м³К, теплопроводимости К=200Дж/мКс).

Методические указания. Прежде чем приступить к выполнению задания, изучите по источникам: [2, с.52-62, 181-184]-построение тепловых моделей в конечных разностях в случае явных и неявных разностных схем, [1,с.77-79]-решение разностных уравнений.

Контрольное задание должно содержать следующие разделы: исходные данные, постановку задачи и её формализацию, алгоритм численного решения и его описание, вычисления, заключение.

Исходные данные привести в виде таблицы произвольной формы.

Формализация задачи. Данная задача является одномерной, так как по условию отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении, т.е. тепловые потоки в поперечных направлениях стержня равны нулю. Выделив из стержня элементарный объем (рис.2), запишем уравнение баланса количества теплоты, предварительно разделив обе части уравнения на объем элемента и рассматриваемый период времени τ [2, с.52]:

, (1)

где J_x⁺ , J_x^- - удельные плотности входящего и выходящего тепловых потоков;

h_x - длина элементарного объема;

θ_i^s+1- θ_i^s - приращение температуры элементарного объема i за время τ;

S -номер шага по времени (номер временного слоя).

Считая, что свойства среды линейны, на основании закона Фурье [2, с.56] уравнение (1) можно записать, выразив соответствующие потоки J_x⁺ , J_x^- через разности температур соседних объемов, в явной форме:

, (2)

или в неявной форме:

, (3)

Уравнение (2) содержит одну неизвестную , а (3) три неизвестных , , .

Граничные условия задачи. Считаем, что в любой момент времени температура свободного конца стержня равна θ₁, а закрепленного в теплоотводе θ_ср (рис.3).

Начальные условия задачи. Будем считать, что в момент времени температура во всех внутренних узлах модели равна θ_ср (рис.3).

Алгоритм численного решения и его описание. В случае решения задачи с помощью явной разностной схемы алгоритм решения очень прост. Уравнение (2) преобразуется относительно единственной неизвестной :

, (4)

Соответствующая разностному уравнению (4) форма расчётной ячейки показана на рис.3. Расчётная ячейка позволяет наглядно представить, значения температур каких узлов следует подставлять в уравнение (4) при вычислении неизвестной . Для простоты принимаем . Так как граничные и начальные значения нам не известны, то, передвигая ячейку из одного крайнего положения в другое по оси Х, можно определить значения на неизвестном временном слое S+1.

Например, для начального положения расчётной ячейки (рис.3) вычисленное значение температуры в узле с координатами по формуле (4) будет равно:

,

Подставив заданные величины и вычислив результат, записываем значение температуры вблизи второго узла. Физически это означает, что мы определили значение температуры в данной точке стержня спустя время τ после начала нагревания свободного конца стержня. Передвигая расчётную ячейку на одну дискрету по оси Х, находим температуру в узле с координатами и т.д., пока не станет равным 1. Найденные значения температуры во всех внутренних узлах при S=1 определяют температурный профиль по длине стержня в момент времени . Вернув расчётную ячейку в начальное положение, передвигаем её по вертикальной оси на шаг и повторяем описанную выше процедуру. Таким образом, мы вычисляем температуру в узлах в момент времени и т.д., пока не будет определён температурный профиль по длине стержня в заданный момент времени . Схема алгоритма решения задачи показана на рис. 4.

Параметр для явных разностных схем выбирают из условия устойчивости вычислительного процесса, которое легко получить, исследуя уравнение (4) с помощью спектрального признака устойчивости [1,с.48]

(5)

Параметр нужно выбирать из условия заданной точности решения. Практически же, взяв по длине стержня 8 узлов (рис.3), мы получим приемлемую точность.

При решении задачи с помощью неявной разностной схемы мы имеем уравнение с тремя неизвестными Соответствующая уравнению (3) форма расчётной ячейки показана на рис.5. В этом случае на каждом неизвестном временном слое S+1 приходится решать систему уравнений методом «прогонки», в котором при движении расчётной ячейки вправо (рис.5) рассчитываются рекуррентно коэффициенты [1,с.77]:

(6)

где .

Начальные значения коэффициентов . Затем при движении расчётной ячейки обратно определяются значения функции на неизвестном временном слое S+1:

. (7)

Алгоритм решения показан на рис.6. Здесь для каждого временного слоя в блоках 6-11 вычисляются значения коэффициентов , а в блоках 12-15 определяется температурный профиль по длине стержня.

Учитывая, что неявные разностные схемы абсолютно устойчивы, параметр так же, как и параметр , должен выбираться из условия заданной точности решения. Рекомендации по выбору давались при рассмотрении явной разностной схемы. выбираем примерно на порядок больше, чем следует из условия устойчивости (5).

Вычисления. Прежде, чем проводить вычисления, выберите шаги и по координатам. Постройте область, в которой непрерывное изменение аргументов заменено дискретным множеством точек (узлов) с координатами (рис.3,5)

.

Нанесите на рисунок значения температуры и (табл.1) в узлах, определяемые начальными и граничными условиями задачи. При проведении вычислений согласно схемам алгоритмов (рис.4,6) рекомендуется записывать найденные значения температуры вблизи соответствующего узла. Это позволит связать формальные вычисления с физикой решаемой задачи и избежать ошибок при проведении расчётов. Все вычисления в контрольном задании выполняются вручную. Целесообразно применять микрокалькулятор. Результаты округлять до второй значащей цифры после запятой. Промежуточные вычисления следует записывать в таблицы, оформленные по образцу табл.2,3.

При решении задачи с помощью явной разностной схемы после того, как будет закончен цикл по S, нужно выбрать численное значение так, чтобы условие (5) было нарушено, и ещё раз прорешать эту же задачу, оформив вычисления аналогично табл.2, и пронаблюдать, что происходит с решением при нарушении условия устойчивости.

Рис.6. Схема алгоритма решения задачи с помощью

неявной разностной схемы.

На основании расчётных таблиц построить графики температурных профилей по длине стержня в момент времени .

Заключение. Привести краткую характеристику метода и дать оценку полученным результатам.

Таблица 2

Решение задачи с помощью явной разностной схемы

Счётчики циклов		Вычисления
S	L
S=0		= <численное значение>
		= <численное значение>
	……..	…………………………..
		= <численное значение>
S=1		= <численное значение>
и т.д.

Таблица 3

Решение задачи с помощью неявной разностной схемы

Счётчики циклов			Вычисления
S
S=0			= <численное значение>
			=<численное значение>
			………………………………
			………………………………
	…………..	……………	……………………………..
			……………………………..
			……………………………..
			= <численное значение>
			……………………………….
			…………………………….
			…………………………….
S=1			……………………………..
			……………………………
и т.д.

Задание 2. Компоновка типовых конструкторских

элементов.

Постановка задачи. Задан фрагмент электрической схемы. Необходимо распределить все элементы между двумя платами таким образом, чтобы число электрических связей между ними было минимальным. Требуется формализовать задачу, используя язык теории графов, и решить её итерационным методом, случайным образом построив начальное разбиение.

Исходные данные. Фрагмент электрической схемы и количество элементов на одной из плат выбираются по табл.4.

Таблица 4

Исходные данные для вариантов контрольного задания 2

Наименование параметров	Цифры студенческого шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Фрагмент электрической схемы (рис. 7)	По последней цифре шифра
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Количество элементов на одной из плат,	По предпоследней цифре шифра
	3	4	5	6	3	4	5	6	4	5

Методические указания. Перед выполнением задания изучите по работе [4, с.180-188] итерационный алгоритм и разберите приведённый пример.

Контрольное задание должно содержать такие же разделы, как и предыдущее.

Формализация задачи. Для формализации задачи нужно воспользоваться аппаратом теории графов, представляя каждый элемент вершиной неориентированного графа, а связи между элементами – рёбрами, соединяющие эти вершины. Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: разбить вершины исходного графа на два подмножества и заданной мощности и ( - число вершин графа) таким образом, чтобы число рёбер, соединяющих эти подмножества, было минимальным (это и есть целевая функция , минимум которой нужно определить).

Сформулированную задачу нужно решать итерационным способом, предварительно выбрав случайным образом заданное количество вершин в одном из подмножеств и пронумеровав все вершины числами натурального ряда, начиная с единицы.

После формирования подмножеств делается попытка улучшить решение с помощью итераций, сущность которых заключается в перестановке пар вершин между подмножествами с целью минимизации числа соединительных рёбер [4, с.180]. Из всевозможных перестановок выбирается та, которая обеспечивает максимальную положительную величину числовой оценки:

(8)

где K – номер вершины принадлежащей подмножеству заданной мощности ;

q – номер вершины, принадлежащей оставшемуся подмножеству ;

- число внутренней связности, определяемое как разность между количеством рёбер, соединяющих вершину K с вершинами из и количеством рёбер, соединяющих её с вершинами из ;

- число внешней связности, определяемое как разность между количеством рёбер, соединяющих вершину q с вершинами из , и количеством рёбер, соединяющих её с вершинами из ;

- элемент матрицы смежности R[N,N] графа.

Рассмотрим пример вычисления , и для вершин K и q рис.8: .

Это означает, что при перестановке вершин K из в и q из в значение целевой функции уменьшится на единицу.

Процесс продолжается до тех пор, пока при очередной оценке всевозможных перестановок не найдётся ни одного варианта, обеспечивающего .

Алгоритм решения задачи показан на рис. 9, 10.

Алгоритм численного решения. В блоках 12-18 происходит вычисление числа внутренней связности , а в блоках 5-11 – внешней связности по заданной матрице смежности R[N,N].

В блоках 21-30 вычисляются оценки всевозможных парных перестановок вершин между множествами и и выбирается максимальное значение ВМ и соответствующие ему номера вершин (8) и . В блоке 31 определяется, имеется ли перестановка, позволяющая улучшить решение. Если это имеет место (ВМ>0), то в блоках 34-39 осуществляется перестановка и строк, а в блоках 40-45 - и столбцов матрицы R[N,N], что соответствует перестановке вершин из подмножества в подмножество , а вершины из в . Затем весь процесс повторяется до тех пор, пока не будет ни одной перестановки, позволяющей улучшить решение ( ,блок 31).

Вычисления. Изобразить граф заданной схемы. Разбить вершины на два подмножества и и пронумеровать их числами натурального ряда, начиная с единицы. Нумерацию начать с вершин выбранного подмножества . Подсчитать значение целевой функции , равное числу рёбер, соединяющих подмножества вершин и .

Промежуточные вычисления следует выполнять в виде таблицы, оформленной по образцу табл.5, придерживаясь алгоритма рис. 9,10.

Таблица 5

Решение задачи компоновки итерационным методом

Номер итера-ции	Вид матрицы смежности	Числа внешней и внутренней связности	Вид матрицы все-возможных пере-становок B[ , ]
1
2		……………	………………..
……..	…………………………	…………..	…………………

На основании расчётной табл.5 построить оптимизированный вариант разбиения вершин графа на два подмножества и записать характеризующее его значение .

Заключение. Привести краткую характеристику метода и дать оценку полученным результатам.