Нейман часть 3

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Ю. НЕЙМАН

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть 3 Четырехполюсники и трехфазные цепи

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 621.3.011.71(075.8) Н 46

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. А.В. Сапсалев, канд. техн. наук, доц. Ю.В. Петренко

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники для студентов дневного и заочного отделений

электротехнических специальностей

Нейман В.Ю.

Н 46 Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Ч. 3. Четырехполюсники и трехфазные цепи: учеб. пособие / В.Ю. Нейман. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. – 144 с.

ISBN 978-5-7782-1547-4

В пособии на значительном числе примеров решения типовых задач рассматриваются методы расчета четырехполюсников и трехфазных цепей. Предлагаются аналогичные задачи для самостоятельного решения с ответами.

Показаны приемы использования персонального компьютера для автоматизации расчетов электрических цепей.

Структура и содержание пособия соответствуют программе курса «Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вузов.

Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.

УДК 621.3.011.71(075.8)

ISBN 978-5-7782-1547-4	© Нейман В.Ю., 2010
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2010

2

	ОГЛАВЛЕНИЕ
	Введение......................................................................................................	4
1.	Основы расчета четырехполюсников ......................................................	5
2.	Расчет трехфазных цепей при симметричной нагрузке ........................	26
3.	Расчет трехфазных цепей при несимметричной нагрузке .....................	48
4.	Расчет аварийных режимов работы трехфазных цепей .........................	65
5.	Мощность трехфазной системы, измерения активной мощности ........	85
6.	Расчет трехфазных цепей с несимметричной системой ЭДС. Основы
	метода симметричных составляющих......................................................	105
7.	Применение математической программной среды MathCAD при рас-
	четах четырехполюсников и режимов работы трехфазных цепей .....	119
	Библиографический список....................................................................... ....	143

3

ВВЕДЕНИЕ

Цель пособия – оказать помощь студентам, изучающим курс «Теоретические основы электротехники», в их самостоятельной работе.

Усвоение материала из разделов курса «Четырехполюсники» и «Трехфазные цепи» становится возможным только с приобретением практических навыков, получаемых в процессе решения задач.

Так же как и первые две части пособия, третья состоит из отдельных разделов, разбитых по темам в соответствии с программой курса. Часть задач рассмотрена с их решением. В задачах, приведенных для самостоятельного решения, даны только ответы.

По каждой из задач изложен подробный алгоритм расчета, который поясняется на примере четырех и более задач с их решениями.

Приведенные примеры расчета электрических цепей соответствуют типовым задачам, которые могут оказаться полезными при подготовке к практическим занятиям и выполнении домашних заданий, а также при подготовке к экзаменам, обладают требуемой сложностью и трудоемкостью.

В качестве помощи студентам в изучении дисциплины рассмотрены приемы работы на компьютере с целью автоматизации расчетов электрических цепей в среде MathCAD. Предполагается, что учащийся имеет начальное представление о математическом пакете MathCAD из пройденного курса информатики. Это позволяет переложить выполнение рутинных математических расчетов на компьютер.

4

1.ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Соотношения между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника связаны между собой основными уравнениями. Это позволяет, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы, получить аналитическую зависимость между токами и напряжениями на входе и выходе четырехполюсника.

Расчет пассивных четырехполюсников сводится к определению коэффициентов, связывающих его уравнения, характеристических параметров и передаточных свойств четырехполюсников.

Задача 1.1

Определить коэффициенты четырехполюсника (рис. 1.1) для уравнений, составленных по А -форме, записать матрицу А -параметров

при r 100 Ом , xL

25 Ом ,

xС

50 Ом . Выполнить проверку уравне-

ния связи коэффициентов.

1

r

xC

2

1

I1

r

I 2

jxC

2

U

U

xL

1

I11

jxL

I 22

2

1I

2I

1I

2I

Рис. 1.1

Рис. 1.2

5

Решение

1. Решение получим приведением уравнений, составленных по методу контурных токов, к виду основных уравнений четырехполюсника, записанных в А-форме:

U1		A		U 2		B		I 2 ,
I1	C		U 2		D		I 2 .

Положительные направления напряжений, токов и обходов контуров зададим в соответствии с расчетной схемой, приведенной на рис. 1.2.

2. По методу контурных токов для схемы (рис. 1.2) получим систему уравнений

I11

r

jxL

I 22 jxL

U

1,

I 22

jxL

jxC

I11 jxL

U

2 .

Переходя от контурных токов к действительным токам I1 I11 ,

I 2 I 22 , получим

I1 r jxL

I 2 jxL

U

1,

I1 jxL

I 2 jxL

jxC

U

2 .

Из второго уравнения системы выразим ток I1 и подставим в пер-

вое уравнение. После некоторых преобразований системы приведем ее к уравнениям четырехполюсника А-формы:

U

1 1

r

U

r jxC

jxC r

I 2

;

jxL

2

jxL

I1

1

U

1

jxC

I 2 .

2

jxL

jxL

6

3. Из сравнения полученной системы уравнений с основными уравнениями четырехполюсника, записанными в A-форме при заданных числовых значениях, находим А-параметры:

A

1

r

1

100

1

j4 ,

jxL

j25

B r jxC

jxC r

100

j50

j50 100

100

j50 Ом ,

jxL

j25

С

1

1

j0,04 См ,

jxL

j25

D

1

jxC

1

j50

1.

jxL

j25

4. Матрица А-параметров равна

A

A B

1

j4

100

j50

.

C D

j0, 04

1

5. Проверка выполнения уравнения связи коэффициентов

AD BC 1

j4

1

100 j50

j0, 04

1.

Уравнение связи коэффициентов выполняется.

Задача 1.2

Определить коэффициенты уравнений А-формы и записать систему уравнений несимметричного Т-образного четырехполюсника (рис. 1.3) в матричной форме. Найти характеристические сопротивления и постоянную передачи четырехполюсника, если r 4 Ом ,

xL1 6 Ом , xL2 7 Ом , xM 2 Ом , xС 3 Ом .

Решение

1. Решение получим для схемы с развязкой индуктивных связей (рис. 1.4) приведением уравнений, составленных по методу контурных

7

1				1	I1 jxL1		jxM	jxM r	I	2	2
xL1	r							jxM
xM		2
								I
xL2			U 1		I	11			22		U 2
								jxL2
xC							jxC
I		2	I	1I							2I
1
Рис. 1.3							Рис. 1.4

токов, к виду основных уравнений четырехполюсника, записанных в А-форме:

U1		A		U 2		B		I 2 ,
I1	C		U 2		D		I 2 .

2. С учетом заданных положительных направлений контурных токов I11 , I 22 для расчетной схемы (рис. 1.4) получим

I11 Z1

Z 3

I 22 Z 3

U

1,

I 22 Z 2

Z 3

I11 Z 3

U

2 ,

где Z1

jxL1

jxM

j6

j2

j4 Ом ;

Z 2

r jxM

4

j2 Ом ;

Z 3

jxL2

jxM

jxC

j7 j2 j3 j2 Ом .

Переходя

к

действительный

токам,

полагая в схеме (рис. 1.4)

I1 I11 ,

I 2

I 22 , получим

I 1 Z 1

Z 3

I 22 Z 3

U

1,

I 1 Z 3

I 22 Z 2 Z 3

U

2 .

8

Выразим ток I1 из второго уравнения системы и подставим в пер-

вое уравнение. После приведения системы к уравнениям четырехполюсника А-формы окончательно получаем

U

1

Z1

U

Z

Z

Z1 Z 2

I

,

1

2

1

2

2

Z 3

Z 3

I1

1

U 2

1

Z 2

I 2 .

Z 3

Z 3

3. Из сравнения полученных уравнений четырехполюсника по рис. 1.4 с основными уравнениями, записанными в А-форме для коэффициентов, получим

A 1

Z1

1

j4

3

,

Z 3

j2

B Z1

Z 2

Z1 Z 2

j4 4 j2

j4 4

j2

12 j10 Ом ,

Z 3

j2

С

1

1

j0,5 См ,

Z 3

j2

D 1

Z2

1

4

j2

2

j2 Ом .

Z3

j2

Проверка:

AD

BC 3 2

j2

12

j10

j0,5 1 .

4. Система уравнений четырехполюсника в матричной форме

	U	1	3	12	j10		U	2	.
	I1		j0,5	2	j2		I 2

5. Характеристическое (входное) сопротивление со стороны первичных выводов 1 и 1I четырехполюсника (рис. 1.3):

									46,86			39,8о
Z c1		A B	3			12	j10
		C D			j	0,5	2 j2		1,41		135о
							9

33,23 174,8о 5,76 87,4о Ом .

Характеристическое (входное) сопротивление со стороны вторичных выводов 2 и 2I четырехполюсника (рис. 1.3):

2

j2 12

j10

44,18

5, 2о

Z c2

D B

C A

j0,5 3

1,5

90о

29,45

84,8о

5,43

42,4о Ом .

6. Постоянная передачи четырехполюсника:

a

jb

ln

A D

B C

ln

3 2

j2

12

j10

j0,5

ln

8, 48

45о

7,81

50, 2о

5,7 e j23,8o

ln

2,91

22,5о 2,79

25,1о

ln 5,7

23,8о ln

= ln 5,7

ln e j23,8o

1,74

j0,42 ,

где

a

1,74 Нп – собственное затухание четырехполюсника;

b

23,8о

0,42 рад. – коэффициент фазы.

Задача 1.3

Для схемы (рис. 1.5) по значениям напряжений и токов в режимах холостого хода и короткого замыкания определить коэффициенты четырехполюсника и записать матрицу A -параметров, если r 15 Ом ,

xL 10 Ом , xС 5 Ом .

10