m2var17

Вариант № 17

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

1.

∫

1− 2x

dx = ∫

dx

− ∫

2xdx

=

=

1

∫

d 2x)

+

подведение под

1− 4x2

1− 4x2

1− 4x2

знак дифференциала

2

1− 2x)2

1

1

1

1

1

1

+

∫ 1− 4x2 )−

d 1− 4x2 ) =

arcsin 2x +

1− 4x2 )

+ C =

(arcsin 2x +

1− 4x2 ) + C .

2

2

2

4

2

2

1

′

1

2

− 8x

1− 2x

2

Проверка:

(arcsin 2x +

1−

4x

)

+ C

=

(

+

)

=

.

2

2

1− 4x2

2 1− 4x2

1− 4x2

Ответ: ∫

1− 2x

1

dx =

(arcsin 2x +

1− 4x2 ) + C .

1− 4x2

2

2. ∫x ln(x −1)dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

ln(x −1) = u,

du =

dx

∫x ln(x −1)dx =

x −1

=

x2

ln(x −

1) −

1

∫

x

2

dx

=

x

2

ln (x −1) −

x

2

2

2

x −

2

xdx = dv,

v =

1

2

−

1

∫

(x2 −1+1)dx

=

x2

ln(x −1) −

1

∫ (x +1)dx −

1

∫

dx

=

(x2 −1)

ln(x −1) −

x2

−

x

+ C .

2

x −1

2

2

′

2

x −1

2

4

2

(x2 −

1)

x

2

x

2x

(x2

−1)

x

1

Проверка:

ln(x

−1) −

−

+ C

=

ln(x −1) +

−

−

= xln(x −1) .

2

4

2

2

2(x −1) 2 2

Ответ: ∫xln(x −1)dx =

(x2 −1)

ln(x −1) −

x2

−

x

+ C .

2

2

4

3. ∫

x

dx . Интегрируем после преобразований.

2 + 3x − 2x2

∫

x

dx = −

1

∫

3 − 4x − 3

dx = −

1

∫

d

2 + 3x − 2x2

)

dx +

3

∫

dx

=

2 + 3x − 2x2

4

2 + 3x − 2x2

4

2 + 3x − 2x2

4

2 + 3x − 2x2

1

+

3

∫

dx

= −

1

+

3

∫

dx

= −

2 + 3x − 2x2

2 + 3x − 2x2

=

2

4

25

− 2(x2 − 2

3

x +

9

)

2

4 2

25

− (x −

3

)2

8

4

16

16

4

1

3

arcsin

x − 3/ 4

+ C = C −

1

3

arcsin

4x − 3

.

= −

2 + 3x − 2x2

+

2 + 3x − 2x2

+

2

4

2

5/ 4

2

4

2

5

1

3

4x

−

3 ′

Проверка: C −

2 + 3x

− 2x2 +

arcsin

=

2

4

2

5

= −

1

− 4x + 3

+

3

1

4

=

4x − 3

+

3

1

=

2 2 + 3x −

4x −

4 2 + 3x −

25 −

+ 24x − 9

2

2x

2

4

2

1−

3)

2

5

2x

2

2

16x

2

25

=

4x − 3

+

3

1

=

x

.

4 2 + 3x − 2x2

2 2 2 2 + 3x − 2x2

2 + 3x − 2x2

1

Ответ: ∫

3x −1

1

3

arcsin

4x − 3

.

dx = C −

2 + 3x − 2x2

+

2x2 − 5x +1

2

4 2

5

4

+

3

2

− 8

4.

∫

2x

9x

+

4x − 6x

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную

3

2

x

+ 4x

4

+ 9x

3

2

− 6x

− 8

3x + 4

часть на простые дроби. ∫

2x

+ 4x

dx = ∫[2x +1− 2

]dx

3

2

x

2

x

+ 4x

(x + 4)

x + 3

=

A

+

B

+

C

=

Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2

Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2 = 3x + 4

x2 (x + 4)

x + 4

x2 (x + 4)

x x2

. Полагаем

x = 0, получим B = 1. Из равенства

x = −4

следует C = −1/ 2 . Приравнивая

коэффициенты

при

x2 ,

получим

A + C = 0.

Или

A = 1/ 2.

Таким

образом,

∫

2x

4

+

9x

3

+ 4x

2

− 6x − 8

dx = ∫[2x +1−

1

2

1

2

−

+

]dx = x2 + x +

− ln

x

+ ln

x + 4

+ C =

3

+ 4x

2

2

+ 4

x

x

x

x

x

= x2

+ x +

2

− ln

x

+ C

x + 4

x

Проверка:

′

2

x

= 2x +

1−

2

−

x + 4

x +

4 − x

2x +1)x2 (x + 4) − 2(x +

4) − 4x

x

2 + x

+

− ln

+ C

=

=

2

2

2

x + 4

(x + 4)

(x + 4)

x

x

x

x

=

2x +1)x2

(x + 4) − 2(x + 4) + 4x

=

2x4 + 9x3 + 4x2 − 6x − 8

.

x2 (x + 4)

x3 + 4x2

Ответ: ∫

2x

4

+ 9x

3

+

4x

2

− 6x − 8

dx = x2

+ x +

2

− ln

x

+ C .

x

3

2

x + 4

+ 4x

x

5.

∫

2 − x3 + 2x2 + 3x

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

(x

2

+ x)(x

2

+1)

∫

2 − x3+ 2x2+ 3x

=

∫

2 − x3+

2x2+ 3x

dx

dx:

(x

2

+ x)(x

2

+1)

x(x +1)(x

2

+1)

2 − x3 + 2x2

+ 3x

=

A

+

B

+

Cx

+ D

=

A(x +1)(x2

+1) + Bx(x

2 +1) + (Cx

+ D)x(x +1)

x(x +1)(x2

+1)

x

x

+1

x2

+1

x(x +1)(x2 +1)

A(x +1)(x2

+1) + Bx(x2

+1) + (Cx + D)x(x +1) = 2 − x3 + 2x2

+ 3x. Полагая x = 0, получим

A = 2, полагая x = −1, получим B = −1. Приравняем коэффициенты при x3 :

A + B + C = −1 C = −2 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + C + D = 2 D = 2 .

Таким образом, ∫

2 − x3 + 2x2 + 3x

= ∫

2

−

1

−

2x − 2

= 2ln

− ln

x +1

− ln(x2 +1) +

dx

[

]dx

x

2

+ x)(x

2

+1)

+

2

+1

(x

x x

1

x

x2

+2arctg x + C = ln x +1(x2 +1) + 2arctg x + C .

Проверка:

x

2

′

2x

2

1

2

ln

+ 2arctg x + C

=

−

−

+

=

x +1(x2 +1)

x x +1 x2 +1 x2

+1

2

=

2(x +1)(x2 +1) − x(x2

+

1) − 2x − 2)x(x +1)

=

2x3 +

2x2

+ 2x +

2 − x3 − x − 2x3 + 2x

=

x(x +1)(x2 +1)

x(x +1)(x2

+1)

2 − x3 + 2x2 + 3x

. Ответ: ∫

2 − x3 + 2x2 + 3x

x2

=

dx = ln

+ 2arctg x + C .

x(x +1)(x

2

+1)

(x

2

+ x)(x

2

+

1)

x

+1(x

2

+1)

6. ∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

−

6

x5

x

∫

dx

=

x = t6 , dx = 6t5dt

=

∫

6t5dt

= 6∫

t2dt

= 6∫

(t2

−1+1)dt

= 6∫dt

+6∫

dt

5

− t

3

2

−1

2

−1

2

−1

6 x5

− x

x = t3

t

t

t

t

t −1

6

−1

x

= 6t + 3ln

+ C = 6 6

x + 3ln

+ C .

t

+1

6

+1

x

Проверка:

′

6

x −

1

3

3

1

1

6

6

x + 3ln

+ C

= x−5/ 6

+ [

−

]

x−5/ 6

= x−5/ 6

+

x−5/ 6

=

6

x +

1

6

x

−1

6

x

+1

6

3

x −1

x−1/ 2

3

x −1+1

3 x

1

= x−5/ 6

= x−5/ 6

=

=

.

3 x −1

3 x −1 3 x −

1 6 x5 − x

Ответ: ∫

dx

6

x

−1

+ C .

= 6 6

x + 3ln

6

x5

−

6

x +1

x

7. ∫

x2

− a2

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

x

x2

− a2

= t2 , xdx = tdt,

+ a2

− a2

∫

x2

− a2

dx = ∫

x2 − a2

= ∫

t

tdt = ∫

t2

xdx =

x

x

2

x

2

= t

2

+ a

2

t

2

+ a

2

t

2

+ a

2

1

t

x2

− a2

= t − a2

arctg

+ C =

x2

− a2

− a arctg

+ C .

a

a

a

Проверка:

′

x

2

− a

2

2x

a

2x

x2

− a2

− a arctg

+ C

=

−

=

2

2

2

2

2

2

2

a

2 x

− a

1

+ (x − a )/ a

2a x

− a

=

x

−

xa2

=

x2 − a

2

=

x

2 − a

2

.

x2 − a2

x2

x2 − a2

x x2 − a2

x

Ответ: ∫

x2

− a2

x2 − a2

dx =

x2

− a2

− a arctg

+ C .

x

a

8. ∫(tg2 x + tg4 x)dx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫(tg2 x + tg4 x)dx = ∫tg2 x

1+ tg2 x)dx = ∫

tg2 xdx

− ∫tg

2 xd(tg x) =

tg3 x

+ C .

cos

2

x

3

′

tg

3 x

1

Проверка:

+ C

= tg2 x

= tg2 x 1+ tg2 x) = tg2 x + tg4 x .

2

3

cos

x

Ответ: ∫(tg2 x + tg4 x)dx = tg3 x + C .

3

3

=

dt =

9. ∫

sin x

dx . Интегрируем после предварительных преобразований.

1+ sin x

sin x

1− sin x)sin x

1

− sin x)sin x

d cos x

sin2 x

∫

dx = ∫

dx = ∫

dx = −∫

−∫

dx =

1

+ sin x

1− sin

2

x

cos

2

x

cos

2

x

cos

2

x

1

∫

1− cos2 x

1

=

−

dx =

− tg x + x + C .

cos

2

cos x

cos x

x

Проверка:

′

1

1

1

sin x

−1

sin x −1

+ cos2 x

− tg x + x + C = −

(−sin x) −

+

1 =

+1

=

=

cos2

cos2

cos2

cos2 x

cos x

x

x

x

=

sin x − sin2

x

=

sin x 1− sin x)

=

sin x

. Ответ:

∫

sin x

dx =

1

− tg x + x + C .

cos

2

x

1− sin

2

x

+ sin x

1

1

+ sin x

cos x

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

x

a

xdx

a

(x +1−1)dx

a

dx

a

dx

10. ∫

dx = lim

∫

= lim ∫

= lim

∫

− lim

∫

=

(x +1)

2

(x +1)

2

(x +1)

2

x +

1

(x +1)

2

1

a→∞

1

a→∞

a→∞

1

a→∞

1

1

1

∞

x

= lim[ln(x +1) −

]

a

= ∞ . Интеграл расходится.

Ответ:

∫

dx = ∞ . Интеграл

a→∞

x +1

1

(x

+1)

2

1

расходится.

3

−α

3

−α

3

11 ∫

dx

= lim ∫

dx

+ lim

∫

dx

= −lim

1

− lim

1

= (∞ + ∞). Интеграл расходится.

2

2

2

−1

x

α →0

−1

x

β →0

β

x

α →0 x

−1

β →0 x

β

α >0

β >0

α >0

β >0

3

Ответ: ∫ dx . Интеграл расходится.

−1 x2

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y	= 2x2 − 7x + 5 = f	1	(x)		Найдём точки пересечения
12.			.
y	= −13x + 5 = f2 (x)
линий:
2x2 − 7x + 5 = −13x + 5 2x2 + 6x = 0 x = −3, x								2	= 0 .
							1
Тогда
x2		0
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[−13x + 5 − 2x2 − 7x + 5)]dx =
x1		−3
0				2x	3		0
= ∫[−6x −2x2 ]dx = [−3x2 −						]	= 27 −18 = 9. Ответ:
−3			3				−3

48
36
24
12
0	2	1	0
3

S = 9.
	x = 8cos3 t					4
13.	y = 4sin3 t,			. Это астроида. Найдём точки
		3, (x ≥ 3
	x = 3		3)			0
пересечения линий:
8cos3 t = 3		3 cost =		3 t = ± π + 2kπ .
				2	6	4	4	0	4	8
	ϕ 2				π / 6	8

S = ∫[x1 (t) − x2 (t)]dy(t) =	∫[8cos3 t − 3		3]12sin2 t costdt =
ϕ1	−π / 6
	4

π / 6

sin

3

t

π / 6

π / 6

= 96

∫cos4 tsin2 tdt −36

3

= 12

∫ 1+ cos2t)sin2 2tdt − 3

3 =

3

−π / 6

−π / 6

−π / 6

π / 6

3

π / 6

π / 6

sin

2t

3 3

= 12

∫sin2 2tdt +12

− 3

3

= 6 ∫ 1− cos4t)dt +

− 3

3 =

6

−π / 6

−π / 6

−π / 6

2

π / 6

1

3

3

= 2π −

3

3

3

3

= 2π − 3

= 6[t −

−

−

sin 4t]

3 . Ответ: S = 2π − 3 3 .

4

−π / 6

2

2

2

ρ =

1

14. Вычислите длину дуги кривой (L):

ϕ

(гиперболическая спираль).

3/ 4 ≤ ϕ ≤ 4/3

u =

ϕdϕ

,

ϕ2

ϕ 2 +1, du =

ϕ 2 +1

4 / 3

4 / 3

ϕ 2 +1

L = ∫ ρ 2 + ρ′

2 dϕ = ∫ 1/ϕ 2 +1/ϕ 4 dϕ = ∫

dϕ =

=

ϕ

2

1

ϕ1

3/ 4

3/ 4

dϕ

= dv, v = −

ϕ 2

ϕ

4 / 3

ϕ

2

+1

4 / 3

d2ϕ

= − 5 + 5 + ln(ϕ +

4 / 3

= 5

+ ln 3 .

= −

+ ∫

ϕ 2 +1)

ϕ

3/ 4

4 3

12

2

3/ 4

ϕ +1

3/ 4

Ответ: L =

5

+ ln

3

.

12

2

x = 4sin t

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

вокруг оси OX.

y = 3cost

t2

π / 2

π / 2

sin

3

t

π / 2

V = π ∫ y2 (t)dx(t) = π

∫9cos2 t 4costdt = 36π

∫ 1− sin2 t)d sintdt = 36π[sint −

]

=

t1

−π / 2

−π / 2

3

−π / 2

2

= 36π[2 −

] = 48π . Ответ: V = 48π .

3

x

2 + y2

= 16

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

≤ x ≤

вокруг оси

0

2

OX.

x2

2

2

x

2

P = 2π ∫ y y′2 +1dx = 2π ∫

16 − x2

+1dx = 2π ∫ x2 +16 − x2 dx = 8πx

02 = 16π .

(16 − x

2

)

x1

0

0

Ответ: P = 16π .

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

17. ∫sin(ln x)dx . По справочнику находим: ∫sin(ln x)dx = x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C . 2

Ответ: ∫sin(ln x)dx = x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие 2

математические формулы.)

	1	ln x				1	ln x		π 2
18. ∫					dx . По справочнику находим: ∫			dx =	.
		x −1
	0					0	x −1		6
1	ln x					π 2
Ответ: ∫			dx =			.
0	x −1					6
						5

19. Найдите работу, необходимую для растяжения пружины на 4 см, если для удлинения её на 1 см нужно затратить силу F=3 кГ.

Для растяжения пружины на длину x требуется сила F x = Fx . Тогда на участке (x,

1

x+dx) буде совершена работа dA = F x dx . Следовательно,

4

x

2

4

16

A = ∫F x dxA = F

= F

= 3 8 = 24 кГсм = 0.24 кГм .

0

2

0

2

Ответ: A = 0.24 кГм.

20. Вычислите работу, необходимую для

выкачивания воды из сосуда, имеющего форму

R

прямого кругового конуса с вертикальной осью,

обращённой вершиной вниз, если R=3 м, H=8 м.

x

Уравнение образующей конуса y = Hx / R .

H

Объём элементарного слоя воды на уровне y будет

y

равен dV = πx2dy = π

R2 y2

dy . Если плотность воды

H 2

равна 1000 кг/м3, то вес элементарного слоя воды

будет

dP = 1000π

R2 y2

dy . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y,

H 2

равна

dA = 1000π

R2 y2

(H − y)dy . Следовательно,

H 2

H

R2 y2

1000πR2 H

1000πR2

y3

y

4

H

A = ∫1000π

(H − y)dy =

∫ y2 (H − y)dy =

[H

−

]

=

H

2

H

2

H

2

3

4

0

0

0

1000πR2

H 4

H 4

1000πR2 H

2

= 48000π . Ответ: A = 48000π кГм.

=

[

−

] =

2

H

3

4

12

6