m2var09

Вариант № 9

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

ex

подведение под

−

1

∫

dx =

= ∫(ex + 4)

+ 4) =2

+ 4 + C .

1.

2 d(ex

ex

ex

+ 4

знак дифференциала

Проверка: (2

+ C)′ = 2

1

ex

=

ex

.

ex

+ 4

+ 4

2 ex

ex

+ 4

Ответ: ∫

ex

dx = 2 ex

+ 4 + C .

ex

+ 4

2.

∫(x2

+1) 3x dx. Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

x2

+1 = u,

du = 2xdx

x2 +

1

2

x = u,

du = dx

∫(x2 +1) 3x dx =

1

=

3x −

∫x 3x dx =

1

x

=

3

x

dx = dv,

v =

3

x

ln3

3

x

dx = dv,

v =

3

ln3

ln3

ln3

=

x2 +1

3x −

2

(

x

3x −

1

∫3x dx) =

x2 +1

3x −

2

x

3x +

2

3x + C =

ln3

3

3

ln3

ln3

ln3

ln3

ln3

ln3

ln

=

3x

[(x2

+1)ln2 3 − 2xln3 + 2]+ C . Проверка:

ln3

3

′

3x

3x ln3

[(x2 +1)ln2

3 − 2xln3 + 2] + C

=

[(x2 +1)ln2 3 − 2xln3 + 2] +

3

3

3

ln

3

ln

+

3x

[2xln2 3 − 2ln3] =

3x ln3

[(x2 +1) .

ln3

3

ln3 3

x

Ответ: ∫(x2 +1 3x dx =

3

[(x2 +1)ln2 3− 2xln3 +1] + C .

3

3

ln

3.

∫

x + 3

dx =

1

∫

8x − 4 + 28

dx = −

1

∫

d(3 + 4x − 4x2

)

dx +

7

∫

dx

=

3+ 4x − 4x2

8

3 + 4x − 4x2

8

3+ 4x − 4x2

2

3 + 4x − 4x2

1

+

7

∫

d(2x −1)

= −

1

+

7

arcsin

2x −1

+ C .

= −

3 + 4x − 4x2

3 + 4x − 4x2

− (4x2 − 4x +1)

4

4

4

4

4

2

1

7

2x −1

′

2

Проверка: −

3+ 4x − 4x

+

arcsin

+ C

=

4

4

2

= −

1

− 8x + 4

+

7

1

=

2x −1

+

7

=

x + 3

4 2 3 + 4x −

4x2

4

1−

(2x −1)2

2 3+ 4x − 4x2 2 3 + 4x − 4x2

3+ 4x − 4x2

4

.

Ответ: ∫

x + 3

1

+

7

arcsin

2x −1

+ C .

dx = −

3 + 4x − 4x2

3+ 4x − 4x2

4

4

2

4.∫ x3 − 2x2 −12x − 7 dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на x3 − 3x − 2

простые дроби. ∫

x3

− 2x2 −12x − 7

dx = ∫[1−

2x2 + 9x + 5

]dx = ∫[1+

2x2

+

9x + 5

]dx

3

− 3x − 2

3

− 3x − 2

+1)

2

x

x

(x

(x − 2)

2x2 + 9x + 5

=

A

+

B

+

C

=

A(x +1)(x − 2) + B(x − 2)

+ C(x

+1)2

(x +1)2 (x − 2)

x − 2

(x +1)2 (x − 2)

x +1 (x +1)

2

A(x +1)(x − 2) + B(x − 2) + C(x +1)2

= 2x2 + 9x + 5 .

Полагаем

x = −1, получим B = 2/ 3.

Из равенства

x = 2

следует

C = 31/9. Приравнивая коэффициенты при x2 , получим

A + C = 2.

Или

A = −13/9.

Таким

образом,

∫

x3

− 2x2 −12x −

7

dx = ∫[1

+

13

−

2

−

31

]dx =

x

3

− 3x − 2

9(x +1)

3(x +

1)

2

9(x −

2)

= x +

13

ln

x +1

−

31

ln

x − 2

+

2

+ C

3(x +1)

9

9

′

13

31

2

13

31

2

1

Проверка: x +

ln

x +1

−

ln

x

− 2

+

+ C

= 1+

−

−

=

9

9

3(x +1)

9(x +1)

9(x − 2)

3

(x +1)

2

=

9x3 − 27x −18 +13x2

−13x − 26 − 31x2

− 62x − 31− 6x +12

=

9x3 −18x2

−108x − 63

=

9(x +1)2 (x − 2)

9(x +1)2 (x − 2)

x3 − 2x2 −12x − 7

. Ответ:

∫

x3

− 2x2 −12x − 7

dx = x +

13

ln

x

+1

−

31

ln

x − 2

+

2

+ C .

(x +1)

2

(x − 2)

x

3

− 3x

− 2

9

9

3(x

+1)

5.

∫

dx

. Вычисляем интеграл с помощью разложения на простые дроби.

x

3

−

8

∫

dx

= ∫

dx

.

1

=

A

+

Bx + C

=

x

3

− 8

(x

2

+ 2x + 4)(x −

2)

(x

2

+ 2x

+ 4)(x

−

2)

x

−

2

x

2

+ 2x +

4

=

A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x − 2)

A(x2

+ 2x

+ 4) + (Bx + C)(x − 2) = 1. Полагая x = 2 ,

(x2

+ 2x + 4)(x − 2)

получим A = 1/12 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + B = 0 B = −1/12 .

Приравняем коэффициенты при x : 2A − 2B + C = 0 C = −1/3. Следовательно,

∫

dx

= ∫

1

1

x + 4

1

1

∫

2(x +1) + 6

[

−

]dx

=

ln

x − 2

−

]dx =

x

3

− 8

12 x

2

+ 2x +

4

12

24

(x +1)

2

+ 3

12(x − 2)

=

1

ln

x − 2

−

1

ln(x2 + 2x

+ 4) −

1

arctg

x +1

+ C =

1

ln

(x − 2)2

−

1

arctg

x

+1

+ C

12

24

2 + 2x +

.

4 3

3

24 x

4 4 3

3

Проверка:

′

1

(x − 2)

2

1

x +1

1

2x + 2

1

1

ln

−

arctg

+ C

=

−

−

=

2

2

2

24

x

+ 2x

+ 4 4 3

3

12(x − 2)

24(x

+

2x + 4)

4

x

+ 2x + 4

=

x2

+ 2x + 4 − (x +1)(x − 2) − 3(x − 2)

=

1

=

1

.

12(x2

+ 2x + 4)(x − 2)

(x2 + 2x + 4)(x − 2)

x3 −

8

Ответ: ∫

dx

=

1

ln

(x

− 2)2

−

1

arctg

x +1

+ C .

3

−

2

x

8 24

x

+ 2x + 4 4 3

3

6.

∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

4

x(

x +1)

∫

dx

=

x = t4

, dx = 4t3dt

=

∫

4t3dt

=

4∫

t2dt

= 4∫

(t2 +1−1)dt

= 4t

− 4arctg t + C =

2

+

2

+1

2

+1

4

x = t

2

t(t

1)

t

t

x( x +1)

= 44

x − 4arctg 4 x + C .

Проверка: (44

+ C)′ = 4

3

3

− 4arctg 4

1

x−

− 4

1

1

x−

=

1+

x −1

=

1

x

x

4

4

.

1+

(1+ x)x3/ 4

(1+ x)4 x

4

x 4

Ответ: ∫

dx

= 44

x − 4arctg 4

x + C .

4

x(

x +1)

7.

∫

x2

− a2

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

x

x2

− a2

= t2 , xdx = tdt,

∫

x2

− a2

dx = ∫

x2

− a

2

xdx =

= ∫

t

tdt = ∫

t2 + a2 − a2

x

x

2

x

2

= t

2

+ a

2

t

2

+ a

2

t

2

+ a

2

1

t

x2

− a2

= t − a2

arctg

+ C =

x2

− a2 − a arctg

+ C .

a

a

a

Проверка:

′

x

2

− a

2

2x

a

2x

x2

− a2

− a

arctg

+ C

=

−

=

2

2

1+ (x

2

− a

2

2

2

2

a

2 x − a

/ a

2a x

− a

=

x

−

xa2

=

x2

− a2

=

x2

− a

2

.

x2 − a2

x2 x2 − a2

x x2 − a2

x

Ответ: ∫

x2

− a2

x2

− a2

dx =

x2

− a2

− a arctg

+ C .

x

a

∫

dx

8.

. Интегрируем с помощью замены переменной.

cos

4

3x

∫

dx

=

tg

3x = t, dt =

3dx

, cos2 3x =

1

=

1

∫

dt

=

1

∫(1

+ t

2 )dt

=

t

+

t3

cos

4

3x

cos

2

3x

1+ t

2

3

(1

+ t

2

)

−1

3

3

9

= tg 3x + tg3 3x + C .

39

tg 3x

tg

3 3x

′

3

1

3

1+ tg2 3x

1

Проверка:

+

+ C

=

+

3tg2 3x

=

=

.

2

2

2

4

3

9

3cos

3x

9

cos

3x

cos

x

cos

x

Ответ: ∫

dx

=

tg 3x

+

tg3 3x

+ C .

4

cos

x

3

9

9. ∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

4

− 3cos

2

x + 5sin

2

x

∫

dx

=

tg x = t,

dx =

dt

, sin2 x =

t2

, cos2 x =

1

=

4

− 3cos

2

x + 5sin

2

x

+ t

2

+ t

2

2

1

1

1+ t

dt =

+ C =

∫				dt					= ∫			dt		= ∫			dt		=	1	arctg 3t + C =	1	arctg(3tg x) + C
			1			t	2			4	+ 4t	2	2		1		+ 9t	2
[4 − 3				+ 5				](1+ t2 )				− 3+ 5t							3		3
			+ t2			+ t2
1				1

.

1

Проверка: arctg(3tg x)3

=	1
	1+ 3(1− cos2 x) + 5sin2 x

	′	=	1			3		=	1		=		1			=
+ C
						+ 9tg2 x)cos2 x			cos2 x + 9sin	2 x			+ 8sin	2
			3	(1							1				x
=				1			.
	4 − 3cos2 x + 5sin2 x

Ответ: ∫				dx				=	1	arctg(3tg x) + C .
	4	− 3cos	2	x	+ 5sin	2	x		3

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

x5

a

x5

1

a

d(x

6 +1)

1

a

10. ∫

dx = lim

∫

dx =

lim

∫

=

limln(x6

+1)

= ∞ . Интеграл

6

+1

6

+1

6

+1

1

x

a→∞

1

x

6 a→∞

1

x

6 a→∞

1

∞

x

5

расходится.

Ответ: ∫

dx . Интеграл расходится.

x

6

+1

1

1

xdx

1−α

xdx

1−α

11.

∫

= lim

∫

= −lim 1− x2

1− x

2

α →0

1− x

2

α →0

1/ 2

1/ 2

1/ 2

= 3 . Интеграл сходится. 2

1
			xdx						3
Ответ: ∫					=						. Интеграл сходится.
1/ 2		1− x2					2
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y = 2x2			− 5x +1 = f							1		(x)	. Найдём точки пересечения линий:
12.
y = 5x −11 = f2 (x)
2x2 − 5x +1 = 5x −11 x2 − 5x + 6 = 0 x = 2, x																							= 3.
Тогда																			1			2		4
x2												3												2.5
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[5x −11− (2x2																			− 5x +1)]dx =					1
x1												2							3
3													− 2x				3							0.5
= ∫[10x − 2x		2 −12]dx = [5x2																−12x]	=
2													3						2							2
						16									`1					1				2			2.25								2.5								2.75														3
= 45 −18 − 36 − 20 +									+ 24 =							. Ответ: S =					.
							3						3						3

13.x = 6cost, y = 3, (y ≥ 3) . Это эллипс. Найдём точки пересечения линий:y = 2sin t

2sin t

=

3 sint

=

3

t1

=

2π

, t2

=

π

.

2

2

3

3

t2

π / 3

S = ∫[y2 (t) − y1 (t)]dx(t) = − ∫[2sin t −

3]6sintdt =

1.5

t1

2π / 3

π / 3

π / 3

π / 3

= −12

∫sin2 tdt + 6

3

∫sintdt = −6

∫(1− cos2t)dt +

2π / 3

2π / 3

2π / 3

1

0

4

4

			π / 3	1					π2π/ 3/ 3 =
	+ 6	3	∫sintdt = −6[t −		sin 2t +	3cost]
				2
			2π / 3

= 6[π + 3 − 3] = 2π − 33 . Ответ: S = 2π − 33 .

32

ρ = 3ϕ
14. Вычислите длину дуги кривой (L):	≤ ϕ	(спираль Архимеда).
0		≤ 4/3

= u, du =

ϕdϕ

ϕ2

4 / 3

4 / 3

ϕ 2 +1

L = ∫ ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫ 9ϕ 2 + 9dϕ = 3 ∫ ϕ 2 +1dϕ =

ϕ 2 +1

=

ϕ1

0

0

dϕ = dv, v

= ϕ

4 / 3

4 / 3

ϕ

2

20

4 / 3

ϕ

2

+1

−1

20

4 / 3

4 / 3

dϕ

= 3ϕ ϕ 2 +1

− 3

∫

dϕ =

− 3

∫

dϕ =

− 3

∫ ϕ 2 +1dϕ + 3 ∫

=

0

ϕ

2

+1

3

ϕ

2

+1

3

ϕ

2

+1

0

0

0

0

20

4 / 3

=

20

− L + 3ln3. Получили равенство L =

20

− L + 3ln3.

=

− L + 3ln

ϕ +

ϕ 2 +1

3

0

3

3

Отсюда находим: L =

10

+

3

ln3. Ответ: L =

10

+

3

ln3.

3

2

3

2

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

y2	= x e−2x вокруг оси OX.														1
		x2		∞			x = u, dx = du,
V = π ∫ y2dx = π ∫xe−2xdx =								−2x	dx = dv, v = −			1		−2x =	0
		x1		0		e							e
												2
		1	∞		1	∞				1	∞		π
= π[−		2	xe−2x 0	+	2	∫e−2xdx] = π[0 −				4	e−2x 0 ] =		.		1
						0							4		0	2	4

Ответ: V = π .

4

y = cos x,

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

вокруг

− π / 2 ≤ x ≤ π / 2

оси OX.

x2

π / 2

sin x = t,

1

1

P = 2π ∫ y

1+ y′2 dx = 2π

∫cos x 1+ sin2

xdx =

= 2π ∫

1+ t2 dt = 2π ∫

1+ t2 dt .

x1

−π / 2

cos xdx = dt

−1

−1

1 dt + ∫ t t

+ ∫ t t

J = ∫ 1+ t2 dt = ∫ 1+ t2 dt = ∫

dt = lnt + 1+ t2

1

dt =

1

1

1

1

1

−1

−1 1+ t2

−1 1+ t2

−1 1+ t2

−1

−1 1+ t2

t = u, dt = du,

1

1−1 − ∫

=

tdt

= ln(

2 +1) − ln( 2 −1) + [t 1+ t2

1+ t2 dt] =

= dv, v =

1+ t2

1+ t2

−1

+1

+1

2

) + 2

− J J =

1

[ln(

2

) + 2

1

[ln(

+1)2

= ln(

2

2] =

2

+ 2

2] = 2 + ln(

2 +1) .

2 −1

2

2 −1

2

Следовательно, P = 2πJ = 2π[

2 + ln(

2 +1)]. Ответ: P = 2π[

2 + ln( 2 +1)].

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

dx

. По справочнику находим:

sin ax ± cosax

dx

=

1

ax

± π

+ C .

lntg

∫sin ax ± cosax

a

2

2

8

Ответ: ∫

dx

=

1

ax

± π

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

lntg

sin ax

± cosax

a

2

2

8

математические формулы.)

∞

∞

π / 2,

a

< 1,

sin x cos x

sin x cosax

dx = π / 4,

18. ∫

dx . По справочнику находим:

∫

a

= 1, . В

0

x

0

x

0,

a

> 1

∞ sin x cos x

∞ sin x cos x

π

π

данном случае a = 1 ∫

dx =

. Ответ:

∫

dx =

.

x

x

0

4

0

4

19.Найдите силу давления воды на прямой круговой конус с радиусом основания R

ивысотой H, погружённый в воду вертикально вниз так, что его основание находится на поверхности воды.

	Уравнение образующей конуса y = H x , при условии,
		R	R
	что начало координат располжено в точке вершины конуса.
	Тогда на уровне y элементарный слой будет иметь боковую
	поверхность, равную		x
	dS = 2πx 1+ x′2 dy = 2πR y
		1+ R2 / H 2 dy . Давление на эту	H
	H
	элементарную поверхность будет равно		y
	dP = 2πR y 1+ R2 / H 2 (H − y)dy . Следовательно,		x

H

H

2

2 H

P = ∫

2πR

y

1+ R2 / H 2

(H − y)dy =

2πR H + R

∫(Hy −y2 )dy =

2

0

H

H

0

y3

H

2Rπ H 2 + R2

Hy2

πRH H 2 + R2

πRH H 2

+ R2

=

[

−

]

=

.

Ответ:

.

H 2

2

3

0

3

3

20. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вычислите работу,

необходимую для извлечения балки из воды, если известны её размеры «a, b, c».

Удельный вес γ

б

= 0.8 г/см3.

Полный вес балки равен P = γ б abc. Этот вес уравновешивается выталкивающей силой за счёт погружённой в воду части балки. Пусть глубина погружения равна h0. Тогда

γ

abc = γ

abh

h

=

γ б c

= γ

c (γ

= 1) . При поднятии балки на высоу x, появляется вес

б

в

0

б

в

0

γ в

балки, который не скомпенсирован силой выталкивания:

P(x) = γ б abc − (h0

− x)abγ в

= abx . Элементарная работа по поднятию балки на высоту dx

составит величину dA = abxdx. Интегрируя, находим:

h0

abx

2

h0

abh2

abγ

2

с2

abγ

2с2

A = ∫abxdx =

=

0

=

б

. Ответ: A =

б

.

2

2

2γ

2

2γ

2

0

0

в

в