ALGEBRA

Министерство образования Российской Федерации Новосибирский государственный технический университет

К.Н.Пономарев

Высшая алгебра: первые шаги

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

для студентов первого курса

Новосибирск

1999

Пономарев К.Н.Высшая алгебра: первые шаги/ Учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999. - с.

Учебное пособие соответствует программе курса высшей алгебры факультета прикладной математики и факультета автоматики и вычислительной техники Новосибирского государственного технического университета. Оно может быть использовано для изучения основ высшей алгебры в различных высших учебных заведениях.

Рецензенты: А.Г.Пинус, д-р физ.-мат. наук А.А.Шалагинов, канд.физ.-мат.наук

Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики

°c Новосибирский

государственный

технический университет, 1999г.

Оглавление

Предисловие		4
Введение.		5
Глава 1. Кольца вычетов.		6
1.	Арифметика целых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2.	Системы вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3.	Кольцо вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10

Глава 2. Многочлены.	13
1. Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13

2.Теория делимости многочленов . . . . . . . . . . . . . . . .

3.Факториальность кольца многочленов . . . . . . . . . . . . 20

4.Поле рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.Симметрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015

Глава 3. Поля чисел.		33
1.	Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
2.	Корни производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
3.	Поле вещественных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
Список литературы.		46

3

Предисловие

Кафедра алгебры и математической логики Новосибирского техни- ческого университета появилась после того, как электротехническому институту был присвоен статус технического университета. Появление кафедры было вызвано необходимостью специализации и углубления в изучении студентами ряда общематематических дисциплин. А основы изучения всех математических дисциплин закладываются в курсах высшей алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Распад Советского Союза и последовательное углубление кризиса российского общества привело к прекращению в России централизованной учебно - издательской деятельности. В итоге к концу девяностых университет столкнулся с крайним истощением библиотечного фонда и отсутствием в книготорговле учебных материалов по высшей алгебре и высшей математике в целом, да и вообще книг для высшей школы.

Все эти причины побудили кафедру алгебры осуществить издание ряда учебников по основным разделам высшей алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии, которые даны в конце настоящего учебного пособия. Предлагаемое издание очередной шаг осуществляемого кафедрой проекта по изданию серии книг, которые вполне обеспечивают весь учебный цикл высшей и линейной алгебры технического университета.

Автор

4

Введение

Предлагаемое учебное пособие состоит из трех частей. Первая посвящена целым числа, вторая многочленам, а третья полям комплексных и вещественных чисел. Иными словами эта книга подготовительная для изучения всего курса линейной алгебры, аналитической геометрии и в целом высшей математики в любом высшем учебном заведении. Цель ее подробно ознакомить студента с самыми важными математическими объектами, на основе которых строятся математические конструкции используемые в приложениях.

Первая половина уходящего столетия в развитии математики связана с закреплением аксиоматического метода в определении основных математических понятий. В настоящей работе автор не навязывает этот трудный для неподготовленного читателя подход. К тому же во второй половине столетия ярко выявились его недостатки.

Однако влияние такого подхода на математику в целом трудно переоценить. Здесь только приводятся аксиомы кольца и поля основных понятий при изучении матричного исчисления и в линейной алгебре. Автор не углубляется в изучение этих аксиом, а только указывает на них мимоходом.

В целом книга путеводитель по старой (XVII века) и уютной стране, созданной математиками в далекие времена.

5

Глава 1. Кольца вычетов

1. Арифметика целых чисел

Обратимся к арифметике, к целым числам.

В математике принято множество целых чисел обозначать символом Z "жирная"буква Z. На этом множестве определены известные из сред-

ней школы операции сложения (+) и умножения (¢) целых. Целое число s называется делителем целого n, åñëè n = s ¢ t для некоторого целого t. Ñàìî n называется кратным s, а делимость n íà s обозначается sjn (говорят s делит n). Если же делимости нет, то записывают s 6nj.

Целые n; m называются ассоциированными, если одновременно выполнено njm è mjn. Такие целые могут отличатся только знаком либо n = m, ëèáî n = ¡m.

Åñëè p целое, то его делители +1; ¡1; +p; ¡p называются несобствен-

ными делителями. Остальные делители собственные . Целое число простое, если оно имеет только несобственные делители.

Основная теорема арифметики

Каждое положительное целое число n =6 1 может быть записано в виде произведения простых целых чисел n = p1:::ps. При этом такое

представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Отметим, что из этой теоремы следует представление любого целого числа n в виде произведения степеней различных простых целых:

n = ² ¢ pr11 :::prkk , в котором ² = +1,èëè ¡1.

Рассмотрим два целых числа n; m. Если допускать в степенях про-

стых нулевые показатели, то можно представить такие числа в виде произведения степеней одних и тех же простых целых чисел

n = ²pr11 :::prkk ; m = ±ps11 :::pskk :

6

Делимость njm означает, что в таком представлении для любого простого

pi имеется неравенство его степеней: ri · si; i = 1; ::; k.

Положительное целое d называется наибольшим общим делителем (НОД) чисел n è m, åñëè d является делителем этих чисел, а любой другой общий делитель d0 этих чисел служит делителем и числа d:

djn; djm и если одновременно d0jn; d0m, òî d0jd. Обозначение (n; m) = d.

Из замечания указанного выше легко следует, что еслиn = ²pr11 :::prkk ;

m = ±ps11 :::pskk , òî (n; m) = pl11 :::plkk , ãäå li = min(ri; si); i = 1; :::; k.

Подобным образом определяется понятиенаименьшего общего кратного (НОК). Принято обозначать НОК целых чисел n; m через [n; m].

Имеет место формула для вычисления: [n; m] = pt11 :::ptkk в которой ti = max(ri; si). Из этих формул легко следует, что НОД и НОК связаны со-

отношением (n; m) ¢ [n; m] = = n ¢ m для положительных целых чисел n è m. Целые числа n; m называются взаимно простыми, если их НОД равен единице, (n; m) = 1.

Алгоритм деления с остатком.

Для любых двух целых n; m 2 Z; m > 0 найдутся целые q; r, для которых n = mq + r, причем 0 · r < m.

Действительно, рассмотрим множество

S = fn ¡ mqjq 2 Z; n ¡ mq ¸ 0g. Оно очевидно непустое, пусть r его наименьший элемент, r = n ¡ mq ¸ 0. В силу минимальности 0 · r < m. Тогда n = mq + r.

Число q называют неполным частным , а r остатком от деления числа n на число m. Приведенное рассуждение объясняет как произво-

дить деление с остатком "уголком".

Деление с остатком позволяет определять НОД целых чисел и другим способом.

Теорема о диофантовом уравнении

Наибольший общий делитель ненулевых целых чисел n è m есть наименьшее положительное целое, которое представляется в видеnl+ mt для некоторых целых чисел l è t.

В частности, целые числа n è m взаимно просты тогда и только тогда, когда для некоторых целых n è m имеем соотношение 1 = nl +

mt.

Действительно, пусть d = nl+mt наименьшее положительное целое представимое в таком виде. Поделим n íà d с остатком, n = dq + r;

7

0 · r < d. Тогда r = n ¡ dq = n ¡ (nl + mt)q = n(1 ¡ l) + m(¡t) < d. Â

силу минимальности d должно быть r = 0 è djn. Аналогично djm. Таким образом d общий делитель n è m. Проверим, что он наибольший.

Действительно, если d0 общий делитель n è m, то из соотношения d = nl + mt сразу следует, что d0 делит d. Теорема доказана.

Такое определение НОД приводит к самому эффективному способу вычисления наибольщего общего делителя целых чисел -алгоритму Евклида. Следует использовать доказательство и уменьшать число вида d = nl + mt при помощи алгорита деления до тех пор, пока это еще воз-

можно. Подробнее все это приводит к следующей процедуре, открытой в III в.до н.э..

Алгоритм Евклида.

Пусть n è m два целых числа, причем m ¸ 0. Строим после-

довательность целых чисел rs; s 2 N по следующему рекуррентному правилу: полагаем вначале r1 = n; r2 = m.

Для того, чтобы построить член ряда rs+1 после построения двух предыдущих членов rs¡1; rs делим rs¡1 íà rs с остатком и этот остаток

полагаем следующим членом последовательности: rs¡1 = rs ¢ q + rs+1.

По определению деления с остатком члены такой последовательности начиная со второго образуют строго убывающую последовательность неотрицательных целых чисел. Поэтому на некотором шаге получается нулевой член rt+1. Последний ненулевой член rt такой после-

довательности и будет наибольшим общим делителем чисел n è m,

(n; m) = rt.

2.Системы вычетов

Âтечение раздела зафиксируем некоторое положительное целое число m, будем называть его модулем. Нас будут интересовать остатки це-

лых чисел от деления на модуль.

Целые числа a; b называются сравнимыми по модулю m если они имеют одинаковые остатки при делении на m. Записывать это отношение между целыми числами будем a ´ b(mod m) или просто a ´ b(m).

Легко проверить, что сравнимость целых чисел a è b эквивалентна

представлению a = b+mt; t 2 Z, а также делимости разности a¡b íà m. Пользуясь этим замечанием нетрудно установить свойства сравнений:

8

1)два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собой;

2)сравнения можно почленно складывать, поэтому

2a) слагаемое из одной части сравнения можно переносить в другую с переменой знака;

2b) к каждой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модулю;

3) сравнения можно почленно перемножать, поэтому

3a) обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень; 3b) обе части сравнения можно умножить на одно и то же число;

4)обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если этот делитель взаимно прост с модулем.

Классом чисел по модулю m называют все целые числа попарно срав-

нимые друг с другом. Каждый класс чисел образуется всеми числами имеющими один и тот же остаток от деления на m. Так что множество

целых чисел Z разбивается на непересекающиеся классы сравнимых чи-

ñåë.Поскольку остаток от деления на m принимает m различных значе- ний 0; 1; :::; m ¡ 1, то всего имеется ровно m различных таких классов.

Совокупность классов чисел по модулю m обозначают Zm. Пример. Классы чисел по модулю 3:

0 = f:::; ¡3; 0; +3; +6; :::g;

1 = f:::; ¡5; ¡2; 1; 4; 7; :::g;

2 = f:::; ¡4; ¡1; 2; 5; 8; :::g:

Вычетом по модулю m числа a называют любое число из класса чи- сел содержащего число a. Если взять от каждого класса по одному вы- чету, то получается полная система вычетов по модулю m .

Поскольку всего имеется m различных классов чисел по модулю m,

то любые m чисел попарно несравнимых по модулю m образуют полную систему вычетов. Отсюда нетрудно вывести такое утверждение:

9

Теорема о полной системе вычетов

Пусть a è m взаимно простые целые числа, (a; m) = 1, а целое b произвольно. Тогда если целое число x пробегает полную систему выче- тов по модулю m, òî è ax + b пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Действительно, в силу замечания выше достаточно показать несравнимость выражений ax1 + b è ax2 + b при несравнимых числах x1; x2. Íî

если бы эти выражения были сравнимые по модулюm, òî ax1 ´ ax2(m), ÷òî â ñèëó (a; m) = 1 по свойству (4) противоречит несравнимости x1 6´ x2. Теорема доказана.

3. Кольцо вычетов

Целые числа и классы вычетов служат примерами понятия кольца. Коммутативным кольцом называется множествоR на котором опре-

делены две двуместные операции сложения(+) и умножения (¢) которые

подчиняются аксиомам коммутативного кольца (a; b; c - произвольные элементы кольца) :

²Сложение ассоциативно (a + b) + c = a + (b + c).

²Сложение коммутативно a + b = b + a.

²Существует нулевой элемент 0 2 R для которого a + 0 = 0 + a.

²Для любого элемента a 2 R имеется противоположный элемент

¡a 2 R со свойством (¡a) + a = a + (¡a) = 0.

²Умножение ассоциативно (ab)c = a(bc).

²Умножение коммутативно ab = ba.

²Имеется единица кольца 1 2 R для которой при любом a 2 R имеем

1 ¢ a = a.

²Дистрибутивность a ¢ (b + c) = a ¢ b + a ¢ c.

10