Лекции SPPMI

Новосибирский государственный технический университет

Конспект лекций по курсу "Современные проблемы прикладной математики и информатики"

Новосибирск

2011

1

Составители: д.т.н., проф. М.Г. Персова, д.т.н., проф. Ю.Г. Соловейчик

Работа подготовлена на кафедре прикладной математики

2

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	Математические модели для описания тепловых и электромагнитных
	полей, модели для описания течения жидкости и газа ..........................................	4
1.1. Математические модели для описания электромагнитных полей ...................		4
1.2. Математические модели для описания тепловых полей, течения
	жидкости и газа....................................................................................................	26
1.3. Адекватность моделей. Верификация моделей и принципы
	тестирования ........................................................................................................	29
2.	Прямые и обратные задачи математической физики ...........................................	38
3.	Численные методы решения сложных прямых задач математической
	физики........................................................................................................................	42
4.	Методы решения обратных задач математической физики ................................	53

3

1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕПЛОВЫХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

1.1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Фундаментальной математической моделью, используемой для моделирования практически всех макроскопических электромагнитных явлений, является система уравнений Максвелла, устанавливающая связь между компонентами электрического и магнитного полей, параметрами среды (электропроводностью, магнитной и диэлектрической проницаемостью) и сторонними источниками электромагнитного поля в форме системы векторных дифференциальных уравнений:

ст

E

rot H J

E

,

(1)

t

B

rot E

,

(2)

t

0 ,

div B

(3)

div E ,

(4)

где H – напряжѐнность магнитного поля,

Jст

– вектор плотностей сторонних то-

ков (возбуждающих электромагнитное поле),

E – напряжѐнность электрического

поля,

– проводимость среды, – диэлектрическая проницаемость среды, B –

индукция

магнитного

поля

(связанная

с напряжѐнностью H соотношением

– коэффициент магнитной проницаемости).

B H ,

Как правило, при численном моделировании электромагнитных полей дискретные аналоги не строятся напрямую для системы уравнений (1)–(4). Численные аппроксимации строятся для несколько иных дифференциальных уравнений, полученных в результате преобразований этой системы с учѐтом характера исследуемого электромагнитного поля. Чаще всего такие преобразования проводятся

4

путѐм введения новых искомых функций, называемых потенциалами. Ниже мы рассмотрим именно такие математические модели электромагнитных процессов.

1.1.1. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Под задачами электростатики мы будем понимать задачи, в которых требу-

ется найти распределение напряжѐнности электрического поля E в непроводящей среде при условии неизменности во времени электромагнитного поля (хотя иногда задачами электростатики называют любые задачи моделирования неизменного во времени электрического поля, в том числе и в проводящей среде).

Очевидно, что при неизменности электромагнитного поля во времени в среде с нулевой проводимостью напряжѐнность электрического поля можно искать не-

зависимо от магнитного поля.

Действительно, при 0 и E t 0 только два уравнения (2) и (4) из

системы (1)–(4) включают в себя неизвестную вектор-функцию E , причѐм с учѐтом того, что B t 0 , уравнение (2) принимает вид

rot E 0. (5)

В этом случае вектор-функцию E , удовлетворяющую уравнениям (4) и (5),

удобно искать в виде градиента некоторой скалярной функции V , называемой

электрическим потенциалом, причѐм обычно знак E считается противоположным знаку градиента V :

E gradV .	(6)

При таком представлении E уравнение (5) выполняется автоматически (поскольку rot gradV 0 для любой функции V ), и поэтому математическая мо-

дель электростатического поля включает в себя единственное уравнение

div gradV ,

(7)

получаемое из (4) с учѐтом (6).

Таким образом, электрическое поле в задаче электростатики описывается эллиптическим уравнением с коэффициентом диффузии , являющимся диэлектри-

ческой проницаемостью среды, и правой частью , являющейся функцией распределения зарядов в пространстве.

Обратим внимание на следующую особенность большинства задач электростатики. Несмотря на то, что источниками поля в этих задачах являются электри-

5

ческие заряды, чаще всего в них потенциал V требуется найти именно в той области, где 0. Как правило, в такого рода задачах плотность зарядов в расчѐтной области задаѐтся равной нулю и поле описывается однородным уравнением:

div gradV 0 .

(8)

В этом случае в качестве исходных данных для моделирования электрического поля используют значения потенциала V на тех границах области, которые являются границами некоторых проводящих тел (т.e. проводников, которые обычно называют электродами). Эти значения потенциалов на электродах задаются на границах расчѐтной области как правые части краевого условия первого рода.

1.1.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ

Электромагнитные процессы такого типа характеризуются наличием стационарного (постоянного) тока в проводящих телах. Исходными данными для моделирования такого процесса могут быть как заданные на отдельных частях границы расчѐтной области значения электрического потенциала, так и плотности втекающих (или вытекающих) с некоторых частей границ расчѐтной области токов. Математическая модель такого рода процессов получается из системы уравнений Максвелла следующим образом.

Как и в рассмотренных в предыдущем разделе задачах электростатики, на-

пряжѐнность электрического поля E представляется в виде (6), что обеспечивает (как и в задачах электростатики) автоматическое выполнение уравнения (2) (имеющее и в этих задачах вид (5) ). Однако в отличие от задач нахождения элек-

трического поля в непроводящих средах уравнение (1) не может быть исключено

из рассмотрения, поскольку теперь 0 и правая часть (1) содержит E . Поэтому основное уравнение для моделирования таких процессов получается как след-

ствие из этого уравнения системы Максвелла.
Воздействуем оператором div		на левую и правую части уравнения (1). Учи-
тывая, что для	любой вектор-функции W		справедливо тождество
div rot W 0, получим
div Jст E 0 .			(9)
		6

Заметим, что в рассматриваемых задачах под ст понимаются только токи вне

J

расчѐтной области (которые в задаче могут быть учтены как краевые условия) и поэтому внутри расчѐтной области

	ст	0,	(10)
J
и тогда из уравнения (9) с учѐтом (6) получаем:
div gradV 0.			(11)

Осталось проанализировать ситуацию с уравнением (4) системы уравнений

Максвелла. Это уравнение связывает напряжѐнность электрического поля E с распределением зарядов . Однако в проводящих телах распределение зарядов, как правило, априорно неизвестно, поскольку заряды в них могут перераспределяться под воздействием электрического поля. Поэтому в областях с 0 именно является неизвестной функцией, которая может быть получена по известно-

му распределению E (или V ) как div E (или div gradV ).

В результате математической моделью рассматриваемого электромагнитного процесса является однородное уравнение эллиптического типа (11) (в котором коэффициент диффузии – это проводимость среды) с краевыми условиями первого и второго рода. Краевые условия первого рода задаются на тех границах расчѐтной области, где известны значения потенциала V , а вторые краевые условия – на тех границах, где известна плотность стекающего стороннего тока. Заметим, что ток не может перетекать из проводника в изолятор и поэтому на границе между проводником и изолятором плотность стекающего в проводник тока задаѐтся нулевой (и изолятор не включается в расчѐтную область).

1.1.3. ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ Задачами магнитостатики называют задачи моделирования магнитного по-

ля, создаваемого стационарным (постоянным) электрическим током с известной

плотностью распределения J . Очевидно, что такие поля описываются системой из двух уравнений полной системы Максвелла:

rot H J ,		(12)
div B 0 .		(13)

Для численного анализа стационарных магнитных полей в зависимости от их особенностей используются различные виды математических моделей, к которым может быть преобразована система (12)–(13). Мы рассмотрим наиболее часто ис-

7

пользуемые модели, получаемые с применением либо векторного потенциала, либо скалярного магнитного потенциала.

1.1.3.1.ОПИСАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛА

Представим B			в виде ротора некоторой вектор-функции A , называемой век-
тор-потенциалом: B rot A .
При таком представлении поля B уравнение (13) превращается в тождество
div rot A 0, и вектор-потенциал A может быть найден из уравнения (12), в
	1			1
котором H		B			rot A , т.е.		A должен удовлетворять уравнению:
			1
						J .	(14)
	rot			rot A

Наиболее просто вычислить потенциал A в случае, когда const , т.е. среда однородна по магнитной проницаемости (для определѐнности будем счи-

тать, что 0 , где	0	– магнитная проницаемость вакуума). В этом случае
уравнению
rot rot A 0J			(15)

удовлетворяет вектор-функция A , компоненты которой являются решениями
трѐх независимых дифференциальных уравнений:
Ax 0Jx ,	Ay 0Jy ,	Az	0Jz ,	(16)
где оператор Лапласа для любой достаточно гладкой скалярной функции F
определяется соотношением
F div gradF .				(17)
Покажем,	что вектор-потенциал A ,		удовлетворяющий системе (16), является

и решением векторного уравнения (15).
Поскольку div J 0 (что является следствием уравнения (12)), то из уравнений
(16) их дифференцированием и сложением получим
				div grad Ay
		div grad Ax				div grad Az
	x		y		z
				8

div 0J .		(18)
Меняя порядок дифференцирования в слагаемых левой части уравнения (18)
(можно показать, что гладкость решений Ax , Ay и Az		уравнений (16) является для
этого достаточной) и учитывая, что div 0J	0 div J 0 , получаем
div grad div A 0 .		(19)
Таким образом, для функции w div A справедливо уравнение Лапласа
w 0 ,		(20)

и, с учѐтом условия div A 0	при стремлении координат к бесконечности (или
при выполнении условия w div A 0 на всех внешних границах расчѐтной

области), единственным решением уравнения (20) является тривиальная функция

w 0.

Таким образом, вектор-функция

A , являющаяся решением системы (16) (для

правой части 0J которой справедливо div 0J 0 ), удовлетворяет условию

div A 0 .

(21)

Воспользуемся тождеством

rot rot A div grad A grad div A ,

(22)

в котором выражение div grad A

означает вектор-функцию с компонентами

Ax , Ay

и Az .

Тогда из справедливости для A

уравнений (16) и с учѐтом того, что в этом

случае для него справедливо условие (21), получим, что вектор-потенциал A

удовлетворяет и векторному уравнению (15), что и требовалось доказать.

Известно, что решением уравнения Пуассона

v f

(23)

в бесконечном пространстве (если

v r 0 при r , где

r x,y,z и

r

r

x2 y2 z2 ) является функция

9

v x,y,z	1					f x ',y',z '					dx 'dy'dz ' .	(24)
	4
				'	2	'	2	'	2
				x x		y y		z z

Поэтому компоненты вектор-потенциала A , удовлетворяющего системе (16)

(а значит и векторному уравнению (15) и условию (21)), могут быть вычислены

как соответствующие интегралы от компонент вектора плотности тока J . В векторном виде эта формула может быть записана следующим образом:

	0			J r'		'
A r						dr	.	(25)
	4			r r'

Из формулы (25) соответствующим дифференцированием легко получить известный закон Био-Савара, описывающий магнитное поле токов в вакууме:

c

0

J r' r r'

'

B

r rot A r

dr

.

(26)

4

r r

'

3

Таким образом, в однородном по магнитной проницаемости пространстве не

только компоненты вектора-потенциала, но и компоненты индукции магнитного

поля B могут быть вычислены довольно просто в виде соответствующих инте-

гралов от J .

Вектор-потенциал A довольно часто используется для решения двумерных задач магнитостатики в неоднородных по магнитной проницаемости средах. Двумерными называют задачи, в которых решение зависит только от двух пространственных координат (заметим, что если в цилиндрических координатахr, ,z решение задачи не зависит от угловой координаты , то такую задачу

часто называют осесимметричной). В этом случае векторное уравнение (14) чаще

всего оказывается эквивалентным одному скалярному уравнению для одной из

компонент вектор-потенциала A . Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случаях двумерных задач магнитостатики.

В первом случае предполагается, что в декартовых координатах вектор плотности токов имеет только одну ненулевую компоненту Jz , зависящую только от координат x и y , и при этом магнитная проницаемость зависит также только от координат x и y . В этом случае магнитное поле может быть полностью опре-

10