diff_ur_stud

1

Вариант № 1.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.

¡3y

x + y +¢

1

¡ ¡

¢

;

y(1) = 1

3

+ 6x2y

dx

3x3 + 2xy2

dy = 0

2.

y0 =

, (подстановка x = x1 ¡ 1, y = y1)

x

¡

y + 1

3.

xy0 + y = ln x; y(1) = 0

4.

y0 ¡ 2y tg x + y2 (sin x + 1) = 0; y(0) = 1

5.

(2x + 3 cos(3x + y)) dx + cos(3x + y) dy = 0

6.

x(y00

+ 1) + y0 = 0; y(1) = y0(1) = 0

7.

2(y0)2 = y00(y ¡ 1); y(0) = 2;

y0(0) = 1

8.

y00 + 2y0

+ 2y =

1

ex sin x

9.y00 ¡ 4y0 + 4y = 8x2; y(0) = 2; y0(0) = ¡1

10.y000 ¡ 3y00 = (18x + 3) e3x

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00				+ 4y = ¡8 sin 2x + 32 cos 2x + 4e2x
12.	A =		1	6		X	0	=	¡2	¶
	µ ¡3			¡5 ¶,				µ	¡1
	A = Ã	1	2	3	!, X0 =				Ã	0	!
13.		0	1	¡2						3
		0	2	¡2					¡1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: произведение углового коэффициента касательной в любой точке и координат точки касания равно единице.

15.На плоскости Oxy выделить область, в которой через каждую точку

проходит единственное решение дифференциального уравнения y0 = 2 + p y ¡ 3x.

2

Вариант № 2.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.y0 ¡ 6 ¢ y = y2 + 6; y(2) = ¡8 x x2

	2. y0 =	x + y ¡ 1	, (подстановка x + y = z)
		2x + 2y + 3

3.y0 ¡ y tg x = sin x; y(0) = 12

4.y0 + xy ¡ x3y3 = 0; y(0) = 1

5.¡y2 + 1 + yexy¢dx + (2xy + xexy) dy = 0

6.y ¢ y00 + (y0)2 = 1; y(p2) = 1; y0(p2) = p2

7.y00 + 2y0 = ex ¢ (y0)2; y(0) = y0(0) = 1

8. y00	¡ 2y0	+ 2y =	ex
			cos3 x

9.y00 + 3y0 = 18x2 + 12x ¡ 3; y(0) = y0(0) = 2

10.y000 ¡ 3y00 + 4y = (18x ¡ 21) e¡x

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00					+ 9y = ¡18 sin 3x ¡ 18e3x
12.	A =	µ	¡1		1	¶,	X	0	=	1
	A =		¡5		1				µ	3 ¶		!
13.		Ã	1	0		¡1	!;		X0 = Ã		0
			1	0		1					2
			1	3		2					2

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2) и обладающей следующим свойством: равны угловые коэффициенты касательной в любой точке и радиус-вектора точки касания.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y0 = x2 + y2 пересекаться в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Ответ объяснить, используя теорему существования и единственности решения задачи Коши.

3

Вариант № 3.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. ¡x2 + xy ¡ y2¢dx + ¡2xy ¡ x2¢dy = 0; y(1) = 0

	y0	= 2x ¡ 3y + 5					z = 2x		3y
2.			6y ¡ 4x ¡ 1		, (подстановка			¡			)
3.	(x2 + 1)y0 + xy = 3(x3 + x); y(0) = 0
4.	y0	¡ y ctg x = y2; y(2p ) = 1
5.	µcos2(x ¡ 2y) + y¶dx + µx ¡ cos2(x ¡ 2y)¶dy = 0
		1					2

6.cos y ¢ y00 ¡ (y0)2 sin y = y0 cos y; y(0) = 0; y0(0) = 1

7.y00 ¢ (y0)2 = x2; y(1) = 1; y0(1) = 1

e¡2x

8. y00 + 4y0 + 5y = cos x

9. y00 + 3y0 = 3xe¡3x; y(0) = 1; y0(0) = 2=3

10.	y000 ¡ 5y00 + 8y0			¡ 4y = (2x ¡ 5) ex
11.	Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00			¡ 2y0 + 2y = ex + x cos x
12.	A =	¡1	2	¶,	X	0	=	1	¶
	A =	µ ¡2	¡1				µ	¡2		!
13.		Ã ¡2	¡1	0	!,		X0 = Ã		0
		1	2	0					2
		1	1	2					¡1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 0) и обладающей следующим свойством: разность углового коэффициента касательной в любой точке и ординаты точки касания равна квадрату абсциссы этой точки.

15.При каких неотрицательных значениях параметра a и в каких точ-

ках плоскости нарушается единственность решений дифференциального уравнения y0 = x2ya ?

4

Вариант № 4.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. xy0 ¡ y = 2px2 + y2; y(1) = 0

y0 = x ¡ 2y + 5

z = x

2y

2.

3

¡

x + 2y

, (подстановка

¡

)

3.

xy0

+ y = x sin x; y(p) = 1

4.

xy0

¡ y + y2(ln x + 2) ln x = 0; y(1) = 1

5.

µ

1

+ 3x2y¶dx + µx3

¡

1

¶dy = 0

x

y

x

y

¡

¡

6.y3y00 = ¡1; y(1) = y0(1) = 1

7.y00 cos x + y0 sin x = cos2 x; y(0) = y0(0) = 1

8. y00	¡ 6y0	+ 13y =	e3x
			sin3 2x

9.y00 ¡ 5y0 = 15x2 + 4x ¡ 7; y(0) = y0(0) = 1

10.y000 ¡ 4y00 + 4y0 = (x ¡ 1) ex

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + y = 2 sin x + 2ex
12.	A = µ	¡1	0	¶, X0 = µ		¡1	¶
	A = Ã	0	4		!, X0	4		!
13.		0	¡1	¡4		= Ã ¡3
		1	1	¡3			3
		0	¡1	¡2			2

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; ¡1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен отношению суммы абсциссы и ординаты точки касания к разности этих величин.

15.Сколько существует решений дифференциального уравнения

y000 = x2 + 2y3, удовлетворяющих условиям y(0) = 1, y0(0) = 2? Ответ объяснить.

5

Вариант № 5.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.¡y2 ¡ 2xy¢dx + x2dy = 0; y(1) = 2

2.y0 = ¡8x + 4y + 1, (подстановка z = 4x + 2y)

4x + 2y + 1

3.	y0	¡ 2xy = 2x3; y(0) = 0
		2
4.	y0	¡ y tg x +		y4 sin x = 0; y(0) = 1
			3
5.	2xex2+y dx + ³ex2+y + 2y´dy = 0

6.y00

7.y00

8.y00

	=	y0	+	y0	ln	y0	; y(1) = 0; y0(1) = e
		x		x		x

= 4y3y0; y(0) = y0(0) = 1

+ 2y0 + 10y = e¡x cos 3x sin2 3x

9.y00 + y0 ¡ 2y = 18xex; y(0) = 1; y0(0) = 2

10.y(4) ¡ 3y000 + 3y00 ¡ y0 = 2x

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00

¡ 8y0

+ 17y = x2e4x ¡ 3e4x sin x

12.

A =

1

¡1

X

0

=

µ

2

¶

A =

µ ¡1

¡1 ¶,

¡3

!

13.

Ã

2

1

¡4

!,

X0

=

Ã

3

1

0

¡2

¡1

1

0

¡2

0

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен произведению координат точки касания.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = x2 +y2 касаться друг друга в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Ответ объяснить.

6

Вариант № 6.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.xy0 ¡ y = (x + y) ln x +x y ; y(1) = e ¡ 1

2.y0 = ¡ x + 2y ¡ 1 , (подстановка x + 2y = z)

2x + 4y ¡ 1

3.y0 cos x ¡ y sin x = x sin x; y(0) = 0

¡¢

4.1 ¡ x2 y0 ¡ xy + xy2 = 0; y(0) = 12

µ¶

x + 2y dy = 05. (ln y + 2x) dx +

y

6. x (y0)2 y00 ¡ (y0)3 = x4 ; y(1) = 0; y0(1) = 1 3

7.y00x ln x = y0; y(e) = 1; y0(e) = 1

8. y00 + 2y0 + y =	e¡x
	1 + x2

9.y00 ¡ 2y0 ¡ 3y = (5x + 1)e4x; y(0) = 0; y0(0) = 0

10.y000 ¡ 2y00 = 3x2 + x ¡ 4

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 2y0 + 5y = (x2 ¡ 3)e¡x ¡ sin 2x

12.	A =	µ	1	¡1	¶,		X	0	=	µ	2	¶
	A =		2	¡1							1		!
13.		Ã	1	0	1	!, X0				= Ã		0
			1	0	4							4
			1	2	2							5

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: ордината произвольной точки втрое меньше длины отрезка от начала координат до точки пересечения касательной с осью 0y.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = x2 + 2y2 пересекаться в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Почему?

7

Вариант № 7.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. xy0 ¡ y = x tg xy ; y(1) = p=6

2.y0 = 1 ¡ x ¡ y , (подстановка x + y = z) x + y + 5 p

y0

y

x

=

1 ¡ x2

y(0) = 0

3.

¡

¢

1 ¡ x2

1 + x2 ;

4.

y0

+ 2xy = 4x3y3; y(0) = 1

µ¡ y3 +

1 + (x + y)2

5.

µy12

+ 1 + (x + y)2

¶dx +

1

2x

1

6.

1 ¡ x2

y00 ¡ xy0 = 2; y(0) = y0(0) = 0

7.

y

y3

= 1

y(0) = 1

;

y

(0) = 0

¡00

¢ ;

0

8.

y00 ¡ 2y0 + y =

xex

1 + x2

¶

dy = 0

9.y00 + 4y0 + 4y = 32xe2x; y(0) = 1; y0(0) = ¡1

10.y(4) ¡ 2y000 + y00 = 2x(1 ¡ x)

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 16y = 16 cos 4x ¡ 16e4x

12.	A =	µ	1	¡5	¶,	X	0	=	0	¶
	A =		¡1	¡5				µ	¡1		!
13.		Ã	0	¡1	¡1	!,		X0 = Ã ¡2
			1	4	1					4
			0	¡4	¡2					3

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; e¡e 1 ) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен разности ординаты и квадрата ординаты точки касания.

15.При каких начальных условиях существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений
½	dx	=	y2 + p				;
						t		?
	dt	=	p3 x
	dt
	dy

5x + y + 1

8

Вариант № 8.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. xyy0 = x2 + 2y2; y(1) = p3

2. y0 = 10x + 2y ¡ 1, (подстановка 5x + y = z)

3.xy0 + y = xex2 ; y(1) = 2e

4.3y0 + 2xy = 2xy¡2e¡2x2 ; y(0) = ¡1

5.(1 ¡ y sin xy) dx + (2y ¡ x sin xy) dy = 0

6.(1 + ey) y00 + (y0)2 ey = y0ey; y(1) = 0; y0(1) = 1 ¡x3 + 1¢ = 3x2y0; y(0) = 0; y0(0) = 1 27. y00

	1
8. y00	+ 4y =
		sin3 2x

9.y00 ¡ y = ¡x2; y(0) = 3; y0(0) = ¡3

10.y000 ¡ 3y00 ¡ y0 + 3y = (4 ¡ 8x)ex

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 25y = 20 cos 5x + 50e5x

12.	A =	µ	4	¡5	¶,		X	0	=	µ	5	¶
			5	¡4							4
13.	A =	Ã	2	1	0	!, X0				= Ã		2	!
			0	2	2							5
			4	2	0							0

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (e; e) и обладающей следующим свойством: произведение углового коэффициента касательной в любой точке на абциссу точки касания равно сумме координат этой точки.

15.Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить на плоскости Oxy область, в которой через каждую точку проходит

единственное решение уравнения

(y ¡ x)y0 = y ln x.

9

Вариант № 9.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.xy0 cos xy + x = y cos xy ; y(1) = 2p

2.y0 = y ¡ 2x + 3 , (подстановка x = x1 + 2; y = y1 + 1)

2y ¡ 3x + 4

3.y0 ¡ x2 y = 4x3 ln x; y(1) = ¡1

4.3xy0 + 5y = (4x ¡ 5)y4; y(1) = 1

µ1 ¶dx + µ2x2y + 3 ¶dy = 0 x + 3y x + 3y

6.(y + 1)y00 ¡ y0 = (y0)2; y(0) = y0(0) = 1

7.(1 + x2)2y00 + 2x(x2 + 1)y0 = 1; y(0) = y0(0) = 0

e¡2x

8. y00 + 4y0 + 4y = 1 + x2

9. y00 + 3y0 + 2y = ¡20 sin 2x; y(0) = 4; y0(0) = 2

10. y(4) ¡ 3y000 + 3y00 ¡ y0 = x ¡ 3

11.	Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00			+ 36y = 24 sin 6x + e6x
12.	A =	2	¡1	¶,		X	0	=	3	¶
	A =	µ ¡1	¡2						µ 2		!
13.		Ã ¡5	0	1	!, X0				= Ã	4
		¡3	0	1						2
		4	1	1						3

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0) и обладающей следующим свойством: длина отрезка от начала кординат до точки пересечения любой касательной с осью Oy равна длине радиус-вектора точки касания.

15.Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, опре-

делить, при каких начальных условиях существует единственное решение дифференциального уравнения (x + 1)y00 = (y0)2 + py ?

10

Вариант № 10.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. ¡4x2 ¡ xy + y2¢dx + ¡x2 ¡ xy + 4y2¢dy = 0; y(1) = 0

2.	y0 =	x ¡ y + 2		, (подстановка	x	¡	y = z	)
		3x ¡ 3y ¡ 2
3.	xy0 + y = xex; y(1) = 0					y ¡	2p ¢ = 1
4.	2y0 sin x + y cos x = y3(cos x + 1);

5.e2y dx + (2xe2y ¡ 3y2) dy = 0

6. xy00 ¡ y0 = x2e¡x; y0(1) = ¡1e ; y(1) = 2e

7.2yy00 = (y0)2 + 1; y(0) = 1; y0(0) = 0

8. y00 ¡ 6y0 + 9y =	xe3x
	1 + x2

9.y00 ¡ 2y0 + 5y = 8xex; y(0) = ¡1; y0(0) = 1

10.y000 ¡ 2y00 + 5y0 = 15x2 ¡ 2x ¡ 3

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 9y = 2 cos 3x ¡ sin 3x + xe3x

12.	A =	µ	2	¡5	¶,	X		0	=	5	¶
	A =		1	¡2					µ	¡1			!
13.		Ã	1	¡2		0	!, X0			= Ã		0
			1	4		0						5
			1	¡1	¡1							1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 0) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент любой касательной численно больше суммы координат точки касания на единицу.

15.Сколько существует решений дифференциального уравнения

y0 = x + y2, удовлетворяющих одновременно двум условиям: y(0) = 1 и y0(0) = 2 ? Почему?