2.2 Введение в математические основы цифровой схемотехники

2.2.1 Системы исчисления

Под системой исчисления понимают совокупность приемов и правил, с помощью которых устанавливается однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов. В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр различают позиционные и непозиционные системы исчисления.

В непозиционных системах независимо от положения изображающей цифры она всегда соответствует некоторому фиксированному числу (например, римская система исчисления). В позиционной же системе, используемой в цифровых устройствах, значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения в записи числа.

Любое число в позиционной системе исчисления можно представить в виде полинома:

А_(р)= m_n pⁿ + m_n-1 p^n-1 +…+ m₀ p⁰ + m_-1 p^-1 +…

Где А- число в позиционной системе исчисления с основанием р; m_i- коэффициент, принимающий значения от 0 до (p-1); n- степень, в которую возводится основание системы исчисления. Величина (n+1) определяет разрядность числа в той или иной системе исчисления.

Позиционные системы исчисления имеют разные основания: десятичные с основанием десять, восьмеричные с основанием восемь, двоичные с основанием два и т.д.

В двоичной системе исчисления используются только два цифровых символа 0 и 1, а само двоичное число записывается в виде:

А₂= m_n 2ⁿ + m_n-1 2^n-1 +…+ m₀ 2⁰ + m_-1 2^-1 +…

и представляет, таким образом, (n+1)- разрядное число. Каждый двоичный разряд называется битом, а восемь двоичных разрядов создают один байт.

Поскольку и цифровые устройства используют элементы с двумя устойчивыми состояниями, то делается понятной значимость двоичной системы в процессах передачи и обработки цифровой информации.

При подготовке числовой и программной документации оказываются весьма полезными восьмеричная и шестнадцатеричная системы исчисления. Они более компактны с точки зрения записи информации и удобны при переводе в двоичную систему (особенно восьмеричная система).

Для перевода десятичного числа в любую позиционную систему пользуются методом последовательного деления на основание новой системы до тех пор, пока остаток от деления не сделается меньше основы. Число в новой системе окажется составленным из остатков от деления, начиная с последнего слева направо. Проиллюстрируем этот прием на примере десятичного числа 125₁₀, представив его в восьмеричной системе исчисления (нижний индекс указывает основание системы исчисления). Отметим, что в шестнадцатеричной системе для обозначения цифр 10, 11,..15 дополнительно используются буквенные символы: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15

а) Перевод десятичного числа

в восьмеричное

Таблица 1

Число	Результат деления на основание 8	Остаток
125	15	5
15	1	7
1	<8	1
12510=1758

То же десятичное число, но записанное в двоичной и шестнадцатеричной системах имеет вид: 125₁₀=1111101₂=12⁶+12⁵+12⁴+12³+12²+02¹+12⁰;

125₁₀=7D=716+13. Преимущество в “длине” записи явно на стороне восьмеричной и шестнадцатеричной систем исчисления.

Широко используется в устройствах ввода и вывода цифровой информации двоично-десятичное представление чисел, при котором любой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда, например: 125₁₀=0001 0010 0101.