Преломление света на сферической поверхности раздела двух сред

Рассмотрим прохождение лучей через сферическую преломляющую поверхность Σ. Пусть два однородных прозрачных вещества с коэффициентами преломления n и n^/ разделены сферической поверхностью с радиусом кривизны r. Проведём главную оптическую ось, под которой подразумеваем прямую, проходящую через точечный источник света P и центр кривизны поверхности C (рис.3). Определим направление лучей, исходящих из точечного объекта P, углами u, которые лучи составляют с главной оптической осью PC. Будем рассматривать только лучи, составляющие с оптической осью столь малые углы, что для них синусы и тангенсы можно заменять самими углами, а косинусы считать равными единице. Такие лучи носят название параксиальных (приосевых).

Рассмотрим луч, исходящий из объекта P, падающий на границу раздела веществ в точке M и пересекающий после преломления главную оптическую ось в точке P¹.

Рис. 3. Преломление света на одной сферической поверхности

При соблюдении указанного ранее правила знаков угол uотрицателен. Положительной будет величина –u. Углы падения и преломленияi иi^/также отрицательны. Положительны величины–iи–i^/. По закону преломления:

n ·sin(-i)=n^/ ·sin(-i^/)

Считая рассматриваемый луч параксиальным, заменим синусы через углы и тогда получим

n(-i)=n^/(-i^/) (1)

Из треугольника PMCимеем:-i= -u и из треугольникаCMP^/имеем:i^/= -u^/, где–uиu^/- положительные углы, которые составляют лучиPMиMP^/с главной оптической осью, и- положительный угол между той же осью и радиусомCM. Подставляя эти значения углов–i и–i^/в (1), найдём

n( -u)=n^/( -u^/). (2)

Обозначив через –s иs^/соответственно положительные расстояния от вершины преломляющей поверхностиΣдо точек P иP^/и черезh – длину перпендикуляра, опущенного из точкиMна осьPC, получим в рассматриваемом приближении:

, .

Подставляя эти значения –u, u^/ив (2), найдём

(3)

или

. (4)

Величина, стоящая в правой части выражения (4), зависит только от коэффициентов преломления рассматриваемых веществ и радиуса кривизны разделяющей их поверхности. Следовательно, для данных веществ и данной поверхности эта величина постоянна; она называется оптической силой преломляющей поверхности и обозначается буквой Ф:

. (5)

Вводя оптическую силу в выражение (4), получим

. (4а)

При заданном положении объекта P (заданном отрезкеs) из формулы (4а) получается определённое значение отрезкаs^/,независимо от значения углаu. Это означает, что при малых углахuвсе лучи, исходящие из точечного объектаP, после преломления пересекаются в одной точкеP^/. ТочкаP^/является точечным изображением точечного объекта. Из приведённых рассуждений ясно, что если источник света поместить в точкуP^/, то точкаPстанет его изображением. Ограничиваясь рассмотрением параксиальных лучей, найдём место, где соберётся, после преломления у сферической поверхности, пучок параллельных лучей. Для этого положим–s=, тогда по формуле (4):

r. (6)

Место, где пересекаются после преломления лучи, падавшие на сферическую поверхность в виде параллельного пучка, называется вторым главным фокусом F ^/преломляющей поверхностиΣ. Расстояние до второго главного фокуса –вторым главным фокусным расстоянием f ^/. По (6) дляf^/получаем:

. (7)

Первым главным фокусом Fпреломляющей поверхности назовём точку, удовлетворяющую следующему условию: при помещении в эту точку точечного источника светаPпосле преломления должен возникнуть пучок параллельных лучей. Расстояние от вершины преломляющей поверхностиΣдо первого главного фокуса называетсяпервым главным фокусным расстоянием f. Для того, чтобы определитьf, положим в формуле (4)s^/=, тогда получим

. (8)

Из сравнения формул (7) и (8) находим соотношение между первым и вторым главными фокусными расстояниями:

. (9)

Из формулы (9) видно, что главные фокусные расстояния пропорциональны коэффициентам преломления веществ, в которых лежат фокусы. Знак минус в правой части равенства (9) указывает, что главные фокусные расстояния – разных знаков, то есть что первый и второй главные фокусы лежат по разные стороны от преломляющей поверхности. Введём в формулу (4а) главные фокусные расстояния. Для этого поделим правую и левую части этой формулы на , получим:

,

или на основании соотношений (7) и (8):

. (4б)

Формуле (4б) можно придать иной вид. Для этого будем отсчитывать отрезки, определяющие положение точек Pи P^/, не от вершины преломляющей поверхностиΣ, а соответственно от первого и второго главных фокусовFиF ^/. Обозначим эти отрезки черезx иx^/ ( см. рис.4). Тогда имеем:

.

Подставляя эти значения sиs^/в (4б), найдём

, или.

Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, мы придём к следующему выражению:

. (4в)

Рис. 4

В этом симметричном виде формула называется формулой Ньютона. Формулы (4), (4а), (4б), и (4в) вполне эквивалентны друг другу: каждая из них позволяет по положению точечного объекта найти положение его изображения.

Наиболее часто встречающимися элементами оптических систем являются линзы. Оптической линзой называется тело, изготовленное из однородного прозрачного вещества и ограниченное поверхностями, из которых, по крайней мере, одна имеет радиус кривизны, отличный от нуля. Обычно поверхности, ограничивающие линзу, являются сферическими. В большинстве случаев линзы изготавливаются из стекла. Преломление света в линзе можно рассматривать, как последовательное преломление у двух сферических поверхностей. Применим формулу (4) преломления на сферической границе раздела для передней, радиусаr₁и задней, радиусаr₂, сферических поверхностей линзы. Показатель преломления вещества линзы обозначимn,а показатель преломления окружающего линзу воздуха будем считать равным единице (рис. 5).

Рис. 5

Для передней поверхности, полагая, что за ней всюду находится среда с показателем преломления n, по формуле преломляющей поверхности запишем:

(10)

Выражение (10) означает, что если бы имелась лишь одна преломляющая поверхность, изображение точки P получилось бы в точке P₀. Рассматривая точку P₀ как мнимый предмет для задней поверхности линзы, и применяя вновь формулу преломления сферической поверхности, имеем:

(11)

где s₀ > 0, а r₂ < 0 (в соответствие с правилом знаков).

Будем рассматривать тонкую линзу, то есть такую линзу, для которой расстояние d между её преломляющими поверхностями мало по сравнению с расстояниями до объекта и до изображения.

Сложив отдельно левые и правые части равенств (10) и (11) с учетом того, что толщина линзы d пренебрежимо мала, получим формулу тонкой линзы:

(12)

Для данной линзы радиусы кривизны её поверхностей r₁ и r₂ и показатель преломления n вещества, из которого она сделана, являются заданными. Поэтому в правой части равенства (12) стоит постоянная величина, называемая оптической силой тонкой линзы.

(13).