Матан. Вопросы к экзамену и зачету.Весна 2014
.docВопросы к экзамену и зачету, 2-ой семестр (группы ТТ, ЗК, ПВ I). 2014г
Неопределенный интеграл
-
Первообразная функции и неопределенный интеграл (определения и свойства).
-
Формулы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Определенный интеграл
-
Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.
-
Основные свойства определенного интеграла.
-
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
-
Формула Ньютона-Лейбница.
-
Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
-
Теоремы о среднем значении для определенного интеграла (случаи одной и двух функций).
-
Несобственные интегралы (от бесконечно большой функции).
-
Несобственные интегралы (по бесконечному промежутку).
-
Геометрические применения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, объем тела вращения).
-
Многочлен Тейлора функции порядка n и его свойства. Формула Тейлора.
-
Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме и в форме Лагранжа.
Дифференциальные уравнения.
-
Обыкновенное дифференциальное уравнение, порядок уравнения. Второй закон Ньютона. Падение камня с небольшой высоты - Закон Галилея.
-
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной. Понятия решения и интегральной кривой уравнения. Задача Коши. Общее решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной и его решений.
-
Дифференциальные уравнения «n»-го порядка. Задача Коши для дифференциального уравнения «n»-го порядка. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение.
-
Общий вид линейного (однородного и неоднородного) дифференциальных уравнений «n»-го порядка. Основное свойство решений линейного однородного уравнения 2-го порядка.
-
Линейная зависимость и линейная независимость функций на промежутке. Вронскиан функций.
-
Необходимые и достаточные условия линейной зависимости и линейной независимости решений линейного однородного уравнения 2-го порядка. Формула Лиувилля.
-
Структура общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка.
-
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.
-
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
-
Комплексные числа. Действия с комплексными числами. Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
-
Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формула Моавра. Экспонента с комплексным показателем. Формулы Эйлера. Основная теорема алгебры.
-
Нахождение линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами (метод Эйлера).
-
Принцип наложения частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.