матем_лекции
.doc
ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ И МНОГОЧЛЕНАХ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§1. Комплексные числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Понятие комплексного числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Комплексным числом z называется число вида , где , а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: . Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если , то получается вещественное число . Два комплексных числа и называются сопряженными. Два комплексных числа и равны друг другу, если и ; комплексное число z считается равным нулю, если . Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел: Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–мнимой осью комплексной плоскости. Число называется модулем комплексного числа и обозначается или . Отметим, что называют алгебраической формой записи комплексного числа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами , где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox. Положительным направлением изменения угла φ считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: ,, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
где , φ–аргумент комплексного числа, который находят из формул , или в силу того, что , . Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y. Пример1. Записать в тригонометрической форме комплексное число . Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: . Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим . Очевидно точка находится во второй четверти: . Подставляя в формулу (1) найденные r и φ, имеем . Замечание. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Тогда через обозначают значение аргумента, заключенное в пределах . Тогда . Используя известную формулу Эйлера , получаем показательную форму записи комплексного числа. Имеем
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Действия над комплексными числами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.Сумма двух комплексных чисел и определяется согласно формуле . 2.Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число , если , является разностью комплексных чисел z1 и z2. Тогда . 3.Произведение двух комплексных чисел и определяется по формуле .В частности =. Можно получить формулы умножения комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах. Имеем . 4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число называется частным от деления z1 на z2, если . Тогда Окончательно . B показательной и тригонометрической формах: . 5.Возведение в целую положительную степень комплексного числа лучше производить, если число записано в показательной или тригонометрической формах. Действительно, если то Формула называется формулой Муавра. 6.Извлечение корня n–й степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в степень n, то есть комплексное число называется корнем n–й степени из комплексного числа z, если . Из этого определения следует, что , a . a , что следует из формулы Муавра, записанной для числа . Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Поэтому , а аргумент числа z1, зависящий от k, обозначим φk и будем вычислять по формуле . Ясно, что существует n комплексных чисел, n–я степень которых равна числу z. Эти числа имеют один и тот же модуль, равный , а аргументы этих чисел получаются при . Таким образом, в тригонометрической форме корень n–й степени вычисляют по формуле: , , а в показательной–по формуле . Пример 2. Возвести число в пятую степень. Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. . Отсюда , а . Тогда по формуле Муавра получим: . Пример 3. Найти все значения . Решение. r=2, а φ найдем из уравнений . Эта точка находится в четвертой четверти, то есть . Тогда , значения корня находим из выражения . При имеем . При имеем еще одно значение корня
Можно найти значения корня из числа z, представив число в показательной форме. Т.к. r=2, a , то , a . Тогда при k=0 имеем . Приk=1 имеем
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§2. Некоторые сведения о многочленах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Разложение многочлена на множители |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом. Корнем многочлена называется такое значение переменной x, которое обращает многочлен в нуль. Теорема Безу. Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка. Доказательство. Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть
Тогда если x=a–корень многочлена , то и, подставляя x=a, в обе части равенства (2), получим r=0. Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (2) обращается в нуль, тогда и , то есть x=a–корень . Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то
Например, многочлен при x=1 обращается в нуль, тогда он делится на x–1. Разделим многочлен на x–1:
Таким образом, . Теорема (доказывается в курсе алгебры). Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень. Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при . Доказательство. Пусть . Он имеет по крайней мере один корень. Пусть это будет a1. Тогда на основании теоремы Безу , где –многочлен степени . Он тоже имеет по крайней мере один корень. Обозначим его . Тогда , где –многочлен степени . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где –многочлен нулевой степени, то есть некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту A0 при многочлена . Подставляя в формулу (3) выражения для , получим
Замечание. Числа –корни многочлена , т.к. при подстановке этих чисел в формулу (4) получаем в правой части формулы нуль, это и означает, что . Никакое значение , отличное от не может быть корнем многочлена , т.к. ни один из множителей в правой части (4) не обращается в нуль. Отсюда вытекает, что многочлен n–й степени не может иметь больше чем n различных корней.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Свойства неопределенного интеграла |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.; –производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал–подынтегральному выражению. Доказательство. Из определения первообразной:
2.– неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого. Доказательство. Из определения первообразной следует, что функция является первообразной для функции следовательно, является неопределенным интегралом от . Например, 3.–неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций. Доказательство. Достаточно показать, что совпадают производные левой и правой частей равенства. –по свойству 1; . 4., где k=const–постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла. Доказывается аналогично свойству 3. Из свойств 1 и 2 следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Таблица основных неопределенных интегралов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Справедливость этих формул проверяется непосредственно: дифференцированием убеждаемся, что правые части равенств являются первообразными для соответствующих подынтегральных функций. Например, для формулы 3: при x>0 и
при x<0 и . |