4. Кортеж. График. Свойства графиков.

Упорядоченную последовательность n элементов называют упорядоченным множеством или кортежем длиной n.

В кортеже существенны не только элементы, но и порядок, в котором они располагаются. Следовательно, кортеж может содержать одинаковые элементы.

Примерами кортежей могут служить очередь, свадебный кортеж. Кортежем является вектор, заданный проекциями на оси.

Кортеж заключается в угловые скобки.

< a1 ,a2, a3, ..., an > - кортеж длиной n или упорядоченная n-ка.

< 1, 1, 1 > - упорядоченная тройка – единичный вектор.

< a, b> - упорядоченная двойка или пара.

График - множество пар. Можно дать и более общее определение графика в n-мерном пространстве, как множества n-ок. Однако в дальнейшем будут рассматриваться только двухмерные графики.

1. График называется функциональным, если он не содержит пар с одинаковой первой и различными вторыми компонентами (каждому х соответствует один у).

2. График называется инъективным, если он не содержит пар с одинаковой второй и различными первыми компонентами (каждому у соответствует один х).

3. График называется симметричным, если он равен своей инверсии.

4. График называется диагональю множества М, если он состоит из пар вида <x, x>: _M = {<x, x> | x  M}

5. Соответствия. Свойства соответствий.

Соответствие - тройка Г = <G, X, Y>, такая, что G  X * Y – подмножество произведения второго компонента на третий.

Первый компонент (G) - график.

Второй компонент (X) - область отправления (определения).

Третий компонент (Y) - область прибытия (значений).

Соответствие называется полным, если G = X x Y (декартово произведение) .

Свойства соответствий

1. Соответствие называется функциональным, если его график функционален.

2. Соответствие называется инъективным, если его график инъективен.

3. Соответствие называется всюдуопределенным, если проекция графика на первую ось совпадает с областью отправления. пр.G1 = X.

4. Соответствие называется сюръективным, если проекция графика на вторую ось совпадает с областью прибытия пр.G2 = Y

5. Соответствие называется биективным (взаимно-однозначным), если оно функционально, инъективно, всюдуопределено и сюръективно (для него выполняются первые четыре свойства).

6. Отношения. Свойства отношений. Примеры.

Отношение, это пара вида  = <R, M>, такая, что R  M * M = M² , где R - график отношения, M - множество, на котором отношение определено (между элементами которого это множество существует).

Более традиционная запись отношения x  y для x  M, y  M .

Свойства отношений

1. Рефлексивность: ∀x: х  x (выполняется) (например, x = x)

2. Антирефлексивность:∀x:  x  x (не выполняется) (например, x < x, «быть отцом»)

3. Симметричность: x  y  y  x (например, x = y  y = x, «быть одноклассником»)

4. Антисимметричность: x  y , x  y  y  x (например, x y ; y ≤ x  y ≥ x, «быть сыном»)

4. Асимметричность: x y   y  x (например, x < y  y < x)

5. Связность (полнота): x  y  x  y или y  x (например, для любых двух различных натуральных чисел: либо x < y, либо y < x)

6. Транзитивность: x  y , y  z  x  z (например, x = y и у = z  y = z)

7. Антитранзитивность: x  y, y  z  x  z (например, отношение перпенди-кулярности прямых, отношение «»быть сыном»).