Решение:

1. Для построения графика необходимо первоначально определиться, какой из двух предложенных факторов является независимой переменной (х) и изображается по оси абсцисс, а какой - зависимой переменной (у) и изображается по оси ординат. В данном примере наполняемость гостиницы зависит от ее расстояния до пляжа, поэтому наполняемость, % – у, а расстояние, км. – х. Далее в координатной плоскости откладываются точки.

Полученная совокупность точек, не соединенных между собой, называется полем корреляции или корреляционным облаком. По форме облака можно предварительно судить о тесноте и направлении связи.

2. Количественно тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками (в случае наличия между ними линейной зависимости) характеризует линейный коэффициент корреляции Пирсона. Это безразмерная величина, которая изменяется в интервале от -1 до +1.

Необходимые расчеты оформляются в виде вспомогательной таблицы:

х	у	ху	х²	у²
0,1	92	9,2	0,01	8464
0,1	95	9,5	0,01	9025
0,2	96	19,2	0,04	9216
0,3	90	27,0	0,09	8100
0,4	89	35,6	0,16	7921
0,4	86	34,4	0,16	7396
0,5	90	45,0	0,25	8100
0,6	83	49,8	0,36	6889
0,7	85	59,5	0,49	7225
0,7	80	56,0	0,49	6400
0,8	78	62,4	0,64	6084
0,8	76	60,8	0,64	5776
0,9	72	64,8	0,81	5184
0,9	75	67,5	0,81	5625
Σх=7,4	Σу=1187	Σху=600,7	Σх²=4,96	Σу²=101405

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи (коэффициент корреляции больше нуля) с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак; при обратной (коэффициент корреляции меньше нуля) увеличение факторного признака приводит к уменьшению результативного.

В данном примере связь обратная тесная, т.е. увеличение расстояния от гостиницы до пляжа в 94 случаях из 100 приведет к снижению наполняемости гостиницы.

3. Значимость коэффициента корреляции можно проверить по общему правилу проверки статистических гипотез:

- если tр  tкр, нулевую гипотезу о том, что между Х и Y отсутствует корреляционная связь (то есть r = 0), нельзя отклонить на заданном уровне значимости .

- если tр  tкр, нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной о том, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (r  0), то есть между X и Y существует линейная корреляционная зависимость.

Расчетное значение критерия tр подчиняется закону распределения Стьюдента с (n - 2) степенями свободы:

.

Критическое значение определяется по таблице распределения Стьюдента по уровню значимости  и числу степеней свободы k = n – 2. По условию задачи уровень значимости 0,05 и число степеней свободы 14-2=12, в этом случае = 2,18. Таким образом,  , следовательно, определенно можно сказать, что между наполняемостью гостиницы и расстоянием от нее до пляжа существует связь.

4. В случае, если коэффициент корреляции является значимым, можно построить уравнение регрессии, которое позволяет определить, каким в среднем будет значение результативного признака Y при том или ином значении факторного признака X, если остальные факторы, влияющие на Y и не связанные с X, рассматривались неизменными. Уравнение регрессии имеет вид:

_{Коэффициент регрессии () показывает, на сколько единиц изменится следствие (у ) при изменении причины (х) на одну единицу.}

_{При увеличении расстояния до пляжа на 1 км. наполняемость гостиницы снизится на 25,5%. Свободный член уравнения регрессии:}

Уравнение регрессии:

5. По уравнению регрессии можно спрогнозировать, какова будет наполняемость гостиницы, если расстояние от нее до пляжа 1 км.

Для этого необходимо подставить известное значение независимой переменой х (х=1) и вычислить соответствующее значение у.

Если расстояние от гостиницы до пляжа будет 1 км., то среднегодовая наполняемость номеров в гостинице составит 72,8%.

Задача. Компания недавно провела рекламную кампанию в магазинах с демонстрацией антисептических качеств своего нового моющего средства. Через 10 недель компания решила проанализировать эффективности нового вида рекламы, сопоставив еженедельные объемы продаж с расходами на рекламу (тыс. руб.)

Объем продаж, тыс.руб	72	76	78	70	68	80	82	65	62	90
Расходы на рекламу, тыс.руб	5	8	6	5	3	9	12	4	3	10

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости.

Рис. 1: Корелляционное поле взаимосвязи объемов продаж от расходов на рекламу.

Вывод: График «Корелляционное поле» показывает что между расходами на рекламу и объемом продаж в данной компании существует прямая взаимосвязь, то есть чем больше расходы, тем больше объем продаж.

Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при  = 0,05.

Линейный коэффициент корреляции Пирсона		Характеризует тесноту и направление связи между двумя признаками. Это безразмерная величина, изменяется в интервале от -1 до +1.
Коэффициент детерминации	dx(y) =  100%	Показывает, какая часть колеблемости результативного признака объясняется колеблемостью факторного

Табл.1: Расчетные данные.

X	Y	X*Y	X^2	Y^2
5	72	360	25	5184
8	76	608	64	5776
6	78	468	36	6084
5	70	350	25	4900
3	68	204	9	4624
9	80	720	81	6400
12	82	984	144	6724
4	65	260	16	4225
3	62	186	9	3844
10	90	900	100	8100
65	743	5040	509	55861

dx(y) =  100%=95

Между рекламными расходами и объемами продаж тесная взаимосвязь, так как коэффициент корреляции приближён к единице. Рекламные расходы влияют на объем продаж на 95% остальные 5% характеризуют влияние других факторов причин.

Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Уравнение регрессии	yx = a0 + a1x	Служит для прогнозирования неизвестного значения Y по известному значению X, и наоборот
Коэффициент регрессии	nxy - xy a1 = nx²- (x)²	Показывает, на сколько единиц изменится в среднем Y при изменении X на 1 единицу.
Свободный член уравнения регрессии	_ _ a0 = y - a1x	Его интерпретация зависит от того, какой смысл имеют изучаемые признаки.

Вычисления:

A₀=

Y_x=58,7+2,4*x

Вывод: Объем продаж составляет7,4 тысяч рублей, если рекламные расходы увеличатся на 1000 рублей то объем продаж увеличится на 2,4 тысячи рублей. Например: если рекламные расходы фирмы увеличатся до 15 тысячи рублей, то объем продаж составит y_x=58,7+2,4*15=94,7

1. Составить уравнение регрессии, выражающее связь между расходами на рекламу и объемом продаж нового моющего средства. Произвести оценку существенности коэффициента регрессии, т. е. установить, что зависимость между изучаемыми признаками не случайна, а статистически значима и существенно отличается от нуля.

2. Построить поле корреляции и прямую регрессии.

3.Вычислить линейный коэффициент парной корреляции.

4.Провести оценку достоверности коэффициента корреляции (tкр = 2,31).

5.Вычислить коэффициент детерминации.

6.Сделайте выводы.

Контрольные задания к теме «Анализ взаимосвязей»

Вариант 5

Имеются выборочные данные о стаже работы и выработке одного рабочего за смену:

Стаж работы, лет	1	3	4	5	6	7
Выработка рабочего за смену, шт.	14	15	18	20	22	25

Постройте график исходных данных и определите вид зависимости. Рассчитайте коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при =0,05. Постройте уравнение регрессии и объясните смысл полученных результатов.