Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Кафедра ИТАС ЭТФ

Контрольные работы

по дисциплине «Исследование операций и МОС»

	Выполнил студент гр.		РИС-13бзу
	Габитов М.Т.
	(Фамилия И.О.)
	13-ЭТФз-396
	(номер зачетной книжки)
	(дата, подпись)
	Проверил	профессор
		(должность)
	Гольдштейн А.Л.
	(Фамилия И.О.)
	(оценка)
	(дата, подпись)

Пермь 2015 г.

Контрольная работа на тему: «Игровые задачи».

Задача.Найти решение игры двух лиц с нулевой суммой графическим методом. Для сокращения числа стратегий использовать отношение доминирования. В приведенных ниже вариантах платежных матриц строки соответствуют стратегиям 1-го игрока, а столбцы – стратегиям 2-го игрока. Платежи имеют смысл Выигрыша (В) или проигрыша (П) для 1-го игрока, как указано ниже в скобках.

Вариант № 4.

(В)
1	3	0	4
-5	1	-6	2
3	-2	3	-1
5	3	4	3
2	5	2	6

Решение:

Принцип гарантированного результата будут применять оба игрока: каждый оценивает свои стратегии по наихудшему результату, показанному в добавленных строке и столбце.

	B1	B2	B3	B4	min
A1	1	3	0	4	0
A2	-5	1	-6	2	-6
A3	3	-2	3	-1	-2
A4	5	3	4	3	3
A5	2	5	2	6	2
max	5	5	4	6

Из этих оценок определяем:

max_i min_j(платежей) =v_н= 3 – нижняя цена игры,

min_jmax_i(платежей) =v_в= 4 – верхняя цена игры.

Верхняя и нижняя границы не равны => решение находится в области смешанных стратегий => седловой точки нет => игроки будут применять более одной стратегии.

Для решения графическим способом нужно стратегии одного из игроков уменьшить до двух. Уберем стратегии, которые ведут к худшему результату для игрока А. В результате сравнения А1 и А2 видим, что стратегия А2 менее эффективна на всех стратегиях игрока В.

При сравнении А1 и А5 стратегия А1 менее эффективна. При сравнении А3 и А4 стратегия А3 менее эффективна.

В результате получим следующую матрицу:

	B1	B2	B3	B4
A4	5	3	4	3
A5	2	5	2	6

Построим графическое решение для игрока А:

Гарантированные выигрыши игрока А лежат на нижней грани, выделенной жирной линией. Найдём координаты точки М:

1. уравнение прямой, характеризующей выигрыши игрока А при фиксированной стратегии В2: y= 2x+ 3;

2. уравнение прямой, соответствующей В3: y= -2x+ 4;

3. находим пересечение этих прямых: 2x+ 3 = -2x+ 4;

отсюда x= 0,25 – это вероятность применения стратегии А5, (1-x) = 0,75 – вероятность применения стратегии А4;y= 2 * 0,25 + 3 = 3,5 – это цена игры –v.

Найдём решение для игрока В:

При сравнении стратегии В1 и В3 стратегия В1 худшая. При сравнении стратегии В2 и В4 стратегия В4 худшая.

	B2	B3
A4	3	4
A5	5	2

Найдём координаты точки М:

1. уравнение прямой стратегии А4: y=x+ 3;

2. уравнение прямой стратегии А5: y= -3x+ 5;

3. находим пересечение прямых: x+ 3 = -3x+ 5,

следовательно, x = 0,5 – вероятность В3, (1-x) = 0,5 – вероятность В2;

y= 0,5 + 3 = 3,5 – цена игрыv.

Ответ:оптимальное решение игрока А состоит в применении стратегии А4 с вероятностью 0,75 и стратегии А5 с вероятностью 0,25. Средняя цена выигрыша = 3,5. Оптимальное решение игрока В состоит в применении стратегий В2 и В3 с вероятностью 0,5 каждый. Средняя цена проигрыша 3,5.