Билет 1. Понятие производной.

Опр. Пусть ф-ция f(x) определена в нек. Окрестности т.х0(U(x0)), и пусть хU(x0)=U(x0)\{x0} – произвольное значение из данной окрестности. Если предел отношеня , х>x0, то он называется производной ф-ции f(x) в т. х0. Обознач. х-х0=х, тогда по опр. f’(x)=. Пр.:f(x)=x, f(x0+х)=x0+х, f(x0)=x0, =. Пусть f(x) определена в нек.правосторон.(лево-) окрестности т. х0 и правый (левый) предел отношения , тогда этот предел наз прав.(левой) производной ф-ции f(x) в т х0.

. Теорема. Пусть ф-ция f(x)определ.в нек.окрест.т.х0, тогда след.условия эквивалентны: 1. f’(x0) 2. f’-(x0)=f’+(x0) – (сущ.прав. и лев. производн.в т.х0 и они равны). Геометр.смысл. f’(x)опред-на в нек. Окр.т.х0 и С. f(x), ур-е прямой:y=y0+k()(x-x0)(*). Если , кот.получается из ур-я (*) наз касательной графику ф-ции f(x) в т М0. y=y0+k(x-x0).

Билет 2.Понятие дифференцируемости функции в данной точке.

Опр.Пусть ф-ция определена в нек.окре. т. х0, если приращение дан.ф-ции в т.х0 представимо а виде где А- const,не зависящая от , а -беск.малая ф-ция при>0, то данная ф-ция наз. Дифференцируемой в т х0. При этом линейная(относ. ) часть-наз.дифференциалом ф-ци f(х)в т х0 и обознач. dy=. Теорема.f(x) диф-ма в т х0 <=> когда в т.х0 производ. Причем А=f ‘(x0). Док-во:f(x) – диф-ма в т.х0, т.е при

>0. =А+d(xx).=(А+d(xx))=A=f ‘(x0). Пусть F‘(x0), т.е =F’(x0)=A =A+, где при -> 0, => f. Опр.диф-алом ф-ции (dy= в т х0 наз-ся главная, линейная относительно , часть приращения ф-ции в этой точке. dy=f’(х0)Пр.: y(x)=x, dx=1*.

Билет 3.Свойства производных. Таблица производных.

Теорема.Пусть имеются ф-ции f(x) u g(x), определены в нек.окр. х0, имеют в дан.точке производные. Тогда: 1. (fg)’=f’+g’/ 2. (fg)’=f’g+fg’/ 3.если g(x)в люб.т.из U(x0), то ()’=. Теорема. Если ф-ция диф-ма в т х0, то она непрерывна в дан. Точке. f. Док-во: = при>0. =0

Билет 4.Понятие дифференциала. Приближенное вычисление с помощью дифференциала.

Опр.диф-алом ф-ции (dy= в т х0 наз-ся главная, линейная относительно , часть приращения ф-ции в этой точке. dy=f’(х0)Пр.: y(x)=x, dx=1*.

/Пусть ф-цияf(x) D (x0). F(x0)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+0(x-x0), x>x0, (0(x-x0)=(x-x0)) f(x0+)= f(x0)+f’(x0) +0(, x>0. При остаточно малом значении имеет место след.приближенное равенство: F(x0+)f(x0)+f’(x0)

Билет 5.Производные и дифференциалы высших порядков.

Второй производной наз.производную от первой производной f(x): у”=(f’(x))’. Производ.n-го порядка f(x)наз производная от производной (n-1) порядка f(x)ю Теорема (ф-ма Лейбница) Пусть ф-ция f(x) и g(x) D до n-гопорядка включительно( f’,g’,…f(n),g(n)). Тогда (f*g)(n)= ⁱ_n f(i)*g(n-i)=

Диф-алом 1 порядка явл x и dx. Будем считать, что dx-const. Диф-алом 2порядка наз. Диф-ал от диф-ала 1 порядка= d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=f’(x)dx)’dx=f”(x)dx²

Билет 6.Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Т.Лопиталя: пусть ф-ция f(x) и g(x) определены в нек.окр т а(U (a)) и пусть данная f(x) D в кажд.точке интервала окр-ти U (a), кроме ,быть может,самой т ф, и пределом :

( и g’(x)0 x U (a). Тогда если lim

Билет 7. т.Ферма и Роля.

Т.Ферма: пусть ф-ция f(x) опрд. В нек окр (a,b) и в нек т х0 данной окр. Функция f(x) принимает наибольшее, либо наименьшее знач.тогда, если производ-я в дан. Точке f(x), то она =0.(геометрич.смысл: если в т х0 производ., то касательная ф-ции f(x), проход. Через т х0 ||Ox.

Т.Ролля: пусть f(x) опеределена на отрезке [a,b] и выполнены след условия: 1.f(x) С [a,b] 2.f(x) D [a,b] 3. f(a)=f(b). Тогда такая т с(a,b), что f’(c)=0. (геометрич.смысл: если вып. Условия, то найдется такая с(a,b), что касс-я, проведенная через эту точку к f(x) || Ox

Билет8. т.Лагранжа и Коши

Т.Лагранжа:Пусть ф-ция f(x) определена на отрезке [a,b] и вып.след.условия: 1. f(x) С [a,b] 2. f(x) D [a,b]. Тогда т с(a,b), что =f’(c). (Геометрич.смысл:если вып.условия, то такая с,3 что кас-я,проведенная к дан.т. ф-ции f(x) будет ||хорде, кот.проходит с координатами ((a,f(a)),(b,f(b)). Т.Коши: Пусть f(x) и g(x) определ. на отр[a,b] и выполнено: 1. f(x) и g(x)С[a,b] 2. f(x) и g(x)D(a,b) 3. g’(x)0x(a,b), тогда т.с(a,b), что вып-ся:

Билет 9.Признак монотонности функции. Теорема. Пусть f(x) опред.на интеревала (a,b) и D в каждой точке этого инервала. Тогда, если f’(x) 0(f’(x) 0) x(a,b).то f(x) на итер-ле (a,b) не убывает(не возрастает)Док-во: пусть f(x)0x(a,b).требуется док-ть,что х1,х2(a,b),x1x2. Должно выпол-ся: f(x1) f(x2). Фикс.х1,х2∈(a,b), x1x2, по формуле Лагранжа: f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1). Где с(х1,х2). f(x2)f(x1)=>f(x2)-f(x1))f(x1).

Точки локального экстремума. Опр.точка х0 наз лок.мин[макс], если такая окр.т.х0(х0-,х0+)=U(x0), чтоU(x0) вып-ся:f(x0)<f(x) [f(x0)>f(x)].Опр.точки лок.мин и лок.макс.объединены в общее определение – точки экстремума.Теорема.Необходимое условие точек лок.экстремума). Пусть f(x) имеет в т х0 лок экстремум и f’(x) в т х0(f(x)D(x0)).тогда f’(x0)=0. Док-во: следует из т.Ферма.дан.условие не явл.достаточным. Теорема(достат.условие точек лок.экстремума) пусть f(x)D(U(x0)). Тогда если f’(x)>0 [f’(x)<0] (x0-, x0) и f’(x)<0 [f’(x)>0(x0, x0+)] , то х0- т.лок макс[мин].

Билет 10.Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

Пусть ф-ция f(x) определена и диф-ма на интер.(a,b). Тогда в кажд.точке (a,b) можно построить касс-ую к графику ф-ции f(x). Опр.f(x)(a,b)имеет выпуклость, направен.вниз [вверх], если график f(x)лежит не ниже [не выше] люб.касат.,проведенной к точке из интер.(a,b). Теорема: пусть на интервале (a,b) f(x) имеет конечную 2ю произвдную (f”(x)), тогда если f”(x)0[f”] (a,b), то на данном интер-ле f(x) имеет выпуклость, направлен вниз[вверх].Опр. т(x0 f(x0)) наз т.перегиба графика ф-ции f(x),если такая U(x0), что в дан.окр по обе стороны от т х0, графикf(x) имеет разное напр-е выпуклости. Теорема(необход.условие т.перегиба) пусть (f(x)²(x0))f(x) в т.х0 имеет непрерывн.2ю производную. Тогда если т (х0, f(x0)) явл. Т.перегиба, то f”=0. Теорема(достат.условие т.перегиба) Пусть f(x) имеет в нек.окр.т х0 производ. 2го порядка. Тогда если в окр.дан.точки по обе стороны от т.х0 f(x) имеет 2ю производ. Различных знаков, тогда т.х0 явл. т. перегиба.

Билет 11.Асимптоты графика функции.

Опр.1: еслипрямая х=х0 наз вертик.ассимптотой к графику ф-ции f(x). Опр.2: если =A(нек.число), то прямая у=А наз гориз.ассимптотой. Опр.3 если =k и то прямая у=kx+b наз наклон.ассимптотой.

Билет 12.Схема исследования функции и построение графика.

1. Найти обл.определения ф-ции. 2.найти точки пересечения графика ф-ции с осями координат. 3. Найти асимптоты. 4. Найти точки возможного экстремума. 5. Найти критические точки. 6.исследовать знак первой и второй производной. Определить участки возрастания и убывания ф-ции, найти направлени выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба. 7.построить график.

Билет 13.Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Пусть - интервал, полуинтервал, отрезок, либо вся числовая ось. Опр.пусть f(x) и f(x) определены на промежутке , причем F(x) – диф-ма на Ф-ция F(x) наз первообразной ф-ции f(x),если для х F’(x)=f(x). Пусть F(x)- первообразная для ф-ции f(x) на . Рассмотрим ф-цию F(x)+С, тогда F(x)+С- тоже первообраз. f(x) на . Действительно, (F(x)+C)’=F’(x)+C=f(x). Лемма. Пусть F1(x) b F2(x) –нек.первообразн-е для f(x) на . Тогда такая cont C, что F2(x)=F1(x)+C. Док-во: рассмотр.ф-цию (х)= F2(x)-F1(x) Ф-ция (х)определ-а и диф-ма на промеж-ке . (х)= (F2(x)-F1(x))’=F2’-F1’=f-f=0.(х)0 на промеж. по следствию из Теор. Лагранжачто (х)=С на промеж.. F2-F1=CF2=F1+C Опр. Неопред.интегралом ф-ции f(x) на пром-ке наз. совокуп. Всех первообразн.ф-ции f(x)на . Фиксир. нек.первообр. f(x).Тогда неопред.интеграл-м наз.совокуп.ф-ций вида F(x)+C, где С – первообр. Const, и обозн. .Ф-ция F(x) подынтегральной ф-цией, а выраж-е f(x)dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

1. . (F(x)+C)’=f(x). d=f(x)dx, d(F(x)+C)= (F(x)+C)’dx=f(x)dx

2. .

3. 

4. 

4’.

Билет 14.Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

1. . (F(x)+C)’=f(x). d=f(x)dx, d(F(x)+C)= (F(x)+C)’dx=f(x)dx

2. .

3. 

4. 

4’.

Билет 15.Основные методы интегрирования. 1.непосредственное интегрирование. Пр.

2.метод подстановки.Теор. пусть ф-ция (t) опред-на на промеж-ке t, причем (t) – диф-ма на t и образом (t)явл.промежуток х и фун-ция (t)явл строго монотонной.

Пусть также на пром-ке х опред-на ф-ция , кот. на имеет первообразную F(x). Тогда –первообр-я для ф-ции f(x). Т.к. на промеж-ке t определена ф-ция f ’((t)) и F((t)). Найдем (F((t)))’=F ‘ ((t))(t)=f((t))(t) ф-ция F((t)) явл. первообр. ф-ции f((t))(t))(t)dt=F((t))+C. Т.к. ((t)), то

3.интегрирование по частям.Теорема.Пусть ф-ции u(x) и v(x) D на нек.промеж-ке . и . Тогда , причем Док-во: (uv)’=u’v+uv’. d(uv)=(u’v+uv’)dx=vdu+udv.

Билет 17.Определенный интеграл. Необходимое условие существования.

Пусть ф-ция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобъем отрезок [a,b] на n производных частей a=x<x1<x2<…<xn=b. На каждом из отрезков [x(i-1), xi]произвольным образом выберем т. «кси» i[xi-1,xi]. Обозначим через xi=xi-x(i-1) и «кси»=(кси1, кси 2, … кси n). Разбиение (a=x0<x1<…<xn=b) обозначим через «тау». Составим сумму. S f(тау, кси)=f(кси1xi+f(кси2)xi+…+f(кси n)xi= составим такую сумму, кот.на.интегральной суммой ф-ции f(x) на [a,b] с параметром кси и тау.Опр1.Пусть d(тау) - , - диаметр разбиения. Если конечн.предел , не зависящей от способа разбиения отрезка a,b и выбора точек из набора кси, то этот предел наз. Определенным интегралом ф-ции f(x) и обоз-ся . Необходимое условие: если f(x) интегрируема на отрезке [a,b],то она ограничена на этом отрезке. НО обратное – неверно. Те такие ф-ции, кот.явл.ограниченными на нек. Отрезке, но не явл.интегрироваными на дан.отрезке.

Билет 16. Интегрирование простейших рациональных дробей (3 вида).

Пусть - нек.рац.дробь, где Pm(x) и ) – многочлены нд полем действ.чисел. Если - непрерыв.дробь, т.е. degPm(x)deg), тогда приводим её к виду =W(x)+, где W(x) и - мн-ны над R, причем рац.дробь - явл.правой, т.е. deg < deg . Теорема. Пусть Qn(x)=Qn(x-x1)^a1(x-x2)^a2…(x-xm)^am *(x²+p1x+q1)^b1(x²+p2x+q2)^b2…(x²+pkx+qk)^bk и рац.дробь – правая, тогда имеет место след.разложение. +…++… после того,как люб.рац.дробь разложили по предыдущ.теореме, получаем след.случай: (1)=a ln(x-x0)+C. (2)dx== +C= (3) dx=dx=\ x+p=t, dt=dx\==ln|z|+C= ln|t2+(q-p2)|+C.

Билет 18.Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. 1. 2.Каковы бы ни были точки a,b и c: 3.k-нект.число. Тогда 4. dx= 4’Св-во линейности: f(x)+=. Оценки:1 пусть на [a,b]f (x)0.тогда 0. 2пусть f(x) g(x) . Тогда dx. 3пусть m-min знач.f(x) на [ab]. m= и M-max знач f(x) на [ab].Тогда m(b-a)M(b-a). 4|. 5Теорема о среднем. Пусть f(x) С[ab].Тогда найдется такая с из [ab], что f(c)*(b-a).

Билет 19.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема. Пусть f(x)-интегрируема на [ab]. Опр. Ф-ция Ф(х)=. – интегр.с переменным верхним пределом. Теор.пусть ф-ция f(x)С[ab]. Тогда Ф'(x)=f(x). Док-во:фиксир. х из и пусть x+.Тогда Ф(x+)== + =Ф(x+)+(x+)-Ф(х)=. Тк ф-ция f(x)С => по теореме о среднем найдется такая т.с [x, x+], что =f(c) => при , а тк ф-ция непрер., то .

Существование первообразной для непрерывной на отрезке функции. Следствие1. Если f(x)=c, то на дан.отрезке дан.ф-ция имеет первообразную.

Билет 20. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть f(x)С [ab] ипусть F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Тогда .

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f(x)С[ab] и пусть (t)С и D [ab], причем: 1) 2) 3)=a, =b.Тогда док-во: по формуле Н-Л , где F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Рассмотрим ф-цию F(). (F()’=F’()* =f()*F()- первообр.ф-ции f()* => по формуле Н-Л: . Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Теорема.Пусть ф-ции (x) и (x)С,D [ab]. Тогда =|_a^b. Док-во:d(u)=uddu. v| ab=u(b)

Билет 21.Геометрические приложения определенного интеграла. площадь криволинейной трапеции:пусть f(x)- опеределена на [ab], не отриц-на.f(x)[ab].Тогда S= длина дуги кривой:пусть f(x)D [ab]. L=. объем тела вращения: f(x)[ab]. V=. площадь поверхности вращения: f(x)[ab] и f ‘(x)С[ab]. S=2.

Билет 22.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Опр. Пусть f(x)опр-на на пром-ке[a,+] и интегрир-ма в люб.его части [a,R](т.е. ). Тогда если , то он наз.неопред. интег-ом 1го рода и обознач . Опр. Пусть f(x) опр-на на проме-ке [ab) и f(x) не ограничена в люб.точке окр-ти точка b, но >0 ф-ция f(x) интегр-ма на отрезке[a,b-] , тогда если то он наз-ся несобственным интергралом 2го рода. Признак сходимости несобственных интегралов. Теорема. Пусть f(x) и g(x)определены и С [a,+], причем 0g(x) на [a,+]. Тогда из сходимости интег-а будет следовать сходимость , а из расходимости будет следовать расходимость .

Билет 23.Функции двух переменных: определение и основные понятия. Опр. Пусть x,y,z – нек.множ-ва(больш). ф-ция 2х переменных наз множ-во всех таких точек (x,y,z), что x X, y, z и кажд.пара (x,y)входит в одну и только одну тройку. В этом случае говорят, что кжд.паре (x,y)поставлена в соответствие нек.число z: z=f(x,y), при этом z-наз-ся зависимой переменной, а x и y- незваис. Мн-ва всех пар (x,y) наз.областью опр-я ф-ции f, а мн-ва всех знач-й z наз. обл-ю значений ф-ции f. Введем на пл-ть Оxy метрику . Пусть М1(x1y1) М2(x2y2). (М1М2)=

Опр. -окрестность. Точки М0(x0y0) наз. Такое мн-во точек пл-ки Oxy, д/кот выпол.нер-во: <: U(M0)={M(M0M)<Опр. Пусть имеется послед-ть точек М1(x1y1), M2(x2y2)…Mn(xn,yn) ({Mn} n1). Последовательность Mn наз сходящейся к точке М0(x0y0),если >0 найдется такой номер N, зависящий N(n>N будет вып-ся: (M0,Mn)<. Предел функции двух переменных и его свойства. Пусть f(xy)опр-на на нек мн-ве {M}R*R и пусть М0-нек.точка плоскости. Число А наз пределом ф-ци f(xy) в точке М0, если {M}_n1 {M}}, причем MnM0, и Mn->_n-> M0, то . Опр. Число А наз пределом f(xy) в т М0, если >0 s=S(что M{M} с усл 0<f(M0,M)<s=> условие |f(M)-A|<. С-ва: Теор. Пусть f(xy)и g(xy) опр-ны на мн-ве {M} и пусть сущ-ют пределы: и . Тогда 1. 3. Если В

Билет 28.Производная по направлению. Градиент.

Пусть ф-ия z=f(M) определена в нек-ой окрестности т. M(x,y) и задан единичный вектор n=(cos,cos). Для хар-ки скорос-ти изменения ф-ии в т. M(x,y) введем понятие произ-ой по направлению n. Для этого проведем через т. M(x,y) прямую так, чтобы одно из направлений на ней совпадало с направл-ем вектора n. Возьмем на этой прямой т.М₁(x+x,y+y).

Обозначим длину L=|MM₁|=.

Опр. Производная f(xy) по направлению n в точке М наз.след предел: = f‘_x(x,y)cos+ f‘_y(x,y)cos=. Пусть f(xy) диф-ма в т. М. Тогда = f‘_x(x,y)x+f‘_y(x,y)y + (x,y)x+(x,y)y, где x = Lcos, y = Lcos

Разделим обе части нерав-ва на L. z/L=f‘_x(x,y)cos+f‘_y(x,y)cos+ (x,y)+(x,y). Перейдем в последнем равенстве к пределу при L0.

Градиент.Опр.: Град-том ф-ии z=f(M) в т. M(x,y) наз-ся вектор, координаты кот-го равны соответс-им частным произ-водным в т. M(x,y). gradz=(z/x,z/y). Используя опр-ие grad м. получить след. формулу для производной по напр-ию.z/L=f‘_x(x,y)cos+f‘_y(x,y)cos, L=(cos,cos), z/L= grad z·L=grad z·L cos, z/L= grad z ·cos Градиент ф-ии z=f (x, y) в т. M (x,y) хар-ет направление и величину max-ой скорости изменения и возрастания ф-ии в данной точке.

Билет 30.Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Пусть ф-ция x=f(xy) определена на нек множевстве {М}. Опр.: т.М₀(x₀,y₀) наз-ся точкой лок.max(min), если найдется такая окрестность U(M0),что для люб.т М значение ф-ции f(М)f(М0), (f(М)f(М0)). Т(необ-ое условие экстремума): Если ф-ия z=f(x,y) в точке М₀(x₀,y₀) имеет экст-ремум, то обе частные производные в этой точке равны нулю. Опр.: Точки, в к-ых обе частные производные равны нулю, наз-ся стационарными точками.

Т(достаточное условие экстремума): Пусть ф-ция z=f(xy) определена в нек.окр. в т М0 и пусть в дан.точке частн.произв-е 1го порядка=0. Пусть в дан окр-ти непрерывные частные производные 2го порядка. Рассмотрим величину

35.Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения.

Опр.: Ур-ие вида f(x,y,y’)=0 (1) наз-ся диф-ым ур-ем 1-го порядка, где x – перем-я, y–иско-мая ф-я, y’ – ее производная.Опр.: Поряд-ком диф-го ур-ия наз-ся порядок старшей производной, входящей в него. Если ур-ие (1) можно решить относительно y’, то оно примет вид: y’=f (x,y) (2), к-ое наз-ют диф-ым ур-ем, разрешенным относитель-но произ-ой. Опр. Решение ур-я (2) наз всякая ф-ция y=,кот.при подстановке в ур-е(2) обращает его в тождество, те ’(x)f(x,) Опр. График решения диф-ого ур-я (2) наз интегральн.кривой. Опр. Диф.ур-е y’=f(xy)с задан. начальн. условиями. наз. Задачей Коши.

С геометр-ой точки зрения задача Коши озна-чает, что из множества интегральных кривых области G мы должны выбрать одну, проходящую через данную точку (х₀,у₀). Теорема. Пусть ф-ция f(xy) непрер в нек. обл. G и такая константа L, что для люб пары точек (x,y1), (x,y2)G следует, что |f(x,y1)-f(x,y2)|*|y1-y2| - ур-е Лепшиц.

Общее и частное решение диф-го ур-ия. Опр.: Общим решением ур-ия (2) в области G наз-ся ф-ия y=(x,C), зависящая от неизвестной x и произвольной постоянной С, такая, что С=С0 –фция (x,C) явл-ся решением ур-я (2) и (x0y0) С=С1, такая что U(x,C0) яв-ся решением задачи Коши.Опр.: Частным решением ур-я (2) наз-ся ф-ия y=(x,C0), полученная из общего решения ур-я(1) заменой постоянной с определенным значением. С гео-метр-ой точки зрения частному решению соответствует одна интегральная кривая, а общему – семейство интегральных кри-вых.

36.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Опр.: Ур-ие вида y’=f(x) g(y) наз-ся диф-ым ур-ем с разделяющимися переменны-ми, где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ии. Чтобы решить такое ур-ие нужно разде-лить переменные, т.е. в левой части соб-рать все y, в правой – x. Для этого: 1. за-менить y’ на dy/dx; 2. умножить обе части на dx и разделить обе части на g(y) (g(y)0)

1) dy/dx = f(x)·g(y) ;  dy/ g(y) + C₁=  f(x)dx + C₂

2) dy/g(y) = f(x)dx ;  dy/g (y) =  f(x)dx + C₂-C₁ (C₂-C₁=C).

Однородные ур-ия. Опр.: Ур-ие y’= f(x, y) наз-ся однородным, если ф-я f(x,y) м. б. представлена как ф-я отношения своих аргументов. Схема решения: 1). обозначить y/x=U, y=Ux; 2). y’=U’x+U; 3) подставить y и y’ в данное ур-ие, решить его относительно ф-ии U; 4) сделать обратную замену, т.е. U выразить через x и y.

39. Лин. однородные диф. ур. второго порядка с пост. коэф. Однород.ур-я.(ОУ)

Опр. Линейн.ОУ диф-ные ур-я 2 порядка, с пост.коэф.наз-я ур-е вида

Опр.характеристич.ур-ем соответствующим ур-ю (1), наз-ся ур-е вида:

Т1: Пусть k0-корень хар-рного ур-я(2), кот соотв. Ур-ю (1). Тогда ф-ция

Д-во: имеем +pk0+q=0, подставляем +pk0+q)=0

Т2:Пусть к1,к2-корни хар-ного ур-я(2)

Возможны случаи:

1.Если к1,к2 и к1к2, тогда общ.реш-е ур-я (1)выглядит след. Образом:

2. к1,к2, к1=к2=к. Общее реш-е ур-я(1):

Док-во:

3.Если к1 и к2- комплексные, тогда к1 и к2-сопряженные: к1=(c1

38.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.

Опр: ур-е вида F(x,y,y’,y’’)=0, где х- независимая переменная, у- искомая фун-я, y’,y’’- ее производные, назыв диф ур-ем 2-го порядка. Обычно расматр-ся ур-я, кот. могут быть разрешены от-но y’’, т.е. ур-е вида: y’’=f(x,y,y’) (1) Опр: решением ур-я (1) назыв-ся фун-я y=(x),кот. обращает его в тождество ’’(x)f(x,. Теорема (Коши): Общ.решение ДУ(1): ф-я у=φ(х1,С1,С2) зависящая от х и 2-х произвольных постоянных С1,С2, назыв общим решением ур-я (1). Если она яв-ся решением ур-я (1) при люб-х значениях С1,С2 и если при начал-х условиях сущ-т единственные значения постоянных С1=С1º ,С2=С2º, такие что ф-я у=φ(х,С1º,С2º) удовлетворяет нач-м условиям. Опр: любая ф-я у=φ(х,С1º,С2º) полученная из общего решения ур-я (1) при опред-х значениях постоянных С1 и С2 назыв частным решением ур-я (1). Рассм. 3 случая когда решение ур-я (1) с помощью замены переменной сводится к решению ур-я 1-ого порядка. Такое преобразование ур-я назыв. понижением порядка. 1.Ур-е вида у’’=f (х) (нет у, у’), введем новую ф-цию z (x)=y, y’’=z (x), подставим в ур-е y’’ получим ур-е 1-ого порядка решив к-ое найдем ф-цию z (x) а значит нашли у' и теперь решая ур-е для у’ найдем искомую ф-цию у. y’=x. 2.Ур-е вида y’’=f (x, y’) (нет у) введем вспомогательную ф-цию z (x)=y’, тогда y’’=z (x) подставив все в данное ур-е получим ур-е 1-ого порядка, решив к-ое найдем ф-цию z (x), т.е. y’ и решая ещё раз ур-е найдем искомую ф-цию y’. 3.Ур-е вида y’’=f (y, y’) введем вспомогательную ф-цию z (y) так что y’=z. y’’ = z dz/dy. Подставим в данное ур-е y’’ и y’ и решив его найдем z, т.е. y’ и решив ур-е для y’ найдем y.