1. история развития числа. Множество N,Z Q={p/q},I,R. Обращение периодической дроби в обыкновенную.

Первые числа, которыми люди начали пользоваться в доисторические ещё времена — это

натуральные числа, то есть целые и положительные: 1, 2, 3, . . .

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа

можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица 1.

Числа 21, 249, 30988 являются натуральными.

Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

N = f1; 2; 3; : : :g:

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые

лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых

чисел, которое обозначается Z:

Z = f0; 1; 2; 3; : : :g:

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n 2 Z, и

это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

N Z

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Напомним, что дробь — это часть, доля, выражение вида p=q (где p — целое, а q — натуральное). Например, 1/3 — это «одна часть из трёх», 0; 25 — это двадцать пять сотых. Десятичные дроби также можно записать в виде p=q. Например, 0; 25 = 25=100 = 1=4.

2. Мнимые и комплексные числа. Действие над комплексными числами в алгебраической формуле.

Ко́мпле́ксные чи́сла , — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица^[3].Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры).

Действия над комплексными числами:

• Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

• Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

• Умножение

• Деление

3. общий вид линейного уравнения и его решение. Дробно-рациональное уравнение. Иррациональное уравнение. Уравнение с модулем.

Типы уравнений

• Алгебраические уравнения. Уравнения вида f_n(x) = 0, где f_n(x) – многочлен одной переменной, называются алгебраическими уравнениями.  Многочленом называется выражение вида f_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... +a₁x + a₀ = 0

• Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными.

• Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы.

Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.

• Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. 

• Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах.

Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

Алгебраические уравнения

Линейное уравнение. ax + b = 0  $$(a \ne 0)\Rightarrow x = -\frac{b}{a}$$.

Квадратное уравнение. ax² + bx+ c = 0  $$(a \ne 0)\Rightarrow x_{1}= \frac{-b -\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, x_{2}= \frac{-b +\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$  или по теореме Виета $$x_{1}+ x_{2}= -\frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2}= \frac{c}{a}$$.

Кубическое уравнение. ax³ + bx²+ cx+ d = 0  $$(a \ne 0) \Rightarrow x_{k}=y_{k}-\frac{b}{3a}, k =1, 2, 3$$, где y_k является корнем приведенного кубического уравнения y³ + py + q = 0,  в котором коэффициенты p и q связаны с коэффициентами основного кубического уравнения a, b, c и d соотношениями  $$p = - \frac{1}{3}(\frac{b}{a})^{2}+\frac{c}{a}$$ и $$q = \frac{2}{27}(\frac{b}{a})^{3}-\frac{bc}{3a^{3}} + \frac{d}{a}$$.  Можно решить кубическое уравнение и по теореме Виета $$x_{1}+x_{2}+x_{3}= -\frac{b}{a},\quad x_{1} \cdot x_{2}+x_{1} \cdot x_{3}+x_{2} \cdot x_{3}$$ $$ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=-\frac{d}{a}$$.

Биквадратное уравнение. ax⁴ + bx²+ c = 0 $$(a \ne 0)$$  Заменой y = x² приведем к уравнению ay² + by+ c = 0 $$\Rightarrow x_{1},_{2}= \pm \sqrt{\frac{-b -\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\quad$$  $$ x_{3},_{4}= \pm \sqrt{\frac{-b +\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$$.

Возвратное (алгебраическое) уравнение. ax⁴ + bx³+ cx² + bx + a = 0 $$(a \ne 0)$$  Заменой $$y = x + \frac{1}{x}$$ приведем к уравнению ay² + by+ c - 2a = 0

Уравнение четвертой степени общего вида. ax⁴ + bx³+ cx²+ dx + e = 0 $$(a \ne 0)$$

Двучленное алгебраическое уравнение n-й степени. xⁿ - a = 0 $$\Rightarrow x = \root n \of {a}$$.

Степенное алгебраическое уравнение. ax²ⁿ + bxⁿ+ c = 0 $$(a \ne 0)$$  Заменой y = xⁿ приведем к уравнению ay² + by+ c = 0.

Алгебраическое уравнение n-й степени общего вида. a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0 $$(a \ne 0)$$.  Можно решить по обобщенной теореме Виета $$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+ x_{n}= - \frac{a_{n-1}}{a_{n}}$$; $$\quad$$  $$x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} +...+ x_{n-1} \cdot x_{n} =\frac{a_{n-2}}{a_{n}}$$; $$\quad$$ $$x_{1} \cdot x_{2}\cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2}\cdot x_{4} +...+ x_{n-2} \cdot x_{n-1}\cdot x_{n} = - \frac{a_{n-3}}{a_{n}}$$ и так далее и наконец $$x_{1} \cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot... \cdot x_{n} = (-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$$.

Рациональные уравнения являются более сложные алгебраические уравнения.

Функция f (x) называется рациональной ( дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов: $$f(x) = \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$ (степени n и m многочленов могут быть произвольными).

Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным , если f (x) и g(x) являются дробно-рациональными функциями.