ponomareva_i_n_podzemnaya_gidromehanika

2.9. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ К ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ НЕСОВЕРШЕННЫМ СКВАЖИНАМ

На рис. 10 схематично изображен пласт толщиной h, вскрытый пятью скважинами.

Скважина 1 вскрывает пласт на всю его толщину. Эксплуатационная колонна спущена до кровли, то есть в продуктивном интервале скважина сообщается с пластом по всей его толщине (работает с так называемым открытым забоем). Такая скважина называется гидродинамически совершенной.

Скважина 2 вскрывает пласт не на всю толщину, а лишь на какую-то часть b. При этом она также работает с открытым забоем. Скважина 2 является гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта.

Скважина 3 вскрывает пласт на всю толщину, но, в отличие от скважины 1, в интервале продуктивного пласта она обсажена эксплуатационной колонной. С целью создания каналов сообщения производится вторичное вскрытие пласта в скважине. Участок трубы с перфорационными отверстиями называется фильтром. Скважина 3 гидродинамически несовершенна по характеру вскрытия пласта.

Скважины 4 и 5 обладают обоими видами гидродинамическогонесовершенства: ипостепени, ипохарактерувскрытияпласта.

Рис. 10. Схемы гидродинамически совершенной и несовершенных скважин

31

При движении жидкости к гидродинамически несовершенным скважинам линии тока искривляются (рис. 11, 12), что обусловливает появление дополнительных фильтрационных сопротивлений. Общее фильтрационное сопротивление движению жидкости к гидродинамически несовершенной скважине R состоит из основного и дополнительного фильтрационных сопротивлений: R = Rосн + Rдоп.

Рис. 11. Схема притока жидкости к скважине, несовершенной по степени вскрытия пласта

Рис. 12. Схема притока жидкости к скважине, несовершенной по характеру вскрытия пласта

32

Дебит гидродинамически несовершенной скважины можно определить по формуле

Q =	2πkh		Рк − Рс		,	(59)
µ			ln r	r + C
			к	c

где С – безразмерный коэффициент (параметр), учитывающий гидродинамическое несовершенство скважины.

Гидродинамическое несовершенство скважины по степени вскрытия пласта учитывается коэффициентом С1, по характеру вскрытия – С2.

В общем случае, когда скважина несовершенна и по степени, и по характеру вскрытия,

C = C +	1	C		+ 2,3	1 − δ	,	(60)
					δ
1	δ		2

где δ – относительное вскрытие пласта (доля вскрытой части пласта b в его общей толщине h).

Коэффициенты С1 и С2 можно определить по графикам В.И. Щурова (прил. 5) и по аппроксимирующим эти графики формулам, полученным А.А. Мордвиновым:

C1 = 7,86 (0, 3 ln 2 δ − 0, 25 ln δ)×

h

2

h

(61)

×

0, 03+ 0,14

ln

+

0, 04

ln

,

D

D

l

2

l

C2 = 3,58 0,34

− 0,3 ln

к

+ 0,17 ln

к

×

D

D

× (2,07− 1,64 ln nD+

0, 41

ln2 nD)×

(62)

0,3− 0, 24

d

к

+ 0, 01 ln

2

d

к

×

ln

− 1,

D

D

где D – диаметр скважины; lк – глубина перфорационных каналов; n – плотность перфорации (количество перфорационных

33

отверстий, приходящееся на единицу вскрытой толщины пласта); dк – диаметр перфорационных каналов.

По формуле А.М. Пирвердяна,

		h	−1		1				b
C =								ln		−1 .	(63)
1						rc
	b								rc
					1 −	b

Несовершенство скважины можно выразить через ее так называемый приведенный радиус rпр:

r = r e−C .
пр	(64)

Приведенный радиус несовершенной скважины – это радиус такой фиктивной гидродинамически совершенной скважины, дебит которой равен дебиту несовершенной скважины.

Формулу (59) можно записать в виде:

	Q =			Рк − Рс				=
			µ	(ln rк
			2πkh		rc + C )
						(65)
=		Рк − Рс				=	Рк − Рс		,
	µ
		ln rк rc +		µ	C		Rосн + Rдоп
	2πkh			2πkh

где первое слагаемое знаменателя – основное, второе слагаемое – дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные гидродинамическим несовершенством скважины:

Rосн =		µ
	2πkh ln rк rc				,	(66)
R	=	µ		С.		(67)
			2πkh
доп

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ.

НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Для процессов, происходящих в нефтяных и газовых пластах, зависимость различных параметров от времени существенна. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Задачи неустановившегося движения жидкости и газа в пласте решаются методами математической физики. Для этого составляютсяи интегрируютсядифференциальные уравнения.

К основным дифференциальным уравнениям подземной гидромеханики относятся уравнение неразрывности и уравнение движения.

Уравнение неразрывности представляет собой уравнение баланса массы в элементарном объеме пористой среды:

∂ (ρvx )	+	∂ (ρvy )	+	∂		(ρvz )	= −m	∂ ρ		(68)
									,
∂ x		∂ y				∂ z
							∂	t

где ρ – плотность жидкости; vx, vy, vz – проекции скорости фильтрации на соответствующие оси координат; m – коэффициент пористости.

Дифференциальное уравнение движения упругой (сжимаемой) капельной жидкости:

∂ 2 P ∂ 2 P ∂				2 P 1∂				P
	+		+		=				,	(69)
∂ x2	∂ y2		∂	z2 χ∂				t

где χ – коэффициент пьезопроводности, характеризующий скорость перераспределения давления в пласте, м2/с.

Коэффициент пьезопроводности определяется по формуле, предложенной В.Н. Щелкачевым:

35

χ =	k		(70)
	µ (mβж + βп ) ,

где βж, βп – соответственно коэффициенты объемного сжатия жидкости и горной породы.

Формула (69) называется уравнением пьезопроводности. По аналогии с известным уравнением теплопроводности данное уравнение также называют уравнением Фурье.

Для установившегося потока справедлив частный случай уравнения Фурье – уравнение Лапласа:

∂ 2 P		∂ 2 P ∂ 2 P
	+			+		= 0.
∂ x2		∂ y2		∂ z2

Частные случаи уравнения Лапласа:

– одномерный поток:

∂2 P = 0;

∂x2

–плоскорадиальный поток:

∂ 2 P		1 ∂			P
	+					= 0.
∂ r2		r	∂		r

3.1.НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ (СЖИМАЕМОЙ) КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

ПРИ РАБОТЕ СКВАЖИН С ПОСТОЯННЫМ ДЕБИТОМ

(71)

(72)

(73)

В неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина, размерами (радиусом) которой можно пренебречь (точечный сток). Начальное пластовое давление для всего пласта одинаково и равно Р0. В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом q. В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления

36

в пласте можно определить путем интегрирования уравнения Фурье, которое дляплоскорадиального потоказаписывается в виде

∂ 2 P

1 ∂

P

1 ∂

P

+

=

∂

.

(74)

∂ r 2

r

∂

r

χ

t

В результате решения данного уравнения получена фор-

мула, названная основным уравнением упругого режима:

P (r,t ) = Р

−

qµ

−Ei

−

r 2

,

(75)

0

4πkh

4χt

где −Ei (−x) – интегральная экспоненциальная функция (данная

функция табулирована); r – расстояние от скважины до точки, в которой определяется давление Р.

Формула (75) имеет широкое практическое применение и, в частности, используется при интерпретации результатов

гидродинамических исследований скважин.
При малых значениях аргумента −						r 2		< 1 для интеграль-
						4χt
ной экспоненциальной функции можно записать:
−Ei (−x ) = ln		1	− 0,5772.						(76)
		x
С учетом (76) основное уравнение упругого режима запи-
сывают в виде
P (r, t ) = Р0 −	qµ			2, 246χt					(77)
			ln				.
	4πkh			r	2

3.2. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ ПРИ РАБОТЕ СКВАЖИН С ПЕРЕМЕННЫМ ДЕБИТОМ

Основное уравнение упругого режима, полученное при условии постоянного дебита, можно распространить и на другие случаи, в том числе на работу скважины с переменным дебитом.

37

В этом случае такая скважина заменяется на группу взаимодействующих фиктивных скважин, работающих с постоянными дебитами и расположенных в одной точке пласта, совпадающей с местоположением реальной скважины. Дебиты фиктивных скважин определяются как разница между последующим и предыдущим дебитами реальной скважины, а продолжительность работы таких скважин определяется с момента изменения дебита реальной скважины до окончания ее работы.

Изменение давления в любой точке пласта, вызванное работой скважины с переменным дебитом, определится по формуле

n
∆ P= ∑∆ Pi ,	(78)
i =1
где n – количество фиктивных скважин; ∆ Pi	– изменение давления,

вызванное работой i-й фиктивной скважины, заменяющей работу

реальной скважины при изменении еедебитас qi −1 до qi										:
	µ					r	2
∆ P=		(q −	q	) −	Ei −				,	(79)
i	4πkh	i	i −1			4χti
где ti – время работы i-й фиктивной скважины:
				i −1
		ti = T − ∑ti ,								(80)
				1

где Т – полное время работы реальной скважины.

3.3. ИССЛЕДОВАНИЕ СКВАЖИН МЕТОДОМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ

На основе уравнения упругого режима разработан метод определения фильтрационных параметров пласта– метод восстановления давления. В скважину, работающую при установившемся режиме с дебитом q, спускается глубинный манометр. Скважина останавливается, забойное давление восстанавливается до величины

38

пластового давления. Процесс восстановления забойного давления регистрируется манометром. По результатам измерений строится график(рис. 13) – криваявосстановлениядавления(КВД).

Рис. 13. КВД в координатах Р – t

Процесс восстановления давления в скважине можно описать основным уравнением упругого режима. Для удобства записывают данное уравнение в виде формулы (77), которая преобразуется следующим образом:

qµ

2, 246χt

qµ

2, 246χ

qµ

∆ Рс=

ln

=

ln

+

ln t

(81)

2

2

4πkh

rc

4πkh

rc

4πkh

или

			∆ Рс=		A+ B ln t,			(82)
где А=	qµ	ln	2, 246χ	; В =		qµ	.
	4πkh
			rc2			4πkh
Формула (82) является уравнением прямой линии в коор-
динатах ∆ P,		ln t с угловым коэффициентом В и отсекаемым на

оси ординат отрезком А (рис. 14). На практике форма КВД искажается из-за продолжающегося притока жидкости в скважину после ее остановки (немгновенная остановка скважины), изме-

39

нения характеристик пласта в околоскважинной зоне (ОЗП) и др. Эти факторы, как правило, влияют на форму начального участка кривой, который следует исключать из обработки.

Рис. 14. КВД в координатах ∆ Р, ln t

Обработка кривой восстановления давления производится следующим образом:

1.Строится график КВД в координатах Р – t (см. рис. 13).

2.СтроитсяграфикКВДвкоординатах ∆ P− ln t (см. рис. 14).

3.На КВД в координатах ∆ P, ln t выделяется прямолиней-

ный участок.

4. Определяется уклон выделенного прямолинейного участка (коэффициент В) по координатам точек, соответствующих началу и концу этого участка

В =	y2	− y1	.	(83)
	x2	− x1

5. Определяется гидропроводность пласта (удаленная часть):

ε =	q	.	(84)
4πB

6. Определяется проницаемость пласта (удаленная часть):

k =	ε µ	.	(85)
	h