Для подобной модели несложно также составить и решить уравнения, описывающие изменения среднего числа частиц A и B, подобно уравнениям (1), (2).

Стоит также отметить близость рассматривавшейся задачи к задаче о радиоактивном распаде атомных ядер (для перехода к ней нужно понимать под x время, прошедшее с начала наблюдения).

Задание 2. Добавьте в модель поглощение частиц B и обратные переходы B в A.

9.3. Потери энергии

Теперь перейдем к моделированию потерь энергии тяжелыми частицами A при прохождении слоя газа, состоящего из легких.

Обозначим массу легкой частицы (O) m, массу тяжелой (A) M, ее скорость V , а энергию E (m M).

Оценка, приведенная ниже, показывает, что отклонение траектории частицы A от прямой будет невелико даже при значительной потере энергии. Поэтому будем контролировать прохождения частицей слоя газа тем же способом, что и раньше.

Покажем, как можно моделировать потери энергии. Обозначим полное сечение соударений σ, а дифференциальное сечение потери энергии dσ/dε = F (E, ε), где E – энергия частицы перед столкновением, а ε – потеря энергии при столкновении.

Сначала следует определить, как и в предыдущих случаях, произошло ли на данном участке dX столкновение. Если же оно произошло, то следует разыграть, какова именно величина потери энергии. Эта операция производится методом браковки, описанным в Приложении D.

..........................................

ra=rand(size(k));

ka=find(ra-Na*Sect*dX< 0);% Номера рассеявшихся частиц

for ii=ka % Цикл по рассеявшимся на этом шаге частицам

%Генерация случайной величины потерянной энергии,

%распределенной с плотностью вероятности F(E,eps)

while 1	% Бесконечный цикл, выход с помощью break
eps(ii)=epsmax*rand;	% Выбор величины потери энергии
if Fmax*rand < F(E(ii),eps(ii))
break;
end;	% Конец if

69

end;	% Конец while
E(ii)=E(ii)-eps(ii);	% Вычисление потери энергии
end;	% Конец for

..........................................

Здесь epsmax=εmax – максимально возможное значение потери энергии, а Fmax =Fmax – число, не меньшее, чем максимум функции F (E, ε).

При столкновениях упругих шариков реализуется особый случай: функция F (E, ε) во всем интервале 0 < ε < εmax фактически от ε не зависит (εmax = 4mME/(m+ M)2 ≈ 4(m/M)E) (см. [7, §18, задача 2]). В этом случае вместо приведенного выше цикла while - end следует сохранить только отмеченную комментарием строчку вычисления случайной потери энергии.

При столкновениях заряженных частиц F (E, ε) неограниченно возрастает при ε → 0. Это связано с очень слабым рассеянием при больших прицельных параметрах. В таком случае можно ввести добавочное ограничение, выбрав какое-то значение εmin и отказавшись от учета меньших ε. Тогда Fmax = F (E, εmin).

С точки зрения физического смысла задачи величины ρ и ε должны быть ограничены по ряду причин: при больших прицельных параметрах во взаимодействиях заряженных частиц существенно влияние других частиц, небольшие потери энергии не заметны на фоне неизбежного разброса энергий начального пучка и т.п. С точки зрения построения моделирующей программы в предлагаемом способе моделирования также не обойтись без такого ограничения. Но если окажется, что полная величина потери, которая при ε < εmin могла бы быть мала в сравнении с характерной точностью, принятой при анализе распределения по энергиям εminXmax/dX E/l, то малые значения ε заведомо можно не учитывать. В то же время ставить границу εmin слишком низко невыгодно, так как это приведет к замедлению выбора ε: слишком малую долю будет составлять площадь под кривой F (E, ε) от площади прямоугольника εmin < ε < εmax, 0 < F < Fmax.

Задание 3. Определите распределение по энергиям частиц, прошедших слой Xmax. Предлагается два варианта:

•частицы - абсолютно упругие шарики;

•частицы - заряженные точки, взаимодействующие по закону Кулона U = α/r. Для этого понадобится выражение для дифференциального эффективного сечения потери энергии при столкновении частиц, которое можно взять в [7, §19]:

dσ	=	2πα2M	при ε < εmax = 4	m
					E.
dε		mEε2		M

70

Заметим, что в этой задаче, в отличие от предыдущих, моделирование заведомо является самым простым способом исследования.

9.4. Распределение по углам и энергиям

Сначала сделаем грубую оценку, показывающую, что даже при значительной потере энергии можно пренебречь отклонением направления движения частиц A от первоначального. Оценка основана на том, что при каждом соударении угол отклонения изменяется мало, причем направление движения может как удаляться от первоначального, так и приближаться к нему.

При столкновении легкая частица получает скорость порядка V , т.е. импульс p ≈ mV и энергию порядка ε ≈ mV2 2 . Частица потеряет энергию порядка первоначальной за N ≈ M2V 2 /ε ≈ M/m соударений. Угол отклонения тяжелой частицы при одном столкновении θ1 ≈ p/MV ≈ m/M. Отклонения при разных столкновениях происходят в разные стороны по случайным направлениям, поэтому

складываются не углы, а их квадраты – в плоскости (V , V ) происходит диффу-

√ y z

зия. Тогда угол отклонения за N соударений θ ≈ θ1 N ≈ m/M 1. Задавать направление движения частицы можно полярными углами вектора ее

скорости θ и ϕ. Однако удобнее будет ввести углы θy = θ cos ϕ ≈ Vy/V и θz =

θ sin ϕ ≈ Vz/V .

Чтобы моделировать отклонение направления скорости частицы при многократных столкновениях, следует воспользоваться дифференциальным эффективным сечением рассеяния на данный угол dσdθ = f(θ)33.

Поскольку мы принимаем углы θ небольшими, каждый добавочный угол отклонения θ1 можно разыгрывать так же, как первое отклонение от первоначального направления вдоль оси X.

Кроме того, следует произвести также выбор азимутального угла ϕ нового отклонения34:

.................

phi = 2*pi*rand;

.................

33Другой вариант расчета основан на том, что угол отклонения частицы в лабораторной системе отсчета θ, угол в системе центра масс χ и потеря энергии ε связаны друг с другом простыми соотношениями (см. [7, §17]). Поэтому можно сначала «разыграть» χ , а затем вычислить ε и θ (либо наоборот, разыграть ε, а затем вычислить χ и θ).

34Если частицы A или B определенным образом ориентированы и взаимодействие их не

сводится к центральному полю, то возможна зависимость дифференциального эффективного сечения от угла ϕ. Тогда этот угол также следует разыгрывать методом браковки.

71