Р5Т1

ТолмачеваН.И.

Раздел 5. Мезомасштабное взаимодействие атмосферы и океана Тема 1. Планетарный пограничный слой и определение его толщины

1. Планетарный пограничный слой (ППС)

Планетарным пограничным слоем называется область течения в газообразной и жидкой оболочке вращающейся Земли, образующаяся в результате действия сил градиента давления, турбулентного трения и Кориолиса.

Рассмотрим составляющие средней скорости u, v и скорости геострофического течения

Ug 1 p Gcos , f y

1 p

Vg f x Gsin ,

где G — модуль скорости геострофического течения, — угол между изобарой и осью х, р и — среднее давление и плотность, f — параметр Кориолиса, х, у — оси декартовой системы координат.

Определим толщину hE планетарного пограничного слоя так, чтобы относительное отклонение средней скорости от геострофической на уровне z = hE не превышало некоторого заданного значения , т.е.

			1
1	(Ug	u)2 (Vg	v)2 2	.
G			z hE

Вертикальный масштаб планетарного пограничного слоя зависит от скорости трения u и параметра Кориолиса f, учитывая размерности, получаем формулу Россби-Монтгомери

hE	u	(1)
	f

где — безразмерный множитель, варьирующий пределах от 0,1 до 0,4. При = 0,4 толщина планетарного пограничного слоя составляет в

умеренных широтах около 1000 м, что на порядок меньше толщины тропосферы. Другой способ определения hE осуществляется в предположении, что ППС остается гидродинамически устойчивым до тех пор, пока эффективное число Рейнольдса

ReE GhE ,

kE

где kE — некоторое эффективное значение коэффициента турбулентной вязкости, не превышает критического числа Рейнольдса Rekr для ламинарного пограничного слоя. Если теперь по аналогии с ламинарным

							1
пограничным слоем принять h		2k		E			2	и разрешить это равенство
E			f

1

относительно kE, то для толщины планетарного пограничного слоя будем иметь

h

2G

.

(2)

E

f Rekr

Анализ оценок в (1-2), ориентировочный, т.к ф-лы не учитывают особенности структуры планетарного пограничного слоя, обусловленные влиянием стратификации. Вспомним, что существует два вида турбулентности — динамическая и конвективная, порождаемые работой напряжений Рейнольдса и работой сил плавучести.

В приземном слое атмосферы динамическая турбулентность преобладает при сильном ветре, конвективная — при сильном нагревании подстилающей поверхности. По мере удаления от подстилающей поверхности динамическая турбулентность убывает быстрее конвективной, в результате чего именно конвективная турбулентность определяет толщину планетарного пограничного слоя над сушей. В этом случае верхняя граница ППС отождествляется с нижней границей слоя высотной инверсии, до которой распространяется нагревание атмосферы.

При стратификации, отличной от нейтральной, структура планетарного

пограничного слоя должна определяется теми же параметрами u , H , , что

cp

и структура приземного слоя. Только еще добавляется параметр Кориолиса f. Из этого набора, кроме масштаба длины Монина-Обухова L, можно

составить еще один масштаб длины u (где постоянная Кармана) и f

безразмерную комбинацию

2

H

/ cp

, имеющую смысл

f

L

u2

безразмерного параметра стратификации.

Следовательно,

1

h

u

(

),

(3)

f

E

0

где ( 0) — универсальная функция, равная 1 при нейтральной стратификации ( 0 = 0).

1.2. Определение толщины, слои ППС

Уточним выражение для hE, вид функции ( 0) в режиме неустойчивой стратификации. Для этого режима в пределах планетарного пограничного слоя выделяется приземный слой, слой свободной конвекции, слой перемешивания и вовлечения. В приземном слое, где преобладает динамическая турбулентность, определяющими параметрами являются u ,

H , z, , характерными масштабами скорости и температуры u , T (теория

cp

подобия Монина-Обухова). Соответственно безразмерные вертикальные

2

градиенты средней скорости и температуры, образованные нормировкой их размерных выражений на u , T , представляют собой универсальные функции

безразмерной высоты z .

L

По результатам обработки данных пульсационных и градиентных измерений, приземный слой при сильно неустойчивой стратификации ограничен высотами z 0,07L . Высота z 0,07L служит нижней границей

слоя свободной конвенции, в которой динамическая турбулентность становится пренебрежимо малой по сравнению с конвективной турбулентностью. Структура этого слоя определяется тремя параметрами —

H , z, . Составленные из них масштабы скорости w и температуры Т

cp

имеют вид

	z H				1		H / cp
					3	, Т		.
w
		c					w
			p

Согласно теории подобия Монина-Обухова образуемые нормировкой на w и Т , безразмерные профили средней скорости и температуры остаются неизменными по высоте, это условие, выполняющееся до z L . Выше этой

высоты находится перемешанный слой, его структура не зависит ни от u , ни

от z и определяется только H , , f. Характерным масштабом длины в этом

cp

1

z H 3

случае является hE, а масштабами скорости и температуры w и

cp

Т		H / cp	. Соответственно безразмерные вертикальные градиенты средней
		w

скорости и температуры представляют собой функции только от z . hE

Перемешанный слой простирается до высоты z = 0,8hE.

В интервале высот от 0,8hE до 1,2hE располагается слой вовлечения (промежуточный слой между ППС и свободной атмосферой). Структура этого слоя определяется скоростью вовлечения, характеризующей интенсивность проникновения турбулентности из слоя свободной конвекции в нетурбулентную инверсионную область, ее гидростатической устойчивостью и условиями в свободной атмосфере.

Оценку толщины планетарного пограничного слоя при сильной гидростатической неустойчивости (больших отрицательных значениях 0) можно получить, если отказаться от учета эффектов вовлечения и допустить,

что hE определяется только тремя параметрами H , , f . В этом случае на

cp

основании соображений размерности

3

				1								1
		H 2						3
											)2 .			(4)
h	~					f	2		~ (
E										0
		cp

Подчеркнем, что многослойная структура присуща главным образом конвективному планетарному пограничному слою над сушей, типичная толщина которого превышает масштаб длины Монина-Обухова в 50-100 раз.

Над океаном отношение hE намного меньше (кроме областей образования

L

холодных глубинных вод в Норвежском, Гренладском морях, море Уэдделла). В подобной ситуации возможность пренебрежения динамической турбулентностью и, следовательно, исключение из числа параметров, определяющих структуру слоя свободной конвекции и перемешанного слоя, динамической скорости u вызывает сомнение. Что можно устранить, перейдя к описанию конвективного планетарного пограничного слоя над океаном (в рамках общего подхода) сохранив в числе определяющих

параметров u и hE.

В условиях сильно устойчивой стратификации толщина слоя, охваченного турбулентностью динамического происхождения, составляет 100 м. Выше располагается слой, в формировании структуры которого важную роль играет радиационный приток тепла, создаваемый длинноволновым излучением подстилающей поверхности и прилегающего к ней нижнего слоя атмосферы.

Если отождествить толщину планетарного пограничного слоя с толщиной слоя приземной инверсии, то она может оказаться много больше, чем вертикальная протяженность слоя преобладания динамической турбулентности, что следует учитывать при оценке выражения

							1							1
		2			H		2				1
													)2 .
h	~ u								f	2		~ (
E												0
					cp

Оно получено в предположении о том, что hE определяется только

(5)

H , , f.

cp

Из-за подавления турбулентности и ослабления интенсивности перемешивания реакция устойчиво стратифицированного планетарного пограничного слоя на изменение внешних параметров замедляется. Используемое при выводе (5) условие квазистационарности планетарного пограничного слоя может не выполняться, выходом является замена диагностического соотношения (5) эволюционным уравнением для толщины ППС.

Проблема замыкания. Рассмотрим стационарный, горизонтально однородный планетарный пограничный слой при параллельных, равноотстоящих друг от друга изобарах. Предположим, что горизонтальные градиенты давления и плотности (кроме случаев, когда она входит в комбинации с ускорением свободного падения), равны в пределах планетарного пограничного слоя средним значениям. С учетом предположений, отбрасывания малых членов (характеризующих эффект

4

молекулярной вязкости) уравнения для составляющих средней скорости u, v записываются в виде

		1 p			fv					,	(1а)
		x				z		u w 0
		1 p			fu					,	(2а)
		y				z		v w 0

где u w , v w — нормированные на среднюю плотность компоненты напряжений Рейнольдса; остальные обозначения прежние. Дополним (1а), (2а) эволюционными уравнениями для средней температуры Т

T
		wT		,	(3а)
t		z

средней массовой доли влаги q

q		wq	,	(4а)
t
		z

уравнением неразрывности

u v w 0, (5а)x y z

уравнением статики
	p	g ,	(6а)
	z

состояния влажного воздуха

pR T(1 0,61q). (7а)

Вуравнениях (3а-4а) пренебрегли молекулярной диффузией, источниками и стоками тепла, влаги, но сохранили, в отличие от (1а-2а) члены описывающие эффект нестационарности, т.к в противном случае удовлетворить условию обращения в нуль турбулентных потоков тепла u T

ивлаги u q на верхней границе планетарного пограничного слоя (как требует

определение) не представляется возможным.

Наиболее удобным является усреднение по ансамблю (бесконечному множеству независимых реализаций), обладающее следующими двумя

свойствами: uiuj

uiuj

, uiuj

uiuj

0. Реализовать такое усреднение на

практике трудно, поэтому привлекают эргодическую гипотезу, т.е. предполагают, что течение является статистически стационарным и что, поскольку в этом случае средние по ансамблю значения не изменяются во времени, усреднение по ансамблю эквивалентно усреднению по времени. Период усреднения выбирается наибольшим из временных интервалов, при котором среднее во времени приближается к его устойчивому стационарному значению с некоторой допустимой точностью. Чтобы это условие выполнялось, спектр исследуемого процесса должен содержать глубокий минимум, отделяющий высокочастотные турбулентные пульсации от низкочастотных колебаний синоптического происхождения. Тогда выбор любого периода усреднения из области спектрального минимума обеспечит фильтрацию высокочастотных пульсаций, и не будет вносить искажений за

5

счет низкочастотных колебаний. Подобный минимум присутствует в спектрах скорости ветра, температуры в приводном и приземном слоях атмосферы над горизонтально однородной подстилающей поверхностью (приближен к периоду порядка часа). Он отсутствует в спектрах метеорологических элементов в верхней части планетарного пограничного слоя и в приземном слое над горизонтально неоднородной подстилающей поверхностью.

Обратимся к системе (1а-2а), отметим, что она содержит 7 уравнений и

11 неизвестных — u, v, w, р, , T, q, u w , v w , wT , w q Таким образом, система (1а-7а), описывающая усредненное (по Рейнольдсу) движение в планетарном пограничном слое, оказывается незамкнутой из-за появления

ковариаций u w , v w , wT , w q . Если составить для них дополнительные уравнения возникнут новые неизвестные — третьи моменты. Процедуру можно продолжить, и каждый раз в уравнениях будут появляться новые неизвестные, моменты более высоких порядков.

Строгое в математическом смысле замыкание системы уравнений для турбулентного движения, в том числе для движения в ППС невозможно, связанная с этим проблема и есть проблема замыкания. Решение ее сводится к использованию некоторых предположений, позволяющих выразить моменты более высокого порядка через моменты более низкого порядка или характеристики среднего течения. Подобного рода замыкания называются замыканиями второго и первого порядков.

Замыкание первого порядка основано на аналогии между турбулентным и ламинарным движением. Компоненты вертикального турбулентного потока импульса u w , v w можно представить в виде произведений коэффициента турбулентной вязкости kM на вертикальный

градиент соответствующей составляющей средней скорости

u

,

v

, т.е

u

z

z

u

w kM

,

(8а)

z

v

.

(9а)

v w kM

z

Так же и вертикальный турбулентный поток любой другой субстанции

со средней концентрацией с определяется как

с

,

(10а)

w с

kС

z

где kC коэффициент турбулентной диффузии. В отличие от коэффициентов кинематической молекулярной вязкости и диффузии , коэффициенты kM ,kC не являются собственно параметрами жидкости.

Таким образом, дальнейшая задача заключается в установлении связи коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии с локальными характеристиками среднего течения (первым эта проблема была затронута Прандтлем).

Суть замыкания второго порядка состоит в том, что составляющие напряжений Рейнольдса и турбулентные потоки скалярных субстанций не

6

аппроксимируются формулами градиентного типа, лежащими в основе замыкания первого порядка (К-теория), а считаются новыми неизвестными, определяемыми из уравнений для ковариаций. Попытка удовлетворить указанным требованиям приводит к чрезвычайно сложным схемам параметризации, мало пригодным в конкретных расчетах. В настоящее время целесообразно использовать более простые схемы параметризации.

7