Цифровая схемотехника

1. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

1.1. Задание функций алгебры логики

Простые высказывания в алгебре логики будем называть аргументами, а сложные – функциями. И аргументы и функции принимают лишь одно из двух возможных значений: “ложь” и “истина”, чаще обозначаемые как “логический 0” и “логическая 1”. Обозначения 0 и 1 не выражают здесь никаких количественных соотношений, так как являются не числами, а символами. Сложные высказывания, в свою очередь, могут быть аргументами других сложных высказываний, т.е. в алгебре логики справедлив принцип суперпозиции.

Ограниченность значений аргументов приводит к тому, что и область определения любой функции тоже ограничена. Для функции n аргументов возможно всего 2n разных вариантов (или наборов) значений аргументов. Таким образом, любую функцию можно задать, перечислив все ее возможные значения на всех наборах аргументов.

Для задания функций алгебры логики используются специальные таблицы – таблицы истинности. В левой части таблиц обычно перечисляют все наборы значений аргументов функции, а в правой части – значения функции на этих наборах. Число строк в таблице равно числу наборов аргументов. Для удобства слева добавляют еще один столбец с номером набора N.

Например, функция алгебры логики двух аргументов f1 = f1(x1,x2) будет определена на четырѐх наборах, а функция трех аргументов f2 = f2(x1,x2,x3) – на восьми наборах (табл 1.1).

Табл. 1.1

N	x1	x2	f1		N	x1	x2	x3	f2
0	0	0	0		0	0	0	0	0
1	0	1	1		1	0	0	1	1
2	1	0	1		2	0	1	0	0
3	1	1	0		3	0	1	1	0
					4	1	0	0	1
					5	1	0	1	1
					6	1	1	0	0
					7	1	1	1	1

Для задания функций можно использовать и более короткую запись, так называемое числовое задание. В первом варианте (1.1) по-

4

Комбинационные схемы

сле знака V, под которым стоит цифра 1, в скобках перечисляются номера наборов, на которых функция равна 1.

(й,ц)ър(1,2)

(1.1)

щ(й,ц,у,к)ър(1,4,5,7)

Во втором варианте (1.2) после знака &, под которым стоит цифра 0, в скобках перечисляются номера наборов, на которых функция равна 0.

ш(й,ц)ъР(0,3)	(1.2)
щ(й,ц,у,к)ъР(0,2,3,6)
1.2. Операции алгебры логики
Если две функции алгебры логики	ш(йиеn) и щ(йиеn) прини-

мают на всех возможных наборах аргументов одинаковые значения, то функции ши щ называются равносильными:

ш(йиеn)ъщ(йиеn)

(1.3)

Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргу-

ментов конечно и равно 22n. Из этого множества функций выделяют некоторые, так называемые элементарные функции (или операции), с помощью которых можно записать аналитически любую другую функцию алгебры логики.

1.2.1. Операция отрицание

Простейшей операцией алгебры логики является операция отрицание. Иначе эта операция называется операцией НЕ или инверсией и обозначается

x или п

Когда логическая переменная е равна 0, то п равно 1, и наоборот. Таблица истинности операции отрицания приведена ниже

(табл. 1.2):

Табл. 1.2

е п

01

10

1.2.2.Операция дизъюнкция

Операция дизъюнкция (иначе называемая операцией ИЛИ, реже логическим сложением) определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком v или знаком +, например, Х1 v Х2. Результат операции дизъюнкции истинен, когда хотя бы одно из вхо-

5

Цифровая схемотехника

дящих в него высказываний истинно. Если все аргументы ложны, то и результат операции будет ложен (табл. 1.3).

							Табл. 1.3
й	ц	ймц		й	ц	у	ймцму
0	0	0		0	0	0	0
0	1	1		0	0	1	1
1	0	1		0	1	0	1
1	1	1		0	1	1	1
				1	0	0	1
				1	0	1	1
				1	1	0	1
				1	1	1	1

1.2.3. Операция конъюнкция

Операция конъюнкция (иначе называемая операцией И, реже логическим умножением) также определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком & или значком умножения (точкой) или совсем опускается, например, Х1 & Х2 или Х1 Х2. Результат операции конъюнкции истинен, когда все входящие в него высказывания истинны, и ложен в противном случае (табл. 1.4).

Табл. 1.4

й	ц	йсц		й	ц	у	йсцсу
0	0	0		0	0	0	0
0	1	0		0	0	1	0
1	0	0		0	1	0	0
1	1	1		0	1	1	0
				1	0	0	0
				1	0	1	0
				1	1	0	0
				1	1	1	1

Операции дизъюнкция, конъюнкция и отрицание чаще всего используются в алгебре логики для записи и упрощения функций алгебры логики. Но в цифровой схемотехнике удобнее использовать логические элементы, реализующие другие логические операции. В первую очередь это операции И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

1.2.4. Операция стрелка Пирса

Операция стрелка Пирса (иначе называемая операцией ИЛИ-НЕ) определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком ↓ , например, Х1 ↓ Х2. Результат операции стрелка Пирса ло-

6

Комбинационные схемы

жен, когда хотя бы одно из входящих в него высказываний истинно. Если все аргументы ложны, то результат операции будет истинен (табл. 1.5)

							Табл. 1.5
й	ц	йлц		й	ц	у	йлцлу
0	0	1		0	0	0	1
0	1	0		0	0	1	0
1	0	0		0	1	0	0
1	1	0		0	1	1	0
				1	0	0	0
				1	0	1	0
				1	1	0	0
				1	1	1	0

1.2.5. Операция штрих Шеффера

Операция штрих Шеффера (иначе называемая операцией И-НЕ) также определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком │ , например, Х1 │ Х2 . Результат операции штрих Шеффера ложен, когда все входящие в него высказывания истинны и истинен в противном случае (табл. 1.6)

							Табл. 1.6
x1	x2	x1 │ x2		x1	x2	x3	x1 │ x2 │ x3
0	0	1		0	0	0	1
0	1	1		0	0	1	1
1	0	1		0	1	0	1
1	1	0		0	1	1	1
				1	0	0	1
				1	0	1	1
				1	1	0	1
				1	1	1	0

Операции отрицание, дизъюнкция, конъюнкция можно выразить через операцию стрелка Пирса или через операцию штрих Шеффера. Логические элементы И-НЕ (реализующие операцию штрих Шеффера) чаще всего используются в цифровой схемотехнике для создания простых схем.

7