14.Дин. сист. с 1 ст. своб

Лекция 14

Системы с одной степенью свободы

1. Математическая модель

Податливость определяется аналитически или численно. Ее определение не представляет проблемы да же в сложных конструкциях. Так как есть множество расчетных пакетов для статики. Мера инерции – масса или момент инерции массы также легко определяется расчетом или экспериментально (см. теоретическую механику). Для многих типовых конструкций перемещения (т.е. податливости) приводятся в справочниках.

Рассмотрим еще один характерный пример – вал с массивным диском массой m и моментом инерции массы J_m по средине. Массой вала пренебрегаем.

С

R

истема имеет две независимые степени свободы – вертикальное перемещение и поворот в плоскости. Их независимость определяется тем, что ввиду симметрии задачи поворот не вызывает перемещения и наоборот. В первом случае мера инерции m, а податливость . Во втором случае

мера инерции , а податливость . Значения податливостей легко определяются аналитически. Оставим это упражнение по расчету поперечного изгиба на подготовку к экзамену.

Заметим , что малейшая несимметрия в этой задаче приводит в системе с двумя степенями свободы.

В дальнейшем изложении для сокращения записей меру инерции будем обозначать m, а внешние нагрузки считать силами. Среди действующих сил выделим кроме внешних воздействий P(t) (силовое возбуждение) внутренние: от упругого элемента (u/δ), силы трения (Р_тр ) (сопротивления движению), силу инерции и сформулируем условие равновесия инерционного элемента .

После преобразования

. (*)

В формуле обозначено . Модель замыкается начальными условиями: .

Вид уравнения (*) и его решения существенно зависят от Р_тр.

Сила трения в общем случае определяется свойствами среды и параметрами движения. При незначительном трении, величиной которого можно пренебречь, и при трении, пропорциональном скорости, уравнение (*) линейно и имеет аналитическое решение. Во всех остальных случаях (сухое трение, трение, зависящее от степени скорости и ускорения, и др.) возможно только численное решение. Решение всегда приближенно, так как модель не полностью соответствует объекту. Важно правильно оценивать степень приближенности при не учете некоторых факторов, что будет сделано ниже.

2. Решение без учета трения

Основное уравнение принимает вид

, (**)

линейно; решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью , т.е.

При этом, решая методом Эйлера, получаем

,

а частное решение ищем в виде правой части или методом вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим основные задачи динамики для этого случая.

1.Очевидно, что - круговая частота собственных колебаний и равна

и мы решили первую основную задачу.

2. Динамический коэффициент при ударе получим в двух вариантах.

Первый – удар с известной скоростью V при P(t)=0. В этом случае u₂ =0, начальные условия: u(0)=0, , откуда B=0, и

.

Сила удара , а коэффициент динамичности

.

Здесь обозначено - статическое перемещение, т.е. перемещение от статического приложения веса ударяющего груза.

Второй – удар груза, падающего с высоты H. При этом скорость при ударе , , и решение

.

С учетом граничных условий , и

.

Откуда ,

.

Решена вторая основная задача.

3. Исследуем АЧХ при периодическом возмущении от вибрации основания (кинематическое возбуждение). Уравнение равновесия

приводит к дифференциальному уравнению

.

Частное решение в виде правой части

определяет вынужденные колебания. Коэффициент динамичности – отношение амплитуды вынужденных колебаний основания

, а его зависимость от отношения и есть АЧХ. Защита от вибраций наступает при когда [К_д ] ≤ 1. До этого вибрации больше возбуждения и возможен резонанс.

Резонанс наступает не мгновенно. Рассмотрим процесс подробнее.

.

При нулевых начальных условиях после преобразований

.

При получаем неопределенность типа 0/0. Раскрывая по правилу Лопиталя, имеем

Период вынужденных колебаний

,

и окончательно получаем при резонансе

.

График развития резонанса представлен на рисунке. Если резонанс длится не более Т/2, то К_д<, при и т.д. Таким образом, виброзащита в одномассовой системе достигается при и быстром разгоне до таких частот при запуске.

Решена третья задача динамики.

3. Решение при трении, пропорциональном скорости

Рассматривается случай Р_тр =к·. Обозначив , из (*) получаем , (***)

Общее решение однородного уравнения ищем подстановкой Эйлера , что приводит к характеристическому уравнению для

,

решение которого

зависит от соотношения n и : колебательное при и , где ,

и апериодическое при и . Реально трение относительно невелико и практически реализуется колебательное решение, согласно которого

.

Рассмотрим основные задачи динамики и сравним результаты с задачей без учета трения.

1. Круговая частота собственных колебаний

,

где коэффициент демпфирования в естественных условиях не превышает 0,3 и только в специальных устройствах (амортизаторы, устройство гашения колебаний в стрелочных гальванометрах и.т.п.) достигает 0,5. Поэтому, решение с учетом трения мало отличается от решения без учета трения.

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	1,005	1,02	1,05	1,08	1.15

Таким образом, решение без учета трения практически точно, так как погрешность лежит в пределах точности вычислений в сопротивлении материалов.

2. Учтем затухание колебаний при динамических воздействиях.

Коэффициент затухания за период колебаний

.

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	1,94	4,08	9,52	25,65	85,02

Как видно из таблицы, собственные колебания быстро затухают и практически могут не учитываться при длительном динамическом процессе.

При ударе, который длится одну четвертую периода,

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	1,18	1,42	1,75	2,25	3,04

Ударные нагрузки без учета сопротивления рассчитываются с запасом до 1,75.

2. АЧХ с учетом трения, конечно, не уходит в бесконечность при резонансе.

При кинематическом возбуждении

. ****)

Ищем частное решение в виде

.

После подстановки в (****) и приравнивания коэффициентов при синусе и косинусе, получаем систему

,

решение которой

,

позволяет найти . АЧХ при разных значениях представлены на рисунке. Защита от вибраций наступает:

при если , при если , при если .

и менее быстром разгоне при запуске, чем без трения.

4. Численное решение при произвольном трении

Численное интегрирование возможно при любом виде функции Р_тр. Рассмотрим в качестве примера сухое трение.

Пусть система выведена из равновесия начальным смещением

При пулевой начальной скорости , а сила трения постоянна и противоположна направлению скорости движения . Тогда система (*) в приращениях

.

Система легко интегрируется в Excel методом Эйлера. Результаты интегрирования при собственной частоте f=1 гц и начальном смещении 1 м приведены ниже. Видно, что с увеличением k степень затухания растет, а собственная круговая частота практически не меняется (). Таким образом, вид трения практически не влияет на частоту собственных колебаний.

7

Сопротивление материалов. Конспект лекций.