Образец выполнения заданий

Задача 6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Рассматриваются случайные величины:

- разность между числом попаданий и числом промахов; - сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин ,ряд распределения. Найти их характеристики .

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения:(0 попаданий, 2 промаха),(1 попадание, 1 промах),

(2 попадания, 0 промахов). Вероятности значений случайной величины находятся по формуле Бернулли:.

Ряд распределения будет иметь вид

Х	-2	0	2

,

.

Случайная величина может принимать только одно значение: два с вероятностью, равной единице.

2

1

Задача 7. Дана функция

При каком значении функцияявляется плотностью распределения случайной величины Найти функцию распределения случайной величины .

Решение. Из основного свойства плотности следует

.

Для .

Для .

Для

.

Для

.

Таким образом,

Задача 8. Время T между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с параметром :при. Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени. Если за времяпроизошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через времяпосле начала решения задачи. Рассматривается случайная величина- время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения:( за времяне произошло сбоя), 2(на первом промежуткесбой произошел, на3ТОром промежуткесбоя не было), 3(на первых двух промежутках длинысбои происходили, на третьем сбоя не было) и т. Д.

.

Обозначим тогда- вероятность того, что за времясбой произошел;,и т. Д.

Ряд распределения случайной величины

Х 2……

……

(вычисление суммы ряда смотри методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей, часть 2, стр. 15).

Задача 9. Известно, что детали, выпускаемые по размерам диаметра, распре-деляются по нормальному закону. Параметры этого закона ,. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 до 7 см.

Решение. где- математическое ожидание,- среднее квадратическое отклонение. Таким образом,

Х/Y 20 40 60

10 0

20

30

Задача 10. Закон распределения системы дискретных случайных величин

задан таблицей:

Найти: а) ; б) частные законы распределения случайных величин;

в) ,; г) коэффициент корреляции; д) вероятность попаданий

двумерной случайной величины в область ;.

Решение: так как

то .

Закон распределения случайной величины X

Х 10 20 30

Р , т. К. .

Закон распределения случайной величины Y

Y 20 40 60

P .

Отсюда:

Задача 11. Плотность совместного распределения системы двух случайных величин задана выражением.

Найти: а) коэффициент А; б) плотности распределения случайных величин , входящих в систему; в) определить зависимы или независимы случайные величины.

Решение. Из основного свойства плотности

Т.к.

случайные величины - независимы.