KR 1-4

Министерство образования Российской федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического анализа

Резников Е.А.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Сборник домашних контрольных заданий для студентов-заочников

Челябинск Издательство ЮУрГУ

2007

УДК 510(022)(076.5)

Резников Е.А. Высшая математика: Сборник домашних контрольных заданий для студентов-заочников. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. – 19 с.

Сборник домашних контрольных работ состоит из четырех контрольных работ по следующим темам: «Элементы линейной алгебры, векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральной исчисление функции одной переменной».

Задания составлены в соответствии с требованиями государственного общеобразовательного стандарта высшего профессионального образования.

Одобрено объединенным научно-методическим советом по математике и механике.

Рецензенты:

© Издательство ЮУрГУ, 2007.

2

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ В соответствии с учебным планом студенты-заочники выполняют кон-

трольные работы по курсу высшей математики. Данный сборник контрольных заданий содержит контрольные работы, выполняемые на первом курсе. В первом семестре выполняются первая и вторая, во втором семестре - третья и четвертая контрольные работы.

Контрольная работа должна удовлетворять следующим требованиям:

1)Работу рекомендуется выполнять в ученической тетради в клеточку, авторучкой с синей или черной пастой. Цветную пасту можно употреблять для рисунков, графиков и т.п.

2)Нужно оставить свободное место за полями. Если в тетради нет черты, ограничивающей поле, ее следует провести.

3)Обязательно записать полностью условия всех решаемых задач – по тексту методического пособия.

4)Задачи (и их решения) следует располагать в том порядке, в каком они даны в методическом пособии.

5)Записи вести аккуратно, разборчивым почерком. Зачеркивания, помарки, обширные исправления не допускаются. Графики рисовать аккуратно, с указанием (и соблюдением) масштаба. Черновики не при-

сылать!

6)Решения должны сопровождаться краткими, но вразумительными объяснениями, в необходимых случаях должны быть ссылки на учебник. Например, “составляем уравнение прямой, проходящей через две точки…”, ”в силу геометрического смысла векторного произведения…”, “По определению непрерывности функции в точке…” и т.п.

7)Объяснения должны относиться строго к тексту задачи и, соответственно, к теме, разделу вузовского учебника. Формулы сокращенного умножения, решение квадратных уравнений и теорему Пифагора объяснять не нужно.

8)При работе над ошибками – читать замечания и указания проверяющего и, по возможности, выполнять их в работе, присылаемой на повторную проверку – вместе с предыдущей работой!

9)Перед отправкой работы необходимо проверить (по учебнику или словарю) правильность написания таких слов как “предел”, “эллипс”, “асимптота”, “дифференциал” и т.п. Грамматические ошибки в математических терминах приравниваются к ошибкам в ходе решения.

10)Берегите время! При несоблюдении требований 1-9 работа может быть возвращена без проверки для повторного выполнения.

На внешней обложке тетради следует указать фамилию и инициалы сту-

дента, полный учебный шифр и дату отправки работы в университет. Студент выполняет тот вариант задачи контрольной работы, который

совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Цифра 0 соответствует варианту № 10.

3

Литература:

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. 2.Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Основы математического анализа.

3.Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. 4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.

4

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Линейная алгебра

ЗАДАЧА 1

Вычислить определитель.

			1			5	6		3					2		1		3				5		2		10			8	3	5
	1 2
1.1.	1	5	6		. 1.2.	2		3		5	. 1.3.			4			0		3	. 1.4.		2			7	1		. 1.5.	7	2	4	.
	1 2 3					4	2 8							1 1				1				3		1		5			0	4	1
		3 9				8		1		5					0		1		2				7		1 3				2	1		1
	1
1.6.	3	2	5		. 1.7.	9		3		0			. 1.8.		3		1		2		. 1.9.		2		1	1	. 1.10.		1	3		6	.
	1	4	2			5		2		1					3		1		6				3		1 1				1	4		6

ЗАДАЧА 2

Найти матрицу Х из матричного уравнения (решать, используя обратную матрицу).

		0		1 1												2						1	0				3
			1	0								1		2) .				1				0	1					2
2.1. X							1 (3								2.2.											X			.
			1															1 1
				1 1																			1					1
	2 1				0				7									2 0					1
		0	1								0				2.4. X					1		1				(2		1 2) .
2.3.				1			X						.										1
		1 1			1						3									0 2
																							1
	0 2			1					1									0				1 1
		0	3	2			X								2.6. X					0		2			0		1		1 .
2.5.									2			.											1
		1 1									2
				1															1 2 1
			0	0			1														0	1	1
			2	1				( 2					2	3) .	2.8. X						1	1	0		(1		2		3) .
2.7. X						1
			1 1																		2 1 1
							1
	1 1			0					3							1 0							2
		1	1	1		X			3						2.10. X		3				0				(5		0		3) .
2.9.										.													1
		0 2		1					2								1				2		1
															5

ЗАДАЧА 3

Решить систему уравнений методом Гаусса.

x y z 6,
3x 4 y 6z 29,
3.1.		.
x y 2z	9,
x 2 y 3z 14.

2x 3y z 0,
7x 7 y 4z 3,
3.4.			.
3x 3y z 4,
		2z 1.
2x y
2x 3y z 2,
2x 7 y 3,
3.7.					.
x 2 y 2z 2,
		z 3.
x 2 y
2x y 3z 5,
3x 2 y 4z 5,
3.10.	5 y 3z 8			.
x
	y	z 0.
x

5x 4 y 3z 4,
16x 8 y 8z 16,
3.2.	.
3x 3y 2z 2,
8x y 3z 10.

2x 3y z 11,
7x 3y 6z 21,
3.5.				.
x 5 y	4z	3,
	3z	13.
4x y
x 2 y z 3,
6x 8z 22,
3.8.			.
2x y 3z 11,

3x y 4z 14.

Векторная алгебра

ЗАДАЧА 4

4x 3y 2z 11,
8x 6 y 3z 21,
3.3.		.
2x 2 y z	5,
2x y 5.

2x y 3z 5,
x 3y 7z 14,
3.6.			.
4x 2 y z 5,
3x 4 y 5z 4.
2x y 3z 3,
	8z 11,
7x
3.9.	2 y 4z 7,	.
3x
	3y z 1.
2x

Найти площадь и длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b .

4.1.a p 2q, b 4 p q; | p | 1,| q | 2, ( pq) / 6 .

4.2.a 4 p q, b p 2q; | p | 7,| q | 6, ( pq) / 4 .

4.3. a 5 p q,		p 3q; | p | 1,| q | 2, ( pq) /3 .
	b

4.4. a 7 p 2q, b p 3q; | p | 3,| q | 4, ( pq) / 2 .

4.5.a 6 p q, b p q; | p | 3,| q | 4, ( pq) / 4 .

4.6.a 10 p q, b 3p q; | p | 4,| q | 1, ( pq) / 6 .

6

4.7. a 3p 4q,									p q; | p | 3,| q | 2, ( pq) / 2 .
						b
4.8. a 7 p q,							p 3q; | p | 3,| q | 4, ( pq) / 3 .
			b
4.9. a p 3q,					3p q; | p | 3,| q | 5, ( pq) / 3 .
		b
4.10. a p 3q,								5 p q; | p | 2,| q | 5, ( pq) / 2 .
				b

		ЗАДАЧА 5
Даны	вершины треугольника А, В, С. Найти				косинус угла ВАС, проек-
цию стороны АВ на сторону АС и площадь треугольника АВС.
5.1. A(1;–2;3);	B(0;–1;2); C(4;0;4).		5.2. A(0;–3;6); B(–12;–3;–3);			C(–9; –3;–6).
5.3. A(3;3;–1);	B(5;5;–2); C(4;1; 1).		5.4. A(–1;2;–3);	B(3;4;–6); C(1;1;–1).
5.5. A(–4;–2;0);		B(–1;–2;4); C(3;–2;1).	5.6. A(5;3;–1);	B(5;2;0); C(6;4;–1).
5.7. A(–3;–7;–5);		B(0;–1;–2); C(-5;-6;-6).	5.8. A(3;3;–1);		B(1;–5;2);	C(4;4;1).
5.9. A(2;1;–1);	B(6;–1;–4); C(4;2;1).		5.10. A(3;–6;9);		B(0;–3;6);	C(5;-3;7).

ЗАДАЧА 6

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A, B, C, D.

6.1.A(14;4;5), B(–5;–3;2), C(–2;–6;–3), D(–2;2;–1).

6.2.A(1;2;0), B(3;0;–3), C(5;2;6), D(8;4;–9).

6.3.A(2;–1;2), B(1;2;–1), C(3;2;1), D(–4;2;5).

6.4.A(2;–1;2), B(1;2;–1), C(3;2;1), D(–4;2;5).

6.5.A(1;1;2), B(–1;1;3), C(2;–2;4), D(–1;0;–2).

6.6.A(2;3;1), B(4;1;–2), C(6;3;7), D(7;5;–3).

6.7.A(1;5;–7), B(–3;6;3), C(–2;7;3), D(–4;8;–12).

6.8.A(–3;4;–7), B(1;5;–4), C(–5;–2;0), D(2;5;4).

6.9.A(–1;2;–3), B(4;–1;0), C(2;1;–2), D(3;4;5).

6.10.A(4;–1;3), B(–2;1;0), C(0;–5;1), D(3;2;–6).

Аналитическая геометрия

ЗАДАЧА 7

7.1.Даны вершины треугольника А(1;2), В(5;10), С(11;4). Найти уравнение высоты, опущенной из вершины В.

7

7.2.Даны вершина треугольника А(3;4), В(8;12), С(11;8). Найти уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В.

7.3.Даны вершины треугольника А(4;5), В(8,13), С(14;7). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

7.4.Даны вершины треугольника А(–3;3), В(4;4), С(–1;12). Найти уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС.

7.5.Даны вершины треугольника А(1;1), В(7;9), С(–3;2). Найти длину высоты, опущенной из вершины С.

7.6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3x 4y 10 0 ,4x 3y 15 0 и одна из его вершин А(1;–1). Найти уравнения двух других его сторон.

7.7.Даны вершины треугольника А(0;1), В(4;9), С(10;3). Найти острый угол между высотой, опущенной из вершины А и стороной АВ.

7.8.Найти проекцию точки Р(–8;2) на прямую 4x 7 y 13 0.

7.9.Даны две вершины треугольника А(–10;2), В(6;4). Его высоты пересекаются в точке D(5;2). Определить координаты третьей вершины С.

7.10.Найти острый угол между прямой 9x 3y 7 0 и прямой, проходящей через точки А(1;–1) и В(5;7).

ЗАДАЧА 8

8.1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

A(1;2;3), B(3; 1;1), C( 3;2;1) .

8.2.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;1;1), B( 1;2;3) и параллельной оси ОХ.

8.3.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A( 2;3;4), B(2;5; 1) и параллельной оси ОУ.

8.4.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A( 3;2;1), B(0;1;3) и параллельной оси ОZ.

8.5.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A(1;2;3) и ось ОХ.

8.6.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A( 4;2; 1) и ось ОУ.

8.7.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; 3;4) и ось ОZ.

8.8.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A(1; 2;3) и перпендикулярной плоскостям x y z 4 0, 3x 4y z 5 0

8.9.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A( 4;3;1) и параллельной векторам a (1;2; 3), b ( 4;1;2) .

8.10.Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки

A( 2;1;5), B(1;3;2) .

8

ЗАДАЧА 9

9.1. Найти проекцию точки Р(6;4;7) на плоскость x y z 2 0.

9.2. Найти проекцию точки Р(10;6;7) на плоскость 2x y z 5 0 .

9.3. Найти проекцию точки Р(–2;11;7) на плоскость x 2y z 1 0 .

9.4. Найти проекцию точки Р(10;7;–7) на плоскость 2x y 2z 4 0 .

9.5. Найти проекцию точки Р(–4;7;5) на плоскость x 2y z 5 0 .

9.6. Найти проекцию точки Р(2;–1;3) на прямую			x				y 7												z 2									.
			3
										5											2
9.7. Найти проекцию точки Р(5;6;–9) на прямую			x 1										y 1										z		.
					2					1											1
9.8. Найти проекцию точки Р(5;5;–4) на прямую			x 3										y 2											z 1					.
					2					1											3
9.9. Найти проекцию точки Р(6;–16;5) на прямую					x 4									y 2													z 1			.
					2											1					3
9.10. Найти проекцию точки Р(3;2;6) на прямую			x			y 7											z 3										.
			1							2											1

ЗАДАЧА 10

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу,

инайти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот

иуравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.

10.1.9x2 16y2 18x 32y 151 0.

10.2.9y2 16x2 18y 32x 151 0.

10.3.25x2 144y2 50x 576y 4151 0.

10.4.25y2 144x2 864x 50y 4871 0.

10.5.9x2 16 y2 36x 96 y 252 0.

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.

10.6. 9x2 25y2 18x 50 y 191 0.

9

10.7.25x2 16y2 50x 32 y 359 0.

10.8.25x2 169y2 50x 676y 3524 0.

10.9.169x2 25y2 1014x 50y 2679 0.

10.10. 16x2 25y2 64x 150 y 111 0.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 Введение а анализ

ЗАДАЧА 11

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

11.1. lim

n4

5n2 n

.

1

n n4

n

11.4. lim

1 n2 n5

.

3n2 n 1

n n3

11.7. lim

n

2

n

2

n

.

2n

n

2

n

2

2n 1

11.10. lim

.

n

n 1

2

11.2. lim

3n10 5n2 3

.

11.3. lim

n6

4n2 1

.

(n 10)11

2n2 1

n

n n4

11.5. lim

n7 3n2 1

.

11.6. lim

(3n 2)3

.

(2n 1)3

n

n n3

2n2 2n 2

(n 2)

2

(n

1)

2

n

3

11.8. lim

. 11.9. lim

n .

3n 1

2

n

n n

2n

ЗАДАЧА 12

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

12.1. lim

x2

4x 3

.

12.2. lim

x2

4

.

12.3. lim

x2

2x 3

.

x2

x 2

x2 x 6

x2 x 2

x 1

x 2

x 1

12.4. lim

x2 x 6

. 12.5. lim

x3

x2 x

.

12.6. lim

x2

2x 8

.

x2

2x 15

x4

x

x2 2x

x 3

x 0

x 2

12.7. lim

x2

5x 4

. 12.8. lim

x2

2x 3

. 12.9. lim

x3 x2

.

x2

7x 12

x2 9

4x 5

x 4

x 3

x 1 x2

10