Типовой Веснина, Кац

8.23. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5

неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения,

математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных.

8.24. По известному "правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной

величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти P X mx 3Dx если Х имеет: а) нормальное распре-

деление; б) показательное распределение.

8.25. По известному "правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной

величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти Х mx 3Dx если Х имеет: а) нормальное распреде-

ление, б) равномерное	на		отрезке 1;1 .
8.26. По известному	"правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной
величины от своего математического ожидания более,								чем на три	корня из
	P		X mx		3		если Х распределена: а) нормально;
дисперсии мала. Найти						Dх
б) по закону Пуассона с М Х 0,09.
8.27. Для случайной			величины Х, распределенной					по закону	Пуассона,

вычислить P X k , математическое ожидание и дисперсию, если параметр а = 0,3;

k = 2.

8.28. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке 2; 8 . Найти вероятность попадания значений случайной величины в промежуток 3; 5 .

8.29. Трамваи данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин.

Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда?

61

8.30. Определить постоянную вероятность попадания в цель при каждом выстреле и число произведенных выстрелов, если среднее число попаданий рав-

но 72, а среднее квадратическое отклонение случайной величины, характеризу-

ющей число попаданий, равно 6.

Задача № 9.

9.1. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака)

ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением x = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

9.2. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением x = 100 м. Найти: 1) вероятность измерения даль-

ности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м; 2) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной.

9.3.Определить среднее квадратическое отклонение случайной ошибки прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы 20 м.

9.4.Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с параметрами а = -1, = 2. Определить вероятность неравенства -2 < X < 1.

Построить график плотности распределения.

9.5. На автомате изготавливаются заклепки. Диаметр их головок пред-

ставляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и

имеет среднее значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0,01. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью 0,95?

62

9.6. Случайная величина X распределена по нормальному закону с парамет-

рами a = 30, = 10. В какой интервал с вероятностью практической достоверности

0,997 попадут значения случайной величины X?

9.7.Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение

Хдиаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм.

Считая, что случайная X величина распределена нормально со средним квадратическим отклонением = 0,4 мм, найти, сколько будет готовых шариков

среди 100 изготовленных.

9.8. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с

плотностью f (x)	0,1			e 0,01( x 2)2	. Определить вероятность того, что случайная

величина Х примет значение, не меньшее 0 и не больше 12.

9.9.Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с параметрами a 2, 4. Написать выражение для плотности распределения и

функции распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения.

9.10. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную

величину,	распределенную по нормальному закону с параметрами			15 см,
0,2см.	Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали			должны
быть 15	0,3 см. Какую точность изготовляемой автоматом детали можно гаран-
тировать с вероятностью 0,97?
9.11.	При взвешивании тела установлен	средний	вес 2,36 г и	среднее
квадратическое отклонение веса 0,025 г. Вес –		случайная	величина Х, распреде-

ленная нормально. Найти: а) какой процент значений находится между 2,3 г и 2,4 г;

б) какую точность взвешивания можно гарантировать с вероятностью 0,97?

9.12. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом, можно считать нормаль-

но распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2,5 см и дисперсией 0,0001 см2, в каких границах можно практически гарантировать размер

63

диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается

0,997?

9.13. На стенке изготовляются детали заданной длины. Установлено, что

60 % деталей отклоняются от заданной длины не более чем на 2 мм (в обе стороны). Какой процент деталей будет отклоняться от заданной длины не более

чем на 5 мм, если предполагается, что величина отклонения есть случайная величина, распределенная по нормальному закону?

9.14. Бомбардировщики сбросили бомбы на мост длиной 60 м и шириной 12 м.

Рассеивание попаданий происходит по нормальному закону с дисперсией, равной

225 м2 по длине и 36 м2 по ширине, средняя точка попаданий - центр моста.

Рассеивания по длине и ширине независимы. Найти вероятность попадания в мост при сбрасывании одной бомбы.

9.15. Стрельба ведется от точки Х вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета

«а». Предполагается, что дальность полета распределена по нормальному закону

со средним квадратическим отклонением 80 м. Найти, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 120 м до 160 м.

9.16. Случайная величина X подчинена нормальному закону с параметрами а, .

Вычислить с точностью до 0,01 вероятность попадания значений случайной величины X в интервал (а; а+ ) (без использования таблиц функции Лапласа).

9.17. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см,

то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

9.18. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону. Параметры его следующие: cреднее квадратическое отклонение 25 г, математическое ожидание а = 375 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет заклю-

чен в границах от 300 г до 425 г.

9.19.Пусть диаметр изготовляемой детали является случайной величиной,

распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание ее а = 4,5 см, а

64

среднее квадратическое отклонение = 0,05 см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наудачу детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.

9.20. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Най-

ти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.

9.21.Найти дисперсию случайной величины, распределенной по нормальному закону, если известно, что отклонения от математического ожидания, не превосходящие 0,1 см, имеют место с вероятностью 0,7887.

9.22.Станок-автомат изготавливает валики, причем одновременно контролирует их диаметр Х. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 10 мм и средним квадратическим отклонением

= 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

9.23.Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид

F x e 2x2 8x 2 . Найти: 1) ; 2) математическое ожидание M X , дисперсию Д Х ;

3) вероятность выполнения неравенства 1 x 3 .

9.24. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим

ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий		Х		0,7 или		Х		0,7 имеет

большую вероятность?

9.25. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами

0;1 .Что больше: P 0,5 X 0,1 или P 1 X 2 ?

9.26. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные

нормальному	закону с 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, не превосходящей 15		мм; не превосходящей 20 мм.
9.27. Автомат изготовляет подшипники,		которые считаются годными, если
отклонение Х	от проектного размера по модулю не превосходит 0,77 мм. Каково

65

наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если Х - случайная вели-

чина, распределенная нормально с = 0,4мм?

9.28. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной,

распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 cм2,а

математическое ожидание 2,5 см. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого 0,9973)?

9.29.Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание ее пусть равно 164 см, а среднее квадратическое отклонение 5,5 см. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что ни одна из пяти наудачу выбранных женщин не будет иметь рост более 160 см.

9.30.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами

подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно

16 км, а среднее квадратическое отклонение равно 100 м. Найти вероятность того,

что расстояние между этими пунктами а) не меньше 15,8 км; б) не более 16,25 км.

Задача № 10.

10.1. По некоторой цели производятся два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна P. Рассматриваются две случайные величины: Х - число попаданий в цель, Y - число промахов. Составить таблицу распределения и определить числовые характеристики системы.

10.2. Случайная точка на плоскости распределена по закону, заданному таблицей:

Y	X	0	1
	-1	0,1	0,15
	0	0,15	0,25
	1	0,2	0,15

66

Найти числовые характеристики системы (X,Y).

10.3. Матрица распределения системы двух дискретных случайных величин(X,Y)

задана таблицей:	X Y	0	2	5
	1	0,1	0	0,2
	2	0	0,3	0
	4	0,1	0,3	0

Найти числовые характеристики системы (Х,Y).

10.4. Изготовляемые в цехе втулки сортируются по отклонению их

внутреннего диаметра от номинального размера на 4 группы со значениями 0,01; 0,02; 0,03 и 0,04 мм и по овальности на четыре группы 0,002; 0,004; 0,006;

0,008 мм. Совместное распределение диаметра (X) и овальности (Y) втулок задано таблицей (Табл.10.3):

Y Х	0,01	0,02	0,03	0,04
0,002	0,01	0,02	0,03	0,04
0,004	0,03	0,24	0,15	0,06
0,004	0,04	0,10	0,08	0,08
0,008	0,02	0,04	0,04	0,02

Найти числовые характеристики системы случайных величин mx , my , Dx , Dy , rxy .

10.5. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух cлучайных величин (X,Y):

						Y
						X	20	40	60
						10	3		0
						20	2	4	2
						30		2	5
Найти : , m	x	, m	,	2 ,	2 , r .
		y	x	y		xy

67

10.6. Система (X,Y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей:

	X	0	1	2	3	4	5	6
	Y
	0	0,202	0,174	0,113	0,062	0,049	0,023	0,004
	1	0	0,099	0,064	0,040	0,031	0,020	0,006
	2	0	0	0,031	0,025	0,018	0,013	0,008
	3	0	0	0	0,001	0,002	0,004	0,011

Найти вероятность Р(Y 2), mx , my и корреляционную матрицу.

10.7. Однотипные детали в зависимости от точности изготовления различаются по форме на круглые и овальные, а по весу - на легкие и тяжелые.

Вероятности того, что взятая наудачу деталь окажется круглой и легкой, овальной и

легкой,	круглой и	тяжелой,	овальной и тяжелой, соответственно равны
, , , 1 .		Взята одна	деталь. Найти математические ожидания и

дисперсии числа круглых деталей X и числа легких деталей Y, а также корреляционный момент kxy между числом круглых и числом легких деталей, если

= 0,40, = 0,05, = 0,10.

10.8. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна P. Случайные величины: X - число выстрелов до первого попадания (включительно), Y - число промахов. Необходимо: а) описать закон распределения случайного вектора (X,Y) и

законы распределения каждой компоненты; б) вычислить вероятность P(X = Y);

в) вычислить коэффициент корреляции rxy.; г) определить зависимы или неза-

висимы компоненты X, Y.

10.9. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайные величины:

X - индикатор четности суммы выпавших очков (т.е. X = 1, если эта сумма четная, и

X = 0 в противном случае), Y - индикатор четности произведения выпавших очков

(т.е. Y = 1, если это произведение четно и Y = 0 в противном случае).

68

а) Описать закон распределения случайного вектора (X, Y).

б) Вычислить функцию распределения F(X, Y).

в) Вычислить корреляционный момент.

10.10.Число X выбирается случайным образом из множества целых чисел

1, 2, 3 . Затем из того же множества выбирается наудачу число Y, больше первого или равное ему.

а) Описать закон распределения случайного вектора (X,Y).

б) Определить, зависимы или независимы случайные компоненты X и Y.

в) Построить условный закон распределения компоненты X при условии, что Y

приняло значение, равное 2.

г) Вычислить основные характеристики mx , my , Dx , Dy , kxy , rxy .

10.11. Случайный вектор (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

X	0	1
Y
-1	0,1	0,2

00,2 0,2

10,1 0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию величины Z 2X Y2 .
10.12. В	продукции		завода	брак вследствие дефекта A составляет 3 %, а
вследствие	дефекта	B - 4,5 %.		Годная продукция		составляет	95 %. Найти
коэффициент корреляции дефектов A и B . Указание. Ввести в рассмотрение
случайную величину X = 1, если данное изделие обладает дефектом							A и X = 0 в
противном случае.		Аналогично Y = 1; 0 в зависимости от того, обладает или нет
это изделие дефектом B.
10.13. Два стрелка,			независимо друг от друга,			делают по два одиночных
(независимых) выстрела каждый по своей мишени.					Случайная величина X - число
попаданий	первого	стрелка, Y - число попаданий			второго стрелка.		Вероятность

69

попадания при одном выстреле для первого стрелка P1 = 0,7; для второго P2 = 0,4.

Построить матрицу распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y).

10.14. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу каждый по своей мишени. Случайная величина X - число попаданий первого стрелка. Y - число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка P1 = 0,7, для второго P2 = 0,4. Построить матрицу распределения вероятностей системы случайных величин (u,v), где u X Y,

v X Y .

10.15. Система случайных величин (Х,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y

X

0

1

-1

0,1

0,2

0

0,2

0,3

1

0

0,2

Z 2X Y2 .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

10.16. Имеется система случайных величин (X,Y), где

mx 0,

my 2, Dx

2,

Dy 1

и коэффициент корреляции rxy

1

. Найти

2

математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z 2X 3Y.

10.17. Случайные величины

X

и Y связаны соотношением mX nY C , где

m, n, c

-

неслучайные

величины

m 0,

n 0 . Найти: а)

Коэффициент корре-

ляции

r

xy

; б) Отношение среднеквадратических отклонений x .

y

10.18. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений шестерки, Y - число появлений нечетной цифры. Описать закон распре-

деления случайного вектора (X, Y). Установить зависимы или независимы компоненты Х и Y.

10.19.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений единицы, Y - число появлений нечетной цифры. Описать закон распре-

70