2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших квадратов находим оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

Система нормальных уравнений имеет вид.

Находим численные значения оценок в данной задаче. Обозначим:

; ;;

Тогда

Для этого выполним следующие расчеты:

Множественная линейная регрессионная модель

имеет вид:

2.2. Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9.

Расчётная таблица

Таблица 5.

i	xi1	xi2	yi	xi1^2	xi2^2	xi1*yi	xi2*yi	xi1*xi2	yi^2	Хi1-Х1ср.	Уi-Уср.	Хi2-Х2ср.	(Хi1-Х1ср.)*(Уi-Уср.)	(Хi1-Х1ср.)^2	(Хi2-Х2ср.)^2	(Уi-Уср.)^2	(Хi2-Х2ср.)*(Уi-Уср.)
1	6	126	3	36	15876	18	378	756	9	1,062	-1,76	-6,81	-1,872306	1,127844	46,3761	3,108169	12,00603
2	3	116	7	9	13456	21	812	348	49	-1,938	2,237	-16,81	-4,335306	3,755844	282,5761	5,004169	-37,604
3	6	137	3,9	36	18769	23,4	534,3	822	15,21	1,062	-0,86	4,19	-0,916506	1,127844	17,5561	0,744769	-3,61597
4	7	120	1,3	49	14400	9,1	156	840	1,69	2,062	-3,46	-12,81	-7,140706	4,251844	164,0961	11,99237	44,36103
5	3	109	6	9	11881	18	654	327	36	-1,938	1,237	-23,81	-2,397306	3,755844	566,9161	1,530169	-29,453
6	4	123	6	16	15129	24	738	492	36	-0,938	1,237	-9,81	-1,160306	0,879844	96,2361	1,530169	-12,135
7	5	148	5,1	25	21904	25,5	754,8	740	26,01	0,062	0,337	15,19	0,020894	0,003844	230,7361	0,113569	5,11903
8	6	139	4	36	19321	24	556	834	16	1,062	-0,76	6,19	-0,810306	1,127844	38,3161	0,582169	-4,72297
9	7	92	0,9	49	8464	6,3	82,8	644	0,81	2,062	-3,86	-40,81	-7,965506	4,251844	1665,456	14,92277	157,649
10	3	112	7,2	9	12544	21,6	806,4	336	51,84	-1,938	2,437	-20,81	-4,722906	3,755844	433,0561	5,938969	-50,714
11	4	166	7,4	16	27556	29,6	1228,4	664	54,76	-0,938	2,637	33,19	-2,473506	0,879844	1101,576	6,953769	87,52203
12	5	192	7,1	25	36864	35,5	1363,2	960	50,41	0,062	2,337	59,19	0,144894	0,003844	3503,456	5,461569	138,327
13	4	155	7,30	16	24025	29,2	1131,5	620	53,29	-0,938	2,537	22,19	-2,379706	0,879844	492,3961	6,436369	56,29603
14	7	101	1	49	10201	7	101	707	1	2,062	-3,76	-31,81	-7,759306	4,251844	1011,876	14,16017	119,701
15	6	177	4	36	31329	24	708	1062	16	1,062	-0,76	44,19	-0,810306	1,127844	1952,756	0,582169	-33,717
16	3	112	5	9	12544	15	560	336	25	-1,938	0,237	-20,81	-0,459306	3,755844	433,0561	0,056169	-4,93197
Сумма	79	2125	76,2	425	294263	331,2	10564,4	10488	442,02				-45,037496	34,9375	12036,44	79,1175	444,0875
Среднее	4,938	132,81	4,763	26,56	18391,44

Выдвигаем гипотезу H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Фактическое значение F-статистики Фишера:

df₁ = m = 2, df₂ = n-m-1 = 16-2-1=13.

Статистической надежности 0,9 соответсвует уровень значимости (α) = 0,1. При уровне значимости 0,1, df₁ = 2, df₂ = 13 табличное значение F_m = 2,7632.

F_m < [-0,06<2,7632].

Поскольку неравенство F_m < выполняется, то гипотеза H₀: α₁ = 0, α₂ = 0 признается и не признается статистическая значимость уравнения регрессии.

2.3. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

Точечный прогноз рассчитаем по формуле:

В нашем случае тыс. у.е.

Под интервальным прогнозом среднего значения цены автомобилей понимается доверительный интервал цены.

Для нахождения интервального прогноза вычислим значения всех параметров, входящих в формулу:

, где ,- соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала, - вектор независимых переменных, для которого определяется интервал,=2,16 - квантиль распределения Стьюдента,- доверительная вероятность,n - количество наблюдений, (n-3)- число степеней свободы,

Таблица 6.Расчеты

i	xi1	xi2	yi	xi1^2	xi2^2	xi1*yi	xi2*yi	xi1*xi2	yi^2	Хi1-Х1ср.	Уi-Уср.	Хi2-Х2ср.	(Хi1-Х1ср.)*(Уi-Уср.)	(Хi1-Х1ср.)^2	(Хi2-Х2ср.)^2	(Уi-Уср.)^2	(Хi2-Х2ср.)*(Уi-Уср.)
1	6	126	3	36	15876	18	378	756	9	1,062	-1,76	-6,81	-1,872306	1,127844	46,3761	3,108169	12,00603
2	3	116	7	9	13456	21	812	348	49	-1,938	2,237	-16,81	-4,335306	3,755844	282,5761	5,004169	-37,604
3	6	137	3,9	36	18769	23,4	534,3	822	15,21	1,062	-0,86	4,19	-0,916506	1,127844	17,5561	0,744769	-3,61597
4	7	120	1,3	49	14400	9,1	156	840	1,69	2,062	-3,46	-12,81	-7,140706	4,251844	164,0961	11,99237	44,36103
5	3	109	6	9	11881	18	654	327	36	-1,938	1,237	-23,81	-2,397306	3,755844	566,9161	1,530169	-29,453
6	4	123	6	16	15129	24	738	492	36	-0,938	1,237	-9,81	-1,160306	0,879844	96,2361	1,530169	-12,135
7	5	148	5,1	25	21904	25,5	754,8	740	26,01	0,062	0,337	15,19	0,020894	0,003844	230,7361	0,113569	5,11903
8	6	139	4	36	19321	24	556	834	16	1,062	-0,76	6,19	-0,810306	1,127844	38,3161	0,582169	-4,72297
9	7	92	0,9	49	8464	6,3	82,8	644	0,81	2,062	-3,86	-40,81	-7,965506	4,251844	1665,456	14,92277	157,649
10	3	112	7,2	9	12544	21,6	806,4	336	51,84	-1,938	2,437	-20,81	-4,722906	3,755844	433,0561	5,938969	-50,714
11	4	166	7,4	16	27556	29,6	1228,4	664	54,76	-0,938	2,637	33,19	-2,473506	0,879844	1101,576	6,953769	87,52203
12	5	192	7,1	25	36864	35,5	1363,2	960	50,41	0,062	2,337	59,19	0,144894	0,003844	3503,456	5,461569	138,327
13	4	155	7,30	16	24025	29,2	1131,5	620	53,29	-0,938	2,537	22,19	-2,379706	0,879844	492,3961	6,436369	56,29603
14	7	101	1	49	10201	7	101	707	1	2,062	-3,76	-31,81	-7,759306	4,251844	1011,876	14,16017	119,701
15	6	177	4	36	31329	24	708	1062	16	1,062	-0,76	44,19	-0,810306	1,127844	1952,756	0,582169	-33,717
16	3	112	5	9	12544	15	560	336	25	-1,938	0,237	-20,81	-0,459306	3,755844	433,0561	0,056169	-4,93197
Сумма	79	2125	76,2	425	294263	331,2	10564,4	10488	442,02				-45,037496	34,9375	12036,44	79,1175	444,0875
Среднее	4,938	132,81	4,763	26,56	18391,44

=0,28; ;S =2,47; ;

И тогда и.

Таким образом, получили, что средняя цена автомобиля возраста 3 года и мощностью 165 л.с. будет заключена в интервале (-112,1; -105,84) тыс.у.е.