Тема 7. Дискретные случайные величины

Случайной величиной (с.в.) называется переменная, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества значений, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые нельзя учесть заранее.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями с.в. и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она “распределена” по данному закону или “подчинена” этому закону распределения. Закон распределения любой случайной величины может быть задан при помощи её функции распределения.

Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x) действительной переменной x, выражающая для каждого значения xR вероятность того, что с.в.  примет какое-либо значение, меньшее x:

F(x) = P{ < x}, –  < x < .

Функция распределения F(x) любой с.в.  обладает следующими свойствами.

1⁰. Функция распределения определена при всех xR и 0  F(x)  1.

2⁰. Функция распределения является неубывающей функцией:

если x₁ < x₂, то F(x₁)  F(x₂).

3⁰. Функция распределения – функция непрерывная слева:

.

4⁰. Функция распределения удовлетворяет следующим предельным соотношениям:

.

Случайная величина ξ называется дискретной, если множество её возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел х₁, х₂, …, х_n, …. В первом варианте с.в. ξ называется конечной, во втором – счетной.

Закон распределения дискретной с.в. может быть задан рядом распределения, который представляет собой совокупность всех возможных значений с.в. х₁ < х₂ < …< х_n < …. и соответствующих им вероятностей р₁, р₂, …, р _n,….

Здесь

р_k = Р{ξ = х_k}, k = 1, 2, …, n, …

и

. (7.1)

Равенство (7.1) является характеристическим (т.е. определяющим) для закона распределения дискретной с.в. и может служить для контроля правильности его составления.

Часто ряд распределения представляют в виде таблицы, в которой перечислены все возможные значения с.в., упорядоченные по возрастанию, и соответствующие им вероятности:

Таблица 7.1

xk	x1	x2	…	xn	…
pk	p1	p2	…	pn	…

Если рассматривается несколько с.в., относящихся к одному испытанию, то табл. 7.1 удобнее записывать в следующем виде (если речь идет о с.в. ):

Таблица 7.2

	x1	x2	…	xn	…
P	p1	p2	…	pn	…

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, зачастую прибегают к его графическому изображению – многоугольнику распределения, представляющему собой ломаную на плоскости (рис. 7.1), которая соединяет последовательно точки с координатами (х_k, р_k), k = 1, 2, …, n, ….

Рис. 7.1. Многоугольник распределения

Пусть А – произвольное множество на действительной прямой. Тогда вероятность того, что с.в.  в результате испытания примет какое-либо значение из множества А задается формулой:

, (7.2)

где суммирование ведется по всем индексам k, для которых x_k  A.

Функция распределения F(x) конечной дискретной с.в.  имеет следующий вид:

(7.3)

График функции распределения F(x) конечной дискретной с.в.  представлен на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Функция распределения дискретной с.в.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной с.в. ξ называется величина Мξ, равная сумме произведений значений х_k с.в. ξ на соответствующие им вероятности р_k (k = 1, 2, …, n, …):

Мξ = . (7.4)

При этом предполагается, что ряд в правой части формулы (7.4) абсолютно сходится, т.е.

.

В противном случае говорят, что математического ожидания у с.в. ξ не существует.

Для конечной дискретной с.в. ξ ряд в правой части (7.4) превращается в конечную сумму, которая всегда существует:

Мξ = . (7.5)

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) MС = C, где С = const;

2) M(C) = CM, где С = const;

3) M(  ) = M  M для любых с.в.  и ;

4) для любых постоянныхC₁, …, C_n и любых

с.в. ₁, … , _n;

5) , если с.в.₁, … , _n независимы.

Дисперсией случайной величины ξ называется величина Dξ, равная математическому ожиданию квадрата отклонения с.в. от своего математического ожидания:

Dξ = М(ξ – Мξ)². (7.6)

В силу определения математического ожидания дискретной с.в., из формулы (7.6) вытекает следующее выражение для вычисления дисперсии дискретной с.в.:

. (7.7)

Часто дисперсию с.в. ξ удобнее находить по формуле

Dξ = М(ξ²) – (Мξ)² (7.8), где . (7.9)

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1) DС = 0, где С = const;

2) D(C) = C²D, где С = const;

3) D(  ) = D + D, если с.в.  и  независимы;

4) для любых постоянныхC₀, C₁, … , C_n, если с.в. ₁, … , _n независимы.

Дисперсия Dξ имеет размерность квадрата размерности с.в. ξ. Для практических же целей удобнее иметь характеристику, размерность которой совпадает с размерностью с.в. ξ. В качестве такой меры используется величина, называемая средним квадратическим (или стандартным) отклонением с.в. ξ.

, (7.10)