Компьютерное моделирование
Лабораторная работа № 1 "Движение тел в среде с учетом трения" Элементы теории.
Второй закон Ньютона. Ускорение , с которым движется тело, прямо пропорционально векторной сумме действующих на него сили обратно пропорционально его массеm:
,
где - скорость,- перемещение,t – время.
Так как имеет место:
,
то второй закон Ньютона сводится к системе двух векторных дифференциальных уравнений:
.
При решении конкретных задач конкретизируются соотношения для действующих сил и массы тела и производится проецирование векторных уравнений на координатные оси. В результате получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть решена каким-либо численным методом. Ниже в инструкции изложен и применен на конкретном примере метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности.
2. Сила сопротивления. При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение сильно влияет на характер движения. При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение:
,
где k1 определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шара имеет место формула Стокса:
,
где - динамическая вязкость воздуха, r – радиус шара. Так для воздуха при t=20C и давлении 1 атм = 0,0182 Нс/м2, для воды - = 1,002 Нс/м2, для глицерина - = 1480 Нс/м2.
При более высоких скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости:
,
где ,
S – площадь поперечного сечения тела,
с – коэффициент лобового (аэродинамического) сопротивления,
- плотность среды.
При достаточно больших скоростях можно принимать следующие значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел:
- диск с = 1,11;
- полусфера с = 0,55;
- шар с = 0,4;
- каплевидное тело с = 0,045.
3. Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела – уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным. В скалярной форме получим:
.
Входные параметры модели:
- начальная скорость тела;
- начальная высота тела;
- величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k1 и k2 .
4. Взлет ракеты. Рассмотрим простейшую модель вертикального взлета ракеты с учетом уменьшения ее массы во время взлета по линейному закону:
.
Сила тяги двигателя считается постоянной на всем участке взлета.
Будем учитывать, что плотность воздуха , входящая в коэффициент k2 , убывает по мере подъема ракеты по закону , гдеh – высота, = 5,610 -5м -1. Тогда модель имеет вид:
.
Входные параметры модели:
m0 – начальная масса ракеты, заправленной топливом;
mкон – остаточная масса после полного выгорания топлива;
- расход топлива;
величины, определяющие k2 – коэффициент сопротивления воздуха (линейной составляющей силы сопротивления можно заведомо пренебречь);
Fтяги – сила тяги двигателя.
5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дифференциальные уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием на вертикальную и горизонтальную оси координат:
.
Входные параметры модели:
m – масса тела;
v – начальная скорость;
- угол начального наклона скорости к горизонту;
величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k1 и k2 .