Электротехника_2_полный

U 1=U 2=U 3=φ1−φ2 =U (2.6.3) Подставим выражение (2.6.2) в (2.6.1), учитывая (2.6.3), получим

I =

U

U

U

=U

1

1

1

. (2.6.4)

R2

R

R1 R2 R3

R1

3

Выражение в скобках — общая проводимость цепи, равная сумме проводимости каждой ветви

									n
	GОБЩ =G1 G2 Gn=∑Gk
								1			(2.6.5)
		1		1		1		1	n	1
	GОБЩ =		=						=∑
		RОБЩ						Rn		Rk
				R1		R2			1

Из (2.6.5) следует, что с увеличением количества элементов цепи и величины их сопротивления, общее сопротивление цепи уменьшается, также общее сопротивление цепи параллельно соединённых элементов всегда меньше, чем сопротивление каждого элемента.

При заданных значениях напряжения и сопротивления ветвей, определяются токи ветвей и ток не разветвлённой части.

Для анализа цепи, содержащей только последовательно соединённые элементы, достаточно составить уравнение по закону токов.

Из соотношений (2.6.2) и (2.6.3) следует вывод, что токи параллельно соединённых ветвей обратно пропорциональны их сопротивлениям

I 1= U ; I2 = U R1 R2

U =I 1 R1= I2 R2 (2.6.6)

I1 = R2

I2 R1

Это соотношение используют, когда необходимо ограничить ток, протекающий через элемент. В этом случае элемент шунтируют сопротивлением — параллельно сопротивлению, включают шунт, который отводит часть тока. Значение шунтирующего сопротивления определяют из соотношения (2.6.6) .

Задачи к пп. 2.4, 2.5, 2.6

2.21 Для цепи на рисунке 2.21 определите количество ветвей, узлов и контуров. Составьте уравнения по закону тока и закону напряжений для всех узлов и всех контуров

Рисунок 2.21

2.22Применяя законы Кирхгофа, определите величины токов в цепях (рис. 2.22)

Рисунок 2.22

2.23Определите значение сопротивления (рис. 2.23)

Рисунок 2.23

2.24Определите значения ЭДС и напряжения между выводами 1 и 3 (рис. 2.24)

Рисунок 2.24

2.25Общее сопротивление трёх последовательно соединённых элементов 17 Ом, сопротивление двух из них 5 Ом и 6,8 Ом. Определите сопротивление третьего элемента

2.26Сопротивление резистора 7 Ом. Определите величину сопротивления, которое необходимо включить последовательно с заданным резистором, чтобы напряжение на резисторе было в три раза меньше, чем напряжение всей цепи.

2.27Сопротивление резистора 17 кОм рассчитано на ток 3,4 А. В цепи протекает ток 6 А. Определите величину сопротивления, необходимого для шунтирования резистора.

2.28Два резистора соединены последовательно, сопротивление первого — 3,25 Ом, второго — 4,15 Ом. Падение напряжения на втором резисторе 4,4 В. Определите падение напряжение на всей цепи и ток в цепи.

2.29Определите общее сопротивление цепи, R=4,3 кОм (рис. 2.29)

Рисунок 2.29

2.30 Общее сопротивление цепи из трёх параллельно соединённых элементов 1,28 Ом. Проводимости двух элементов 0,4 См и 0,25 См. Определите сопротивление третьего элемента.

2.7 Двухполюсники 2.7.1 Активные двухполюсники

При анализе электрической цепи источник электрической энергии замещают математической моделью, которая отражает взаимосвязь его электрических характеристик. Такой математической моделью источника электрической энергии является активный многополюсник. Широкое применение нашли активные двух-, трёх- и четырёхполюсники.

Активный двухполюсник — это элемент цепи, который имеет два вывода (полюса) и содержит в себе источник ЭДС (или источник тока) (рис. 2.7.1). Соответственно, активные двухполюсники замещают источниками тока и источниками ЭДС.

Рисунок 2.7.1 — Активные двухполюсники

Источники ЭДС и тока подразделяют на реальные и идеальные.

Идеальным источником ЭДС называется двухполюсник, напряжение на выводах которого не зависит от сопротивления подключенной к нему нагрузки.

Схема идеального источника ЭДС приведена на рисунке 2.7.3

Рисунок 2.7.3 — Идеальный источник ЭДС Рассмотрим работу двухполюсника, когда к его выводам подключена переменная

нагрузка (рис. 2.7.4).

Рисунок 2.7.4 — Идеальный источник ЭДС под нагрузкой

Применяя закон напряжений, составим уравнение для данной цепи: U =I R=E , (2.7.1)

где U — падение напряжения на выводах двухполюсника, I — ток в цепи,

E — ЭДС источника.

Из уравнения (2.7.1) следует, что при любом значении R, напряжение на выводах двухполюсника будет оставаться неизменным и равным ЭДС источника, изменятся будет только ток в цепи.

Ток в цепи с идеальным источником определяется соотношением I = ER (2.7.2)

Зависимость напряжения на выводах активного двухполюсника от тока в нагрузке называется внешней характеристикой активного двухполюсника. Внешняя характеристика строится в координатах ток-напряжение (I, U). Внешняя характеристика идеального источника ЭДС представляет собой прямую параллельную оси токов (рис. 2.7.5)

Рисунок 2.7.5 — Внешняя характеристика идеального источника ЭДС

Идеальным источником тока называется такой двухполюсник, ток в цепи которого не зависти от сопротивления включенной в цепь нагрузки.

Рисунок 2.7.6 — Идеальный источник тока

Рассмотрим работу под нагрузкой идеального источника тока (рис. 2.7.7).

Рисунок 2.7.7 — Идеальный источник тока под нагрузкой

Цепь включает в себя два последовательно соединённых элемента — источник тока

(J) и нагрузку (R). Т. к. цепь является не разветвлённой, то во всех элементах протекает одинаковый ток, равный току источника I=J, следовательно ток не зависит от величины нагрузки.

Напряжение на выводах источника будет определятся по закону Ома U =J R (2.7.3)

Напряжение на выводах двухполюсника прямо пропорционально сопротивлению нагрузки.

Нагрузочная характеристика идеального источника тока представляет собой прямую параллельную оси напряжений (рис 2.7.8).

Рисунок 2.7.8 — Нагрузочная характеристика идеального источника тока

Не смотря на то, что двухполюсники носят название идеальных, они могут быть реализованы на практике. Так идеальный источник ЭДС представляет собой стабилизатор напряжения, а идеальный источник тока — стабилизатор тока.

Рассмотрим теперь реальные активные двухполюсники.

Реальным называется такой двухполюсник, напряжение на выводах которого зависит от величины включенной в цепь нагрузки. Это связано с тем, что реальные двухполюсники содержат в себе помимо источников ЭДС или тока еще и внутреннее сопротивление.

Схема замещения реальных двухполюсников могут включать в себя либо источник

ЭДС либо источники тока. Причём, не имеет значения какая схема замещения была выбрана, т. к. возможен переход от схемы замещения источником ЭДС к схеме замещения источником тока.

Рассмотрим работу активного двухполюсника, замещённого реальным источником ЭДС, к которому подключена переменная нагрузка (рис 2.7.9).

Источник ЭДС характеризуется величинами ЭДС (E) и внутреннего сопротивления (r), нагрузка — величиной сопротивления R.

Рисунок 2.7.9 — Реальный источник ЭДС под нагрузкой

По закону напряжений

U Ir=E (2.7.4)

Проанализируем состояние цепи для трёх значения сопротивления нагрузки:

1)R=∞;

2)R=0;

3)0<R<∞.

1) R=∞ Такое возможно, когда выводы двухполюсника разомкнуты, и нагрузка к ним не подключена. В этом случае ток в цепи отсутствует (I=0). Тогда Уравнение (2.7.4) примет вид

U =E (2.7.5)

Режим двухполюсника, при котором его выводы разомкнуты и внешняя нагрузка отсутствует, называется холостым ходом.

В режиме холостого хода ток, протекающий через двухполюсник равен нулю, а напряжение на его выводах равно ЭДС источника.

2) R=0 Этот режим реализуется, когда выводы двухполюсника замкнуты между собой без нагрузки (накоротко). Тогда, U=0, а ток стремится к своему максимальному значению

	(I=IMAX). Из уравнения (2.7.4) следует, что
	I MAX =	E	(2.7.6)
		r

Данный режим называется режимом короткого замыкания.

В режиме короткого замыкания напряжение на выводах двухполюсника равно нулю, а ток в цепи принимает максимальное значение.

3) 0<R<∞ Внешняя нагрузка принимает некоторое не нулевое конечное значение. Т. к. U=IR, то соотношение (2.7.4) примет вид

IR Ir=E

I R r =E

Следовательно, ток в цепи равен

I = RE r (2.7.7)

Используя закон Ома и соотношение (2.7.7), найдём напряжение на выводах двухполюсника

	U =IR=E	R	(2.7.8)
		R r

Как видно из выражения (2.7.8), напряжения на выводах реального источника ЭДС зависит от сопротивления нагрузки.

В случае замещения активного двухполюсника реальным источником ЭДС его внешняя характеристика будет иметь вид показанный на рис. 2.7.10

Рисунок 2.7.10 — Внешняя характеристика реального источника ЭДС

Точка пересечения внешней характеристики с осью напряжений соответствует режиму холостого хода и характеризуется напряжением холостого хода U0=E.

Точка пересечения внешней характеристики с осью токов соответствует режиму короткого замыкания и характеризуется током короткого замыкания IMAX.

Тангенс угла наклона прямой к оси токов (tgα) — внутренне сопротивление двухполюсника: r=U0/IMAX=E/IMAX.

Если характеристики активного двухполюсника не заданы, то они могут быть определены экспериментально, в ходе опытов холостого хода и короткого замыкания.

В качестве схему замещения активного двухполюсника может использоваться схема замещения реальным источником тока (рис. 2.7.11). При этом режимы цепи не изменятся и соотношения токов и напряжений останутся теме же, что и для схемы с реальным источником ЭДС.

Рисунок 2.7.11 — Реальный источник тока под нагрузкой

Реальный источник тока имеет следующие характеристики — ток источника J, внутренняя проводимость g.

Напряжение на выводах источника под нагрузкой

	U =	J	(2.7.9)
		G g

	где G=1/R.
	Ток в цепи	G
	I =J		(2.7.10)
		G g

Внешняя характеристика реального источника тока аналогична внешней характеристики реального источника ЭДС.

Схемы замещения активного двухполюсника реальным источником тока и реальным источником ЭДС являются эквивалентными. Возможно осуществлять переход от одной схемы замещения к другой. Параметры реального источника ЭДС связаны с параметрами реального источника тока следующими соотношениями:

Напряжение на выводах источника в режиме холостого хода

U 0=E =

J

(2.7.11)

g

Ток короткого замыкания

E

I MAX =J =

=U 0 g (2.7.10)

r

Внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость

r=

1

=

E

g

I MAX

(2.7.11)

g= 1 =

J

U 0

r

2.7.2 Пассивные двухполюсники

При анализе электрической цепи от принципиальной схемы потребителя переходят к его схеме замещения. Так же как и источник электрической энергии, потребитель замещается математической моделью — пассивным многополюсником. Рассмотрим схему замещения пассивного двухполюсника.

Пассивным называется двухполюсник, который не содержит в себе источников энергии, следовательно, он характеризуется только одним параметром — сопротивлением R. Схема замещения пассивного двухполюсника приведена на рис. 2.7.12

Рисунок 2.7.12 — Пассивный двухполюсник

Ток в пассивном двухполюснике и падение напряжения на его вывода определяются по закону Ома:

I = UR

Зависимость напряжения на выводах пассивного двухполюсника от тока в нём (U=f(I)) называется нагрузочной характеристикой или вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Так же как и внешняя характеристика активного двухполюсника вольт-амперная характеристика строится в координатах ток-напряжение и лежит в первом и третьем квадрантах.

По виду кривой вольт-амперной характеристики пассивные двухполюсники подразделяют на линейные и нелинейные.

ВАХ линейных двухполюсников представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис.2.7.13). Уравнение линейной ВАХ: U=IR

Рисунок 2.7.13 — ВАХ линейного элемента

Тангенс угла наклона прямой ВАХ к оси токов — сопротивление линейного элемента. Чем больше угол, соответственно и тангенс, тем меньше сопротивление.

Если ВАХ задана графически, то сопротивление пассивного двухполюсника определяется как

	R=	U	tg	[ U ]	(2.7.12)
		I		[ I ]

где μU — масштаб по оси напряжений, μI — масштаб по оси токов,

[ΔU] — приращение напряжениях, [ΔI] — приращение тока.

ВАХ нелинейных двухполюсников представляет собой кривую второго порядка и выше (рис. 2.7.14)

Рисунок 2.7.14 — ВАХ нелинейного элемента

Задачи к п. 2.7

2.31К выводам идеального источника ЭДС подключена нагрузка сопротивлением 200 Ом, ЭДС источника 80 В. Определите ток в цепи.

2.32К выводам идеального источника тока подключена нагрузка сопротивлением 55,6 Ом, ток источника 6 А. Определите падение напряжения на источнике.

2.33Напряжение холостого хода источника ЭДС 8,2 В, ток короткого замыкания 7 А. Определите ЭДС источника и его внутренне сопротивление, постройте внешнюю характеристику.

2.34 На рисунке 2.34 приведена внешняя характеристика активного двухполюсника. Определите параметры схемы замещения этого двухполюсника источником тока.

Рисунок 2.34

2.35Активный двухполюсник замещён источником ЭДС со следующими параметрами: E=15 В, r=1,1 Ом. Осуществите переход от схемы замещения источником ЭДС

ксхеме замещения источником тока, определите параметры источника тока.

2.36К источнику ЭДС поочерёдно подключили две нагрузки сопротивлением 5 Ом и 15 Ом. Значения тока в цепи при этом равны 2 А, и 0,75 А соответственно. Определите параметры схемы замещения.

2.37Сопротивление линейного элемента 1,5 кОм. Постройте нагрузочную характеристику элемента.

2.38На рисунке 2.38 заданы вольт-амперные характеристики элементов. Определите сопротивления этих элементов

Рисунок 2.38