§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности а. Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем генеральная средняя а хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению а₀. Например, если Х—совокупность размеров х_i партии деталей, изготовляемых станком-автоматом, то можно предположить, что генеральная средняя а этих размеров равна проектному размеру а₀. Чтобы проверить это предположение, находят выборочную среднюю и устанавливают, значимо или незначимо различаются и а₀. Если различие окажется незначимым, то станок обеспечивает в среднем проектный размер; если различие значимое, то станок требует подналадки.

Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (по большой выборке можно получить достаточно хорошую оценку дисперсии).

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия σ² известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н₀: а==а₀ о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а₀.

Учитывая, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (см. гл. XVI, § 5), т.е. М() = а, нулевую гипотезу можно записать так:

М()==а₀.

Таким образом, требуется проверить, что математическое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

,

которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы М (U)= 0, σ(U) = 1.

Поскольку здесь критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы» так же как в § 10, ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы, обозначив значение критерия U, вычисленное по данным наблюдений, через U_набл.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией σ² гипотетическому значению а, при конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠ а₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству

Ф(u_кр) = (1-α)/2.

Если |U_набл|<u_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |U_набл|>u_кр — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: а > а₀ критическую точку правосторонней критической области находят по равенству

Ф(u_кр) = (1-2α)/2.

Если U_набл < u_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если U_набл > u_кр — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: а < а₀ сначала находят критическую точку u_кр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области u’_кр = — u_кр.

Если U_набл > - u_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если U_набл < - u_кр — нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=0,36 извлечена выборка объема n=36 и по ней найдена выборочная средняя =21,6. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ = 21, при конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠ 21.

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а ≠ а₀, поэтому критическая область—двусторонняя. Найдем критическую точку:

Ф(u_кр) = (1-2α)/2 = (1—0,05)/2=0,475.

По таблице функции Лапласа находим u_кр == 1,96.

Так как U_набл > u_кр—нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо.

Пример 2. По данным примера 1 проверить нулевую гипотезу Н₀: а = 21 при конкурирующей гипотезе а > 21.

Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а > 21, критическая область —правосторонняя.

Найдем критическую точку из равенства

Ф(u_кр) = (1-2α)/2 = (1-2·0,05)/2=0,45.

По таблице функции Лапласа находим u_кр=1,65.

Так как U_набл = 10 > u_кр — нулевую гипотезу отвергаем; различие между выборочной и гипотетической генеральной средней — значимое.

Заметим, что в примере 2 нулевую гипотезу можно было отвергнуть сразу, поскольку она была отвергнута в примере 1 при двусторонней критической области; полное решение приведено в учебных целях.

Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

,

где S — «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента с k = n— 1 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Поскольку это делается так, как описано выше, ограничимся правилами проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀: а==а₀ о равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению а₀ "Р" конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠ a₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку t_{двуст. кр} (α; k).

Если |Т_набл| < t_{двуст.кр} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |Т_набл| > t_{двуст.кр} —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: а > a₀ по уровню значимости а, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы k = n — 1 находят критическую точку t_{правост. кр}(α; k) правосторонней критической области.

Если Т_набл < t_{правост. кр} —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: а < a₀ сначала находят «вспомогательную» критическую точку t_{правост. кр}(α; k) и полагают границу левосторонней критической области t_{левост. кр} = - t_{правост. кр}.

Если Т_набл > - t_{правост. кр} —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Т_набл < - t_{правост. кр} —нулевую гипотезу отвергают.

Пример 3. По выборке объема n==20, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя ==16и «исправленное» среднее квадратическое отклонение S = 4,5. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ =15, при конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠ 15.

Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а ≠ a₀, поэтому критическая область—двусторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α =0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы k == 20—1 = 19 находим критическую точку t_{двуст.кр} (0,05; 19)=2,09.

Так как | T_набл | < t_{двуст. кр} — нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу; выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической генеральной средней.