- •Определители 2го и 3го порядка. Решение систем линейных уравнений из 2х и 3х уравнений
- •Определители n-ного порядка. Их элементарные свойства
- •Разложение определителя по строке
- •Линейные системы n-го порядка. Правило крамера
- •Матрицы. Их виды и операции с ними(сложение, умножение, умножение на число и транспонирование)
- •Обратная матрица
- •Матричные уравнения
- •Решение линейных систем n-го порядка в матричном виде(в терминах обратной матрицы)
- •Линейная зависимость(независимость) столбцов матрицы. Ранг матрицы.
- •Теорема о базисном миноре
- •Методы вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора
- •Линейные системы уравнений общего вида. Их элементраные преобразования. Метод гаусса решения таких систем.
- •Однородные системы уравнений. Ранг матрицы и существование нетривиального решения.
- •Структура общего решения однородной системы уравнений.
- •Неоднородные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли
- •Строение множества решений неоднородной системы уравнений общего вида.
- •Векторное пространство. Операции над векторами. Линейная независимость
- •Базис пространства. Размерность пространства
- •Связь между различными базисами.
- •Преобразование координат при замене базиса.
- •Линейные операторы и их матричная форма.
- •Действия с линейными операторами.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •Собственные числа и собственные вектора линейного оператора
- •Переход к базису собственных векторов, когда все собственные числа различны.
- •Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду
- •Инерция квадратичных форм
- •Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.
- •Векторное произведение, смешанное произведение векторов. Их геометрический смысл.
- •Линии второго порядка на плоскости.
- •Прямая на плоскости
- •Элипс, ее директриссы
- •Гипербола, ее директриссы
- •Парабола
- •Уравнение кривых второго порядка в полярных координатах.
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость. Две плоскости в пространстве
- •Две прямые, точка и плоскость, точка и прямая в пространстве
- •Поверхности второго порядка в пространстве
Линейка
-
Определители 2го и 3го порядка. Решение систем линейных уравнений из 2х и 3х уравнений
Определители 2-го порядка
Пусть дана квадратная таблица из следующих чисел:
(1)
Число а11∙а22 – а12∙а21 называется определителем 2-го порядка и соответствует таблице (1). Этот определитель обозначается символом:
Числа а11,а22 , а12,а21 элементами определителя. Говорят, что элементы а11,а22 лежат на главной диагонали определителя, а а12,а21 - на побочной.
Таким образом определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.
Определители 3-го порядка.
Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:
(2)
Определителем 3-го порядка, соответствующий таблице (2), называется число, равное:
а11∙а22∙а33 + а21∙а23∙а31 + а21∙а32∙а13 - а13∙а22∙а31 - а11∙а32∙а23 - а21∙а12∙а33
Этот определитель обозначается символом:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):
+
- первое действие
- второе действие
-
Определители n-ного порядка. Их элементарные свойства
Свойства определителей:
-
Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот
2)При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.
3)Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0
4)Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0
5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
6)Элементарные преобразования определителя.
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
-
Разложение определителя по строке
До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:
detA = ai1(–1)i+1M i1 + ai2(–1)i+2M i2 +¼+ ain(–1)i+nM in =
= a1j (–1) 1+jM 1j + a2j(–1)2+jM 2j +¼+ anj(–1) n+jM nj
Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. Mij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)i+jMij обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением элемента aij.
-
Линейные системы n-го порядка. Правило крамера
Решение невырожденных линейных систем.
Формула Крамера
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестных. (система (1))
Эту систему удобно записать в матричной форме: Ах = В , где
Определителем этой матрицы называется:
∆=detA
Если определитель системы отличен от 0 (∆≠0), то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений, в случае ∆≠0.
Умножим обе части уравнения Ах = В на А-1 →А-1Ах = А-1В → Ех = А-1В → х = А-1В (2)
Отыскание решения системы по формуле (2) называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство (2) запишем в виде:
=
А11b1+A21b2+…+An1bn – есть разложение следующего определителя по алгебраическим дополнениям:
Определитель ∆1 получается от определителя ∆, путем замены 1 –ого столбца коэффициентом-столбцом из свободных членов. Итак:
; ;
i = 1,n - формула Крамера