18. Базис пространства. Размерность пространства

19. Связь между различными базисами.

Если в базисе   линейный оператор   имеет матрицу A, в базисе   - матрицу B, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то

20. Преобразование координат при замене базиса.

1 Пусть матрица С описывает связь между базисами f_s = c_ks l_n

Возьмём вектор U.

Этот вектор можно представить, как линейную комбинацию векторов { l_1, l₂…l_n}

U = k l_n

координата U в базисе {e } -

2. Линейная комбинация {f1, f2 … fn}

U = _s f_s

Вопрос: как связаны координаты?

{1 2…n} и коэфицент {n1…nr}?

Утверждение: координаты, в данном базисе определяются однозначно.

Доказательство: Пусть не так, u= 1 l_k = M_k l_k

(M_k – l_k) l_k = 0

M_k = k _k

U= _s f_s = _s ( c_{ks l}k_{) =} l_k (l_ks n_s)=

Координаты определяются однозначно => = l_ns n_s

Эта формула описывает связь между координатами.

21. Линейные операторы и их матричная форма.

22. Действия с линейными операторами.

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: .

Определение. Произведением оператора A на число называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: 

Определение. Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: 

На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.

23. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Так как матрица линейного оператора, очевидно, зависит от выбранного базиса, то возникает вопрос: как изменится матрица оператора при переходе к другому базису? Выясним это.

Замечание. Квадратные матрицы и , для которых найдется невырожденная матрица T такая, что имеет место равенство , называются подобными

24. Собственные числа и собственные вектора линейного оператора

Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   ( для комплексного ), такое, что  Число  называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

 Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор  имеет координатный столбец X, то  или 

 Собственные числа  линейного оператора  - корни характеристического уравнения , где  - матрица оператора f,  - символ Кронекера.

 Для каждого собственного значения  соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения  или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где  - соответствующие собственные значения.