Матанализ. Иинтегралы

Примеры вопросов для теоретического опроса по математическому анализу

2014 ã.

Задания для выполнения на компьютере

			Тема: Интегралы
1. Чему равен	2f(x) 2g(x)dx, åñëè
∫	x3	+ 4x2	∫		5x + C: Выберите один ответ
			+ 2x + C; g(x)dx = x2
f(x)dx = 2∫

4x3 + 6x2 + 14x + C

2x3 + 6x + C

4x3 + 10x2 + 5x + C

2x3 + x2 x + C

4x3 x2 + 9x + C

5x3 x2 + 2x + C

2.	один ответ	∫				∫	3
	Известно, что		f(x)dx =		3tg(9x2 +9)+C: Укажите, чему равен		f( x

)dx: Выберите

9tg(x2 + 9) + C

tg( x92 + 9) + C

3tg(x2 + 19 ) + C

tg( x3 + 9) + C

tg(9x2) + C

tg(x2 + 9) + C

∫ ∫

3. Укажите, чему равен f(x + 1)dx , åñëè f(x)dx = F (x) + C. Выберите один ответ

F (x + 1) + C

F (x) + C

12 F (x + 2) + C

12 F (x) + C

F (x + 1) + C

2F (x) + C

4.	Ответ: 3	∫ √1+x2		′
	Известно, что		2x+3	dx = F (x) + C: Чему равна производная F	(0)?
5. Дана интегрируемая функция f(x) такая, что
	∫	∫		1
	0	1
	f(x)dx = 1; f(x)dx = 1:
	−1	0		∫
	Ответ: 0
	Вычислить интеграл			f(x)dx:
			−1

1

f(x)dx

6. Дана интегрируемая функция f(x) такая, что
∫	∫	23
21	23
f(x)dx = 222; f(x)dx = 221:
11	11	∫
Ответ: -1
Вычислить интеграл		f(x)dx:
		21
7. Пусть f(x) - четная функция, а g(x) - нечетная,
∫	1 ∫
1	1
f(x)dx = 1; g(x)dx = 5; h(x) = 10f(x) + 2g(x):
0	0
Ответ: -20	∫
Чему равен	h(x)dx?
	−1
8. Интегралы от функций f(x); g(x) по промежетку [ 1; 3] равны
∫	∫	3
3	3
f(x)dx = 7; g(x) = 2:
−1	−1	∫
Ответ: 6
Чему равен интеграл		(2f(x) 4g(x))dx?
		−1
Ответ: -3		∫
		0	et2+7(t2 + 9t + 18)dt:
9. Найти абсциссу максимума функции f(x) =
		x
Ответ: 9		∫
		2x
10. Найти f′(0) для функции f(x) = e−t(t2 4t + 3)dt:
		−x
11. Найти все действительные корни уравнения f(x) = 0; ãäå
Ответ: 2∫
f(x) = 2x−5et−5t2 dt:
−1		∫
Ответ: 4
		x	et2+1(t2 11t + 28)dt:
12. Найти абсциссу максимума функции f(x) =
		0
для всех возможных функций f(x) , удовлетворяющих на промежутке интегрирова∫				-
			1

13. Укажите наименьший отрезок, которому принадлежат значения интеграла f(x)dx

−1

ния условию

4 f(x) 6 2x. Ответ запишите в виде [c; d]. Пробел не использовать. Ответ: [8; 12]

∫1

14. Укажите наименьший отрезок, которому принадлежат значения интеграла

−1

для всех возможных f(x) , удовлетворяющих на промежутке интегрирования усло-

âèþ

2x + 3 f(x) 5. Ответ запишите в виде [c; d]: Пробел не использовать. Ответ: [6; 10]

2

∫1

15. Укажите наименьший отрезок, которому принадлежат значения интеграла f(x)dx

−1

для всех возможных f(x) , удовлетворяющих на промежутке интегрирования усло-

вию условию

x 1 f(x) x + 1. Ответ запишите в виде [c; d]. Пробел не использовать. Ответ: [ 2; 2]

16.Найти среднее значение функции f(x) = 12x2 + 2x + 1 на промежутке [ 5; 5]. Ответ: 101

17.Найти x при котором функция f(x) = 12x2 x + 11 принимает среднее значение на отрезке [ 7; 7]. В случае нескольких значений x указать наименьшее значение. Ответ: -4

18.Указать пределы интегрирования при вычислении площади фигуры, ограниченной линиями y = 15 2x è y = x2. Ответ записать в виде [a; b].

Ответ: [ 5; 3]

19.Найти площадь области, ограниченной линиями y = 25 + 8x 3x2 è y = 2x + 1. Ответ: 108

20.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

	x = 0; x = 3; y = ecos(x) sin(x) + 4;			y = ecos(x) sin(x) + 3.
	Ответ: 3	∫		∫
	Ответ: 5.5
		∞		∞
21.	Вычислить	f(2x)dx; если известно, что			f(x)dx = 11.
		0		0	∫
	Ответ: 5.5	∫
		0			0
22.	Вычислить	f(2x)dx, если известно, что			f(x)dx = 11.
		−∞	∫	−∞
	Ответ: 11			∫
			∞	∞
23.	Чему равен интеграл		f(11x)dx; åñëè	f(x)dx = 121?
			0	0
	Ответ: -2.5		∫	∫
			0	0
24.	Чему равен интеграл		f(2x)dx, åñëè	f(x)dx = 5?
			−∞	−∞

25.Дан интеграл ∫1∞ f(x)dx; x13 f(x) x12 : Укажите правильный ответ

этот интеграл сходится

этот интеграл расходится

по этим данным установить сходимость интеграла установить невозможно.

26. Дан интеграл	1 f(x)dx;	1				f(x)		1		: Укажите правильный ответ
		5						4
	∫0	√x						√x

этот интеграл сходится

этот интеграл расходится

по этим данным установить сходимость интеграла установить невозможно.

3

	∫
	3	x+3
27. Дан интеграл	1	x2−10x+21	dx: Укажите верное утверждение

Этот интеграл - несобственный расходящийся

Этот интеграл - несобственный сходящийся

Этот интеграл определенный

∫		−
12		x+5
28. Дан интеграл	4			dx. Укажите верное утверждение
10	√x2		11x+24

Этот интеграл определенный

Этот интеграл - несобственный расходящийся

Этот интеграл - несобственный сходящийся

∫			−
2		x+8
29. Дан интеграл	4				dx. Укажите верное утверждение
0	√x2			9x+14

Этот интеграл - несобственный сходящийся

Этот интеграл определенный

Этот интеграл - несобственный расходящийся

∫1

x+3

30. Дан интеграл 0 (x2−6x+5)3 dx. Укажите верное утверждение

Этот интеграл - несобственный расходящийся

Этот интеграл определенный

Этот интеграл - несобственный сходящийся

∫		−
12		x+5
31. Дан интеграл	5			dx. Укажите верное утверждение
10	√x2		11x+24

Этот интеграл определенный

Этот интеграл - несобственный расходящийся

Этот интеграл - несобственный сходящийся

∫			−
2		x+1
32. Дан интеграл	3				dx
0	√x2			8x+12

.Укажите верное утверждение

Этот интеграл - несобственный сходящийся

Этот интеграл определенный

Этот интеграл - несобственный расходящийся

Похожие между собой вопросы, например, 21-27, можно объединять в блоки. Система случайным образом выдает студенту один вопрос из блока.

4