Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 курс 2 семестр (Математика - задание)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

440.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

nπx

a0 =

∫0

f(x)dx,

an =

∫0

f(x) cos

dx,

∫0

nπx

bn =

f(x) sin

dx,

n = 1, 2, . . . (13)

Теорема. Åñëè f(x) 2l-периодическая функция и на интервале (−l, l)

удовлетворяет условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x R. Сумма этого ряда равна

1)f(x), åñëè x точка непрерывности функции f;

2)12 [f(x − 0) + f(x + 0)], åñëè x точка разрыва функции f.

Пример.

Разложить функцию f(x) = x2 в ряд Фурье на интервале (−π, π).

Решение. Продолжим функцию f на всю числовую ось так, чтобы полу- чилась 2π-периодическая функция. Положим

g(x + 2πk) = f(x), x (−π, π), k = 0, ±1, ±2, . . . ,

g((2k + 1)π) = 0, k = 0, ±1, ±2, . . . .

На интервале (−π, π) функции f è g имеют один и тот же ряд Фурье. Найдем коэффициенты этого ряда:

π2

a0 =

∫− x2dx =

∫−

) −

(

sin nx

an =

x2 cos nxdx =

x cos nx −

sin nx

(−1)n.

Поскольку функция g четная, коэффициенты bn равны нулю. Таким

образом,

на интервале (−π, π)

x2 = π2

(−1)n cos nx.

+ 4

∞

∑

n=1

Контрольная работа.

Пример 1.

∑n∞=1 an, ãäå an = (n+1)!2n

Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Это положительный ряд, воспользуемся признаком Даламбера:

lim	an+1	= lim	(n + 1)!/((n + 2)!2n+1)		= lim	(n + 1)2

n→∞	an n→∞		n!/((n + 1)!2n)		n→∞ n(n + 2)2
следовательно, ряд сходится.
Пример 2.				∑n∞=1 an, ãäå an =
Исследовать сходимость числового ряда

= 12 < 1,

(4n+3)n

(5n+2)n

Решение. Это положительный ряд, воспользуемся радикальным признаком Коши:

lim √an

= lim

< 1,

4n + 3

n→∞

n→∞ 5n + 2

следовательно, ряд сходится.

Пример 3.

∑

Решение. Это положительный ряд.

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

n2+8

n=1 an

3n4+n+1

Воспользуемся признаком сравнения.

Сравним данный ряд с положительным рядом (сходящимся)

n∞=1 bn, ãäå bn =

∑

lim

= lim

(n2 + 8)/(3n4 + n + 1)

n4 + 8n2

n→∞ bn

n→∞

1/n2

3n4 + n + 1 3

∑n=1

n è

n∞=1 bn ведут себя одинаково. Значит, исследуемый ряд сходится.

Данный предел конечен и отличен от нуля, следовательно, ряды

∞

∑ Пример 4.

∑n=1

n 10

Решение.

Найти интервал сходимости степенного ряда

∞

a x

n, ãäå

lim

an+1

= lim

n 10n−1

(

1)n 10

следовательно, R = 1 = 10. Ïðè

= 10 получаем ряд

∞

, который

= n→∞

n→∞ (n + 1) 10n

n∞=1

сходится (по теореме Лейбница). При x = 10 получаем∑

n , который

−

n=1

−

расходится. Таким образом, интервал сходимости нашего

∑[−10, 10)

ðÿä

ðÿäà

Пример 5.

I =

∫0:1

dx с абсолютной погрешно-

ñòüþ ∆ = 0.001.

Вычислить определенный интеграл

0:2

e x

Решение. Разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно, получим

0:2 e−x

0:2 1

I = ∫0:1

dx =

∫0:1

− x +

+ . . . + (−1)n

+ . . .) dx =

0:2

xn−3

= ∫0:1

(

−

+ . . . + (−1)n

+ . . .) dx =

xn−2

0:2

= (−

ln x −

+ . . . + (−1)n

+ . . .) 0:1 ;

2x2

−

2)n!

∆

< 0:2

n 2

−0:1

0.001

n = 4.

ïðè

Следовательно,

≈

(n−2)n!

(−

+ x1 + 21 ln x − x6 ) 00::12

≈ 32.831.

Пример 6.

Разложить функцию f(x) = x2 в ряд Фурье на интервале (0, 2π).

Решение. Продолжим функцию f на всю числовую ось так, чтобы полу- чилась 2π-периодическая функция. Положим

g(x + 2πk) = f(x), x (0, 2π), k = 0, ±1, ±2, . . . ,

g(2πk) = 0, k = 0, ±1, ±2, . . . .

На интервале (0, 2π) функции f è g имеют один и тот же ряд Фурье. Найдем коэффициенты этого ряда:

											1			∫0		2							π2
							a0 =										x2dx =						8		,
				∫			a0 =					π					x2dx =						3		,						)
				∫	2			(																							)		2
		1						1							sin nx				2					2										4
an =			π	0	x2 cos nxdx =				π		x2					n			+		n2	x cos nx −						n3		sin nx	0			=	n2		,
		∫						(
		∫		2				(																)								2
	1						1						cos nx							2							2									4π
bn =	π	0			x2 sin nxdx =		π			−x2						n			+	n2		x sin nx +					n3		cos nx		0			= −		n		.
Таким образом, на интервале (0, 2π)
						π2						∞				1								π
						4					∑
					x2 =	3		+ 4 n=1 (									n2	cos nx −						n		sin nx) .

Контрольная работа 3.

Вариант 1

∑n∞=1 an

an =

(5n+1)3n

2. Исследовать сходимость числового ряда

, ãäå

∞

(n+6)5n

1. Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

(2n2+2n+3)3n

3. Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an =

2n2

+1 .

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

, ãäå

(4n−1)3n

n! .

n=1

3n2

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

(n+1)n=3

ностью ∆ = 0.001, разложив

∫

5. Вычислить определенный интеграл

I =

dx с абсолютной погреш-

0 f(∑)

подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно. f(x) = e−x =3; b = 1.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = x − 1; a = −1; b = 1.

Вариант 2

∑n∞=1 an

an = (2n3+2n−3)n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

2n2

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an = (2n2+n)4n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = n4+2n+1 .

Найти интервал сходимости степенного

∑

, ãäå

(3n2−2n+3)n

n=1

n(n+1) .

n+7

(∑

∞

a xn, ãäå a

ностью ∆ = 0.001, разложив

ðÿäà

∫

2функцию в степенной ряд и

5. Вычислить определенный интеграл I =

b f x)dx с абсолютной погреш-

подынтегральную

проинтегрировав его почленно. f(x) = x ln(1 + x ); b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = 2 + |x|; a = −1; b = 1.

Вариант 3

∑n∞=1 an, ãäå an =

(7n+5)2n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

(2n+4)3n .

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

(n2+8)5n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = 3n3+n+3 .

n2+2n+7)2n

Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

3n+5

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

(2n)!

ностью ∆ = 0.001, разложив

sin x2

∫

b f x)dx с абсолютной погреш-

5. Вычислить определенный интеграл I

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) =

; b = 1.

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = |x|;

a = −π; b = π.

Вариант 4

∑n∞=1 an

an =

Исследовать сходимость числового ряда

(2n+1)n

Исследовать сходимость числового ряда

∞

an, ãäå an =

3n(n+1)!n!

Исследовать сходимость числового ряда

n=1

(2n)! .

∑n∞=1 an, ãäå an =

4n3−2n2−+3nn+2 .

Найти интервал сходимости степенного

∑

, ãäå

(n2−n+5)n

n=1

(n+1)

n3+2n2

2n+3

∑

3 n!

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

5. Вычислить определенный интеграл I = ∫0b f(x)dx с абсолютной погрешностью ∆ = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) = arctan(x2); b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = x2 + 1; a = −2; b = 2.

Вариант 5

∑n∞=1 an

an =

(n2

n+1)n

Исследовать сходимость числового ряда

, ãäå

∞

(3n−2)5n .

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

(2n3+1)2n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n=1

n−+2 .

, ãäå

(2n2+n−1)n

Найти интервал сходимости степенного

∑

∞

n=1

−

3 (n+1) .

a , ãäå a

3n+4

ðÿäà

∞

a xn, ãäå a

ностью ∆ = 0.001, разложив

2∫

b f x)dx с абсолютной погреш-

5. Вычислить определенный интеграл I

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно. f(x) = x sin(x ); b = 1.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = |1 − x|; a = −2; b = 2.

Вариант 6

∑n∞=1 an, ãäå an =

(4n 1)3n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an = n4+n+1

. n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = 3n2

−n+1−

(5n+6)3n.

Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

2−

n1=n

2n +n 1

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

a =

ностью ∆ = 0.001, разложив

∫

1=2

5. Вычислить определенный интеграл I

b f x)dx с абсолютной погреш-

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) = x

ln(1 + x

); b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = x + 1; a = −π; b = π.

Вариант 7

∑n∞=1 an

an =

(4n+2)n

2. Исследовать сходимость числового ряда

1. Исследовать сходимость числового ряда

∞

an, ãäå an =

(2n−1)!

3. Исследовать сходимость числового ряда

n=1

(n+1)!(n+2)! .

∑n∞=1 an, ãäå an =

2n8n+1− .

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

, ãäå

(5n−1)n

n=1

∑

+5n

ностью ∆ = 0.001, разложив

ðÿäà

∞

a xn, ãäå a

= (1+ 1 )n.

∫

b f(x)dx с абсолютной погреш-

5. Вычислить определенный интеграл I

подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно. f(x) = sin(x ); b = 1.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = π/4 − x/2; a = 0; b = π.


Вариант 8	∑n∞=1 an		an = (3n2+5n+1)n
2. Исследовать сходимость числового ряда	∑n∞=1 an	, ãäå	an = (3n2+5n+1)n
	∞	, ãäå		(n+2)6n .
1. Исследовать сходимость числового ряда	n=1 an		an =	(n3+1)4n
	∑	, ãäå		(2n3−2n−3)n	.
		, ãäå		(2n3−2n−3)n	.

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

∞

n=1

3 (n+2) .

3. Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

.n+1

∞

n, ãäå

ностью ∆ = 0.001, разложив

ðÿäà

a x

a =

∫

b f x)dx с абсолютной погреш-

5. Вычислить определенный интеграл I

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) = √

; b = 0.5.

1 + x2

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = (π −

x)/2; a = −π; b = π.

Вариант 9

∑n∞=1 an, ãäå an =

(3n2

+7n+5)2n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

(2n2

+7n)4n .

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

(n+1)3n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an =

4n2+1 .

(5n+7)2n

5n2+6

Найти интервал сходимости

степенного

ðÿäà

∞

xn,

ãäå

∑

n=1

(3n(3n−1))1=2 .

1=2

∫

ностью ∆ = 0.001, разложив

0b f(x)dx с абсолютной погреш-

Вычислить определенный интеграл I =

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) = x

cos x; b = 1.

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b).

f(x) =

0, −π 6 x 6 0

{x, 0 6 x 6 π

a = −π; b = π.

Вариант 10

∑n∞=1 an, ãäå an =

(n2+n+7)n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

an, ãäå an =

(n+3)!(n+4)!

Исследовать сходимость числового ряда

n=1

(2n)! .

∑n∞=1 an, ãäå an =

4n4+n.

(2n+10)n

Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

n(n+1) .

2n2+1

ðÿäà

∞

a xn, ãäå a

n+2

ностью ∆ = 0.001, разложив

∫

b f x)dx с абсолютной погреш-

Вычислить определенный интеграл I

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) = xe−x; b = 0.5.

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b).

{1, 0 6 x 6 π

f(x) =

−π

6 x

6 0

a = −π; b = π.

Вариант 11

∑n∞=1 an

an =

(5n2

+n+2)n

Исследовать сходимость числового ряда

, ãäå

∞

(5n+2)4n .

Исследовать сходимость числового ряда

∑

n=1 an

an =

(n3+1)6n

, ãäå

(n2+n−6)n

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

∞

n=1

(3n +n)2

, ãäå

3. Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

−

= 0

∑

n, ãäå

2n +2n . n+2

∞

ностью ∆ = 0.001, разложив

1=3

ðÿäà

a x

∫

b f(x)dx с абсолютной погреш-

5. Вычислить определенный интеграл I

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) = x

cos x; b = 1.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = −x

;

a = 0; b = 2π.

Вариант 12

∑n∞=1 an

an = (3n+2)2n .

2. Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

(n2+2n)3n .

1. Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

(n2+n+3)4n

3. Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = n3

+4n2

+2n.

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

, ãäå

(5n−3)2n

n=1

(n +3)3

2n+3

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

2n+3

ностью ∆ = 0.001, разложив

arcsin x

∫

функцию в степенной ряд и

5. Вычислить определенный интеграл I

dx с абсолютной погреш-

0 f(∑)

подынтегральную

проинтегрировав его почленно. f(x) =

; b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = 2x; a = −π; b = π.

Вариант 13

∑n∞=1 an, ãäå an =

(2n+7)2n .

2. Исследовать сходимость числового ряда

1. Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

an =

(2n)!

n=1 an

(n!)2

3. Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an =

2n2−n+5 .

(3n2

+1)n

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

(n +2)2

3n2+5n+3

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

n+1

2 n

ностью ∆ = 0.001, разложив

∫

5. Вычислить определенный интеграл

I =

dx с абсолютной погреш-

0 f(∑)

подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно. f(x) = cos x ; b = 1.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = 2x; a = 0; b = 2π.

Вариант 14

∑n∞=1 an, ãäå an =

(3n2

1)n .

2. Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

(2n2

−n+2)4n

1. Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

2n+3

3. Исследовать сходимость числового ряда

∑n=1

−2n

2n−+n+2

(n+2)

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

∞

n=1

−

2n+5 .

= n

2n+3

∑

∞

a x

n, ãäå

(n +4n)4

ностью ∆ = 0.001, разложив

ðÿäà

arctan x

∫

функцию в степенной ряд и

5. Вычислить определенный интеграл I =

b f(x)dx с абсолютной погреш-

подынтегральную

проинтегрировав его почленно. f(x) =

x ; b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = 2x; a = −2; b = 2.

Вариант 15

∑n∞=1 an

an =

(6n+5)2n .

2. Исследовать сходимость числового ряда

, ãäå

∞

(n−1)2n .

1. Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

(n2+1)3n

3. Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = n3

+2n+2 .

, ãäå

(4n2

+2n−7)2n

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1 n

3n +n .

n+2

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

(n2

−3)4n

ностью ∆ = 0.001, разложив

∫

функцию в степенной ряд и

5. Вычислить определенный интеграл I

dx с абсолютной погреш-

0 f(∑)

подынтегральную

проинтегрировав его почленно. f(x) = x cos x ; b = 1.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = |x|; a = −2; b = 2.

Вариант 16

∑n∞=1 an

an =

(n+7)n

2. Исследовать сходимость числового ряда

1. Исследовать сходимость числового ряда

∞

an, ãäå an =

(2n+1)!

3. Исследовать сходимость числового ряда

n=1

n!(n+2)! .

∑n∞=1 an, ãäå an =

3n3n+7

. 2

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

, ãäå

(n2+n−5)n

n=1

n +4n

+n+6

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

(n +3)3 .

ностью ∆ = 0.001, разложив

ln(1+x)

∫

функцию в степенной ряд и

5. Вычислить определенный интеграл I

dx с абсолютной погреш-

0 f(∑)

подынтегральную

проинтегрировав его почленно. f(x) =

; b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = |x + 1|; a = −π; b = π.

Вариант 17

∑n∞=1 an

an =

(n2

+n+1)n

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

(2n2

+5n)3n

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

n3+8

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = n2n3

+n2 .

, ãäå

(4n2

+3n−1).n

Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

4n +n .

+4n+3

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

(n+5)3n

ностью ∆ = 0.001, разложив

ln(1+x2)

∫

b f x)dx с абсолютной погреш-

5. Вычислить определенный интеграл I

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) =

; b = 1.

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = π + x;

a = −π; b = π.

Вариант 18

∑n∞=1 an, ãäå an =

(5n+6)2n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

(n2+3n+5)5n .

Исследовать сходимость числового ряда

n=1 an

an =

(n+2)4n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an =

2nn2

+4n

(3n+4)2n

Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

n +3n

∑

2+3n+4

∞

a x

n, ãäå

(n+1)4 .

ðÿäà

проинтегрировав его почленно. f(x) = xe−x2 ; b = 0.5.

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b).

{

f(x) = −2x, −π 6 x 6 0

0 6 x 6 π

a = −π; b = π.

Вариант 19

∑n∞=1 an, ãäå an =

(4n+2)2n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

an, ãäå an =

n!(n−1)!

Исследовать сходимость числового ряда

n=1

(2n+2)! .

∑n∞=1 an, ãäå an = n4+6− .

(5n2+2)n

Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

2n +4n .

ðÿäà

∞

a x

n, ãäå

(n+1)4

ностью ∆ = 0.001, разложив

ln cos x

∫

b f x)dx с абсолютной погреш-

Вычислить определенный интеграл I

(∑

подынтегральную функцию в степенной ряд и

проинтегрировав его почленно. f(x) =

; b = 1.

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b).

{3, 0 6 x 6 π

f(x) =

−π

6 x

6 0

a = −π; b = π.

Вариант 20

∑n∞=1 an, ãäå an =

(4n2+1)n .

Исследовать сходимость числового ряда

∞

, ãäå

an =

3n2

+7n

n=1 an

(n+3)3n

Исследовать сходимость числового ряда

∑n∞=1 an, ãäå an = 3n4+n3 .

(n+4)2n

4. Найти интервал сходимости степенного

∑

n=1

(2n +3)5

2n+1

∑

n, ãäå

(n+4)2n .

ðÿäà

∞

a x

2 n

Вычислить определенный интеграл I =

b f(x)dx с абсолютной погреш-

ностью

, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и

∆ = 0.001

∫

1=3

); b = 0.5.

проинтегрировав его почленно. f(x) = x ln(1 + x

6. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f(x) = |x − 1|; a = 0; b = 2π.

4Функции нескольких переменных

4.1Начальные определения

Здесь будут обсуждаться функции двух переменных - обобщения приводимых результатов на случай трех и больше переменных могут быть найдены в бо-

лее продвинутых руководствах. На плоскости стандартным образом вводится декартова система координат - две ортогональные друг другу оси, одна из которых традиционно обозначается X, вторая Y. Координаты точки M обознача- ются, соответственно, x и y, см. рис.1. Точку на плоскости мы будем обозначать

Рис. 1: Декартовы координаты на плоскости.

или M или (x,y) или M(x,y)√ . Для задания расстояния между точками M и N используется ρ(M, N) = (xM − xN )2 + (yM − yN )2. Для фиксированной точки

N множество точек M, удовлетворяющих неравенству ρ(M, N) < r называют (открытым) шаром радиуса r с центром в точке N. Кривую y = f(x) (èëè x = g(y) ) будем называть гладкой, если соответствующая функция f(x) (èëè g(y)) дифференцируема (необходимое число раз) во всей области определения. Областью Ω на плоскости мы будем называть множество точек на плоскости,

ограниченное конечным набором гладких кривых (на рис. 2 область ограничена 3 кривыми). Границей области Ω мы будем называть совокупность кривых, ее

ограничивающих, обычно ее обозначают ∂Ω. Область называется замкнутой,

если она содержит ограничивающие ее кривые. Область называется открытой, если вместе с любой своей точкой N она содержит и некоторый шар с

центром в этой точке (отсюда следует, что она не содержит ограничивающие ее кривые). Такой шар с центром в точке N называют окрестностью точки

N. Область называется ограниченной, если существует такая конечная положительная константа A, что для всех ее точек M выполняется неравенство ρ(M, O) < A, O = (0, 0). Если вместе с точкой в область входит и некото-

рый шар с центром в этой точке, она называется внутренней точкой области (точка M на рис.2). Если точка принадлежит области, и никакой шар с цен-

тром в этой точке, не входит в область, точку называют граничной ( è îíà

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.03.2016165.38 Кб600627110.doc
#
14.03.2016214.02 Кб608020062Ф(02)_З_ТО_87 (1).doc
#
14.03.201645.19 Кб191 блок 2 часть.docx
#
14.03.201648.58 Кб331 блок 3 часть.docx
#
02.04.201539.94 Кб741 курс 2 семестр (задания по химии).doc
#
02.04.2015440.39 Кб361 курс 2 семестр (Математика - задание).pdf
#
02.04.2015684.01 Кб301-20_EVM.docx
#
21.12.2018192.51 Кб51. В1.doc
#
30.07.2019519.17 Кб41. задачи на производительность книжка (1).doc
#
02.04.2015348.32 Кб61.docx
#
02.04.201556.2 Кб61.docx